高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系同步达标检测题
展开绝密★启用前
4.3.1空间中直线与直线的位置关系同步练习
湘教版（2019）高中数学必修第二册
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）
- 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中
与平行；
与是异面直线；
与成；
与垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是
A. B. C. D.
- 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
；
与所成的角为；
与是异面直线；
．
以上四个命题中，正确命题的序号是
A. B. C. D.
- 一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
；
与成的角；
与是异面直线；
其中正确的是
A. B. C. D.
- 如图，在正方体中，点，分别是，的中点，为正方形的中心，则
A. 直线，是异面直线
B. 直线，是相交直线
C. 直线，是相交直线
D. 直线与所成的角为
- 下图是一个正方体的展开图，则在该正方体中
A. 直线与直线平行
B. 直线与直线相交
C. 直线与直线异面垂直
D. 直线与直线异面且所成的角为
- 如图是正方体的平面展开图．则在这个正方体中：
与平行；与是异面直线；与成角；与是异面直线．
以上四个命题中，正确的命题序号是
A. B. C. D.
- 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：与平行；与是异面直线；与成；与是异面直线．以上四个命题中，正确的命题序号是
A. B. C. D.
- 如图是正方体的平面展开图．则在这个正方体中：
与平行；与是异面直线；与成角；与是异面直线．
以上四个命题中，正确的命题序号是
A. B. C. D.
- 如图是某正方体的展开图，其中，，，，，分别是原正方体对应棱的中点，则在原正方体中与异面且所成角为的直线是
A.
B.
C.
D.
- 如图是正方体的平面展开图．则在这个正方体中：
与平行；与是异面直线；与成角；与是异面直线．
以上四个命题中，正确的命题序号是
A. B. C. D.
- 如图是正方体的平面展开图．则在这个正方体中：
与平行；与是异面直线；与成角；与是异面直线．
以上四个命题中，正确的命题序号是
A. B. C. D.
- 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：与平行；与是异面直线；与成；与是异面直线．以上四个命题中，正确的命题序号是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、多空题（本大题共5小题，共25.0分）
- 空间四边形中，，，，分别是，，，的中点，则与的位置关系是 ；四边形是 形；当 时，四边形是正方形．
- ，，，分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是相交直线的图形的是 ，表示直线，是异面直线的图形的是 填序号
- 下列四个正方体中，分别为正方体所在棱的中点，能得出与是异面直线的是 ；能得出面的是 ．
- 空间四边形中，分别是的中点，四边形是 形；当 时，四边形是菱形；当 时，四边形是矩形；当 时，四边形是正方形
- 若两条异面直线、所成的角为，过空间一定点做直线，若与直线、所成的角均为，则这样的直线有 条；若与直线、所成的角均为，则这样的直线有 条．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
- 如图在三棱锥中，点，，，分别为相应棱的中点，
求证：四边形为平行四边形；
若，，求异面直线与所成的夹角．
- 如图，在正方体中，，，，分别为，，，的中点．
在正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？
分别求异面直线与，与所成的角．
- A.如图，在四棱锥中，平面，四边形是一个直角梯形，，，．
求证：平面；
若，且，求三棱锥的侧面积．
如图所示，三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱底面，点，分别是棱，上的点，点是线段上的动点，．
当点在何位置时，平面
若平面，判断与的位置关系，说明理由；并求与所成的角的余弦值．
- 如图，在正方体中，分别为的中点．
在正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线；
分别求异面直线与，与所成的角．
- 已知空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，的中点．
求证：与是异面直线；
求证：与相交．
- 如图，在直三棱柱中，，， ，分别为，的中点．
求证；
求异面直线与所成角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：展开图复原的正方体如图，不难看出：
与平行；错误的，是异面直线；
