数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步训练题

8.4.2.1直线与直线的位置关系同步练习

一、单选题

1．正方体中，与对角线成异面直线的棱有（    ）

A．3条 B．4条 C．6条 D．8条

2．已知，，，则与两边方向相同的等于（    ）

A．60° B．60°或120° C．120° D．以上结论都不对

3．两等角的一组对应边平行，则（    ）

A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行

C．另一组对应边垂直 D．以上都不对

4．在空间四边形中，，，，分别是，，，的中点．若，且与所成的角为，则的长为（    ）

A．1 B． C．1或 D．或

5．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知长方体中，，则异面直线与的距离是（    ）

A． B．1 C．2 D．3

7．以下四个图中，表示直线与平行的是（    ）

A．               B．

C． D．

8．在正方体中，E，F分别是线段，的中点，则异面直线，EF所成角余弦值是（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（    ）

A． B． C． D．

10．如图，在正四棱柱，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下面结论一定成立的是（    ）

A．EF与A1C1平行 B．BC1与AB1 所成角大小为

C．EF与BB1垂直 D．EF与BD垂直

11．已知平行四边形ABCD，，BC=1，，E是线段CD上一动点.将沿AE所在的直线进行翻转，在翻转过程中，下列结论正确的是（    ）

A．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

B．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

C．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．当时，存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

12．如图所示，已知在正方体中，平面，且与不平行，则下列能成立的是（    ）

A．与平行

B．与异面

C．与所成的角为

D．与垂直

三、填空题

13．若空间中两个角的两边分别平行，则这两个角的大小关系是______．

14．空间两个角和，若，，，则的大小是______．

15．如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为______．

16．如图，是长方体，是的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是______．（填写所有符合要求的结论序号）

①三点共线；        ②四点共面；

③四点共面；    ④四点共面．

四、解答题

17．已知S是矩形所在平面外一点，，，与所成角大小为，与所成角大小为，，分别求直线与的距离及与的距离．

18．如图所示，在四面体中，E、F分别是线段AD、BC上的点，．

(1)求证：直线与是异面直线；

(2)若，，求、所成角的大小．

19．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.

20．设两条电线所在的直线是异面直线，它们的距离是2 m，所成的角是60°．已知这两条电线上各有一点，距离公垂线的垂足都是8 m．求这两点之间的距离．

21．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE＝ED1，BF＝2FB1.证明：

(1)当AB＝BC时，EF⊥AC；

(2)点C1在平面AEF内.

22．正四棱柱中，底面的边长为1，为正方形的中心.

（1）求证：平面；

（2）若异面直线与所成的角的正弦值为，求直线到平面的距离.。

参考答案

1--8CADCB CCC

9．AC

10．ACD

11．BCD

12．BCD

13．相等或互补

14．或

15．

16．①②③

17．∵,，，∴，

因为与所成角大小为，而，则，

因为与所成角大小为，而，则，

，则，，，

又是矩形，

所以线段是直线与的公垂线段，线段是与的公垂线线段，

所以直线与的距离是，与的距离是．

18．（1）若为上靠近的三等分点，则，故，

所以四点共面，显然不共线，故面与面为同一个平面，

而面，面，即面，面，，

所以直线与是异面直线；

（2）若分别为靠近的三等分点，则，

所以，，故为平行四边形，且、所成角为或其补角，

又，，则，

由，故，则、所成角为60°.

19．证明：如图所示，连接B1C.

因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C.

又ABCD－A1B1C1D1为正方体，

所以CD∥AB，A1B1∥AB，所以CD∥A1B1，

所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C.

又B1C∥FG，所以A1D∥FG.

同理可证A1C1∥EG，DC1∥EF.

又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两条边分别对应平行且方向相同，

所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.

所以△EFG∽△C1DA1.

20．设两条异面直线a、b之间的距离，在上，，在上，．

过作∥a，过A作于C，连接BC、AB，则AB为要求的距离．

∵EF是a、b公垂线，∴易知平面，则平面，则AC⊥BC．

当、在公垂线EF同侧时，

，∵FB=FC=EA=8 m，∴为正三角形，∴，

在Rt中，，；

当、在公垂线EF异侧时，

，FC=8 m，EF=AC=2 m，BF=8 m，

在中，由余弦定理得：m，

则；

综上所述，要求的两点间的距离为或．

21．（1）如图，连接BD，B1D1.

由AB＝BC，即四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.

又BB1⊥面ABCD，面ABCD，则AC⊥BB1.

又BD∩BB1＝B，面BB1D1D，则AC⊥面BB1D1D.

由EF⊂平面BB1D1D，即有EF⊥AC.

（2）如图，在棱AA1上取点G，使得AG＝2GA1，连接GD1，FC1，FG.

因为ED1＝DD1，AG＝AA1，DD1=AA1，

∴ED1//AG且ED1=AG，于是四边形ED1GA为平行四边形，故AE∥GD1.

因为B1F＝BB1，A1G＝AA1，BB1＝AA1，易知：B1FGA1是平行四边形，故FG//A1B1且FG＝A1B1，

∴FG//C1D1且FG＝C1D1，则四边形FGD1C1为平行四边形，故GD1∥FC1.

∴AE∥FC1，即A，E，F，C1四点共面，即点C1在平面AEF内.

22．（1）连接，交于点，连接，交于点，连接，

正四棱柱中，，且，又因为点、分别为、的中点，

所以，且，

则四边形为平行四边形，故，

又不在平面内，在平面内，

故平面.

（2）由（1），，故异面直线与所成的角等于，

因为正四棱柱中，侧棱底面，则，

又，则平面，则.

因正方形的边长为1，则.

得，则.

因为平面，则直线到平面的距离等于点到平面的距离，

又为的中点，则点到平面的距离等于点到平面的距离，

在三角形内作，因为平面，

则平面平面，故平面.

直角三角形中，，，，

则.

则直线到平面的距离为.