人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.3 二项式定理课后复习题

6.3　二项式定理

6.3.1　二项式定理

A级 必备知识基础练

1.(x-y)10的展开式中x6y4的系数是(　　)

A.840 B.-840 C.210 D.-210

2.在(1-x)5-(1-x)6的展开式中,含x3的项的系数是(　　)

A.-5 B.5 C.-10 D.10

3.使得3x+n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)

A.4 B.5 C.6 D.7

4.(多选题)对于二项式+x3n(n∈N*),下列判断正确的有(　　)

A.存在n∈N*,展开式中有常数项

B.对任意n∈N*,展开式中没有常数项

C.对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项

D.存在n∈N*,展开式中有x的一次项

5.若(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=　　　　　.(用数字填写答案) 

6.若x>0,设5的展开式中的第三项为M,第四项为N,则M+N的最小值为　　　　. 

7.已知n的展开式中的第9项与第10项二项式系数相等,求x的系数(用组合数表示).

8.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,求展开式中的常数项.

9.求证:1+2+22+…+(n∈N*)能被31整除.

B级 关键能力提升练

10.在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是(　　)

A.-297 B.-252 C.297 D.207

11.对任意实数x,有x3=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+a3(x-2)3,则a2的值为(　　)

A.3 B.6 C.9 D.21

12.(x2+2)-15的展开式中的常数项是(　　)

A.-3 B.-2 C.2 D.3

13.(2022江苏南京玄武校级月考)-2+4-8+…+(-2)n=(　　)

A.(-1)n-1 B.(-1)n

C.3n D.3n-1

14.(2022山西临汾模拟)在的展开式中,x8的系数为170,则正数a的值为(　　)

A. B. C.2 D.1

15.已知在x2-n的展开式中,第9项为常数项,则:

(1)n的值为　　　　　; 

(2)含x的整数次幂的项有　　　　　个. 

16.在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项的系数是　　　　. 

17.已知(xcos θ+1)5的展开式中x2的系数与x+4的展开式中x3的系数相等,则cos θ=　　　　. 

18.已知n的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.

(1)证明:展开式中没有常数项;

(2)求展开式中所有的有理项.

C级 学科素养创新练

19.已知f(x)=(1+x)m,g(x)=(1+2x)n(m,n∈N*).

(1)若m=3,n=4,求f(x)g(x)的展开式中含x2的项;

(2)令h(x)=f(x)+g(x),h(x)的展开式中x的项的系数为12,那么当m,n为何值时,含x2的项的系数取得最小值?

6.3.1　二项式定理

1.A　在通项Tk+1=(-y)kx10-k中,令k=4,即得(x-y)10的展开式中x6y4项的系数为(-)4=840.

2.D　(1-x)5中x3的系数为-=-10,-(1-x)6中x3的系数为-(-1)3=20,故(1-x)5-(1-x)6的展开式中x3的系数为10.

3.B　展开式中的第k+1项为(3x)n-k3n-k若展开式中含常数项,则存在n∈N*,k∈N,使n-k=0,故最小的n为5,故选B.

4.AD　二项式+x3n的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和x的一次项,故选AD.

5　二项展开式的通项为Tk+1=x10-kak,当10-k=7时,k=3,T4=a3x7,则a3=15,故a=

6　T3=32=x,T4=2·3=,故M+N=2当且仅当,即x=时,等号成立.

7.解,∴n=17,Tk+1=2k

令=1,得k=9.

∴T10=x4·29·x-3=29·x.

故x的系数为29

8.解T5=)n-4·24x-8=16,T3=)n-2·22x-4=4

由题意知,,解得n=10(负值舍去).

Tk+1=)10-k·2kx-2k=2k,

令=0,解得k=2.

所以展开式中的常数项为22=180.

9.证明∵1+2+22+…+-1=32n-1=(31+1)n-1=31n+31n-1+…+31+-1=31(31n-1+31n-2+…+),显然31n-1+31n-2+…+为整数,∴原式能被31整除.

10.D　(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10,x5的系数为=207.

11.B　∵x3=(x-2+2)3=(x-2)3+(x-2)2·2+(x-2)·22+23=8+12(x-2)+6(x-2)2+(x-2)3,

∴a2=6.

12.D　展开式的通项为Tk+1=(-1)k=(-1)k

令10-2k=2或10-2k=0,解得k=4或k=5.

故(x2+2)的展开式中的常数项是

(-1)4+2×(-1)5=3.

13.A　∵-2+4-8+…+(-2)n=1-2+4-8+…+(-2)n-1=(1-2)n-1=(-1)n-1.

14.C　由多项式的乘法性质知每个括号里的因式是a,x,-,则x8=x9=x8×1×1,共有2种情况,

则对应的x8为x9+a2·x8=(-10+45a2)x8,

∵x8的系数为170,

∴-10+45a2=170,则45a2=180,

即a2=4,解得a=2.

15.(1)10　(2)6　二项展开式的通项为Tk+1=x2n-k·-k=(-1)kn-k

(1)因为第9项为常数项,所以当k=8时,2n-k=0,

解得n=10.

(2)要使20-k为整数,需k为偶数,

由于k=0,1,2,3,…,9,10,

故符合要求的项有6个,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.

16.-121　展开式中含x3的项的系数为(-1)3+(-1)3+(-1)3+(-1)3=-121.

17.±　(xcos θ+1)5展开式中x2的系数为cos2θ,

x+4展开式中x3的系数为由题意可知cos2θ=,∴cos2θ=,∴cos θ=±

18.(1)证明由题意得2=1+,

即n2-9n+8=0,∴n=8(n=1舍去).

∴Tk+1=)8-k=(-1)k(0≤k≤8,k∈Z).

若Tk+1是常数项,则=0,

即16-3k=0,∵k∈Z,∴等式不可能成立,

∴展开式中没有常数项.

(2)解由(1)知,若Tk+1是有理项,当且仅当为整数.∵0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8,

即展开式中有三项有理项,分别是T1=x4,T5=x,T9=x-2.

19.解(1)当m=3,n=4时,f(x)g(x)=(1+x)3(1+2x)4.

(1+x)3展开式的通项为xr,

(1+2x)4展开式的通项为(2x)k,

f(x)g(x)的展开式中含x2的项为1(2x)2+x(2x)+x2×1=51x2.

(2)h(x)=f(x)+g(x)=(1+x)m+(1+2x)n.

因为h(x)的展开式中x的项的系数为12,

所以+2=12,即m+2n=12,

所以m=12-2n.

x2的系数为+4+4(12-2n)(11-2n)+2n(n-1)=4n2-25n+66=4n-2+,n∈N*,

所以当n=3,m=6时,

含x2的项的系数取得最小值.