与是异面直线，错误；是平行线；
与成；正确；
与垂直．正确
判断正确的答案为
故选D
将展开图复原为几何体，如图，容易判断选项的正误，求出结果．
本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间中直线与直线的位置关系，异面直线及异面直线所成的角，属于中档题．
先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可．
【解答】
解：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体如图所示，
则，与为异面直线，，，
只有正确．
故选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．
将其还原成正方体，如图所示，依据图形、正方体的几何性质进行判断各线的位置关系．
【解答】
解：
连接，可证得是平行四边形，即得，又，所以，所以正确；
由中已知，所以不正确；
由图直观观察即知与是异面直线，所以正确；
同的证明方法相同，可证得，所以不正确；
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查异面直线的判断及异面直线所成角，属于基础题．
利用异面直线的定义及异面直线所成角的定义判断求解即可．
【解答】
解：由题意知四边形为平行四边形，
则与相交，故A错
点在平面外，故直线，是异面直线 ，故B错
点在平面外，故直线，是异面直线 ，故C错
取的中点，连接，，则，
所以为直线与所成的角，
设正方体的棱长为，
则，
由，
所以为直角三角形，
所以．
故选D．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查平面图形向空间图形的转化，考查折叠问题、异面直线的判断及异面直线所成的角，属于基础题．
将正方体的平面展开图还原成直观图，通过作平行线作出异面直线所成的角，即可得解．
【解答】
解：如图，将正方体的平面展开图还原成直观图，
由图可知，直线，异面，
因为，
所以即为直线，所成的角，
易知为等边三角形，则，
所以直线与直线异面且所成的角为，
故选D．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方体的结构特征及空间中直线的位置关系，同时考查异面直线所成的角，属于基础题．
将正方体还原即可求得正确的选项．
【解答】
解：根据展开图，画出立体图形，
由图知与垂直，不平行，
与是平行直线，
与成，
与是异面直线，
故正确．
故选D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间中直线的位置关系的判定，正方体的结构特征，属于基础题．
解决此题的关键是将正方体的平面展开图还原为正方体，结合各点在正方体中的位置进行判断求解．
【解答】
解：将正方体的平面展开图还原正方体如图：
由图可得：与是异面直线，故错误；
与平行，故错误；
易知，即与所成角为，
又因为， 所以与成角，故正确；
从图中显然得到与是异面直线，故正确；
故正确．
故选C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方体的结构特征及空间中直线的位置关系，考查异面直线所成的角，考查空间思维能力，属于中档题将正方体还原后，根据位置关系可判断出错误，正确；由平行关系可知与所成角为，由可知所成角为，正确．
【解答】
将正方体还原后，如下图所示：
则与与异面直线，，与为异面直线，知错误，正确；
异面直线与所成角即为与所成角，即
，即异面直线与所成角为，正确．
故选：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查正方体的侧面展开图，及空间异面直线夹角，考查学生的空间想象能力，属于中档题
准确还原正方体是这题的关键，借助于正方体，可逐项判断。
【解析】
解：
还原正方体如图所示：，两点重合
和相交，即和相交，故A错
和相交，即和相交，故B错
和异面，如图做，可知为该边中点，设正方形边长为，可得，所以
所以和所成角为，故C正确
而和所成交角，由正方体性质可知为，故D错．
故选C．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方体的结构特征及空间中直线的位置关系，同时考查异面直线所成的角，属于基础题．
将正方体还原即可求得正确的选项．
【解答】
解：根据展开图，画出立体图形，
由图知与垂直，不平行，
与是平行直线，
与成，
与是异面直线，
故正确．
故选D．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查正方体的结构特征及空间中直线的位置关系，同时考查异面直线所成的角，属于基础题．
将正方体还原即可求得正确的选项．
【解答】
解：根据展开图，画出立体图形，
由图知与垂直，不平行，
与是平行直线，
与成，
与是异面直线，
故正确．
故选D．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间中直线的位置关系的判定，正方体的结构特征，属于基础题．
解决此题的关键是将正方体的平面展开图还原为正方体，结合各点在正方体中的位置进行判断求解．
【解答】
解：将正方体的平面展开图还原正方体如图：
由图可得：与是异面直线，故错误；
与平行，故错误；
易知，即与所成角为，
又因为， 所以与成角，故正确；
从图中显然得到与是异面直线，故正确；
故正确．
故选C．
13.【答案】异面直线
平行四边
，
【解析】解：假设，是共面直线，则，，，共面；
所以四边形是平面四边形与已知矛盾，
故BC，是异面直线，
，，分别是，的中点，
；；同理；；
所以四边形是平行四边形，
若四边形是正方形，则四边形是矩形且是菱形，则：，．
故答案为：异面直线；平行四边；且．
利用反证法得到，是异面直线；利用三角形的中位线平行且等于底边的一半判断出的形状及有其形状判断出，的位置关系．
证明或判断两直线是异面直线常用反证法、三角形的中位线平行且等于底边的一半，属于中档题．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，多面体的结构，异面直线的概念，属于基础题．
根据选项，结合直线与直线的位置关系的判定方法，逐一判断即可．
【解答】
解：图中，直线图中，，，三点共面，但平面，因此直线与异面图中，连接，，因此与共面，由图可知与相交图中，，，共面，但平面，因此与异面所以在图中，与异面．
故答案为：；．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查立体几何中的异面直线、直线与平面平行的判定，属基础题．
根据异面直线的判定方法以及线面平行判定定理确定．
【解答】
解：由异面直线的判定定理可知，与是异面直线；
又面面， 面
若由异面直线的判定定理可知，与是异面直线；
下底面中心为，易知，面，
与面不平行．
易知， 面
由图可知与是异面直线，存在一直线，且平面，
与面不平行．
故答案为．
16.【答案】平行四边形
且
【解析】
【分析】
本题考查了平行公理平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质等知识点的理解和掌握，熟练掌握各定理是解决此题的关键．
【解答】
解：四边形的形状是平行四边形．理由如下：
如图，连结、分别是、中点，
，，同理，，
，，四边形是平行四边形；
当时，，四边形式菱形；
当时，，四边形是矩形；
当且时，此时，，四边形是正方形．
17.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的运用，属于中档题．
根据题意结合图形判定即可．
【解答】
解：如图，把异面直线，平移到相交，使交点，此时，
过点作直线平分，
这时与，所成角为，
一条过点作直线垂直和，这时与，所成角为直线从向两边转到时与，所成角单调递增，
必有经过到的角，
过点与直线，所成的角为的直线有有条；
过点与直线，所成的角为的直线有有条；
故答案为；．
18.【答案】证明：，为棱，的中点，，
又，为棱，的中点，，
由平行公理得，
四边形为平行四边形；
解：由题意知，，，
为异面直线与所成的角，
，，
又由，，
在中，，
，即，
异面直线与所成的夹角为．
【解析】本题考查平行公理与等角定理，空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成角，考查逻辑推理能力，属于基础题．
由三角形中位线定理和平行公理可得；
通过平移得为异面直线与所成的角，利用解三角形可得．
19.【答案】解：在正方体中，所在的直线与是异面直线的棱有：，，，，，．
连接，，
因为，，，分别为，，，的中点，
所以，，
所以与所成的角即为与所成的角．
由于为正三角形，所以与所成的角为，
即与所成的角为．
因为在正方体中，，
所以即为与所成的角．
因为为等腰直角三角形，
所以，即与所成的角为．
【解析】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，异面直线，异面直线所成的角的应用，
根据已知及空间中直线与直线的位置关系，异面直线的判断，可知哪些棱所在的直线与直线是异面直线，
根据已知及异面直线所成的角的计算，求出异面直线所成的角的值．
20.【答案】 解：过作，为垂足，
在直角梯形中，设
则四边形为矩形，，
，故EC，
，
，
，
平面，平面，
，
，，平面，
平面
设，由得，
平面，平面，
，
，
在等腰三角形中，设为的中点，
所以，
，
由得平面，平面，
，
，，平面，
平面，
由得，梯形的面积，
所以，
解得，
为边长为的等边三角形，是一个等腰直角三角形，
三棱锥的侧面积．
解：为中点；
证明如下：取的中点，连接，；
，分别为，的中点，
则为的中位线，
，
，且，
，
四边形为平行四边形，
故B；
又平面，平面，
平面；
由得，与的位置关系是：异面直线，
所以就是异面直线与所成的角，
在三棱柱中，侧棱底面，
所以底面，
底面，
所以，
在直角三角形中，，，则则
在矩形中，，，，
因为三角形是边长为的正三角形，且为的中点，
所以，
由得四边形为平行四边形，
则，
．
【解析】 本题主要考查的是线面垂直的判断，考查四棱锥的体积与侧面积，是基础题．
过作，为垂足，易证，，则可证平面；
设，设为的中点，易求得，，，，即证出平面，由得，梯形的面积所以，解得，
由为边长为的等边三角形，是一个等腰直角三角形，则可求得三棱锥的侧面积．
本题主要考查的是线面平行的判断以及异面直线所成角，是基础题．
取的中点，连接，；
可证得四边形为平行四边形，故B，平面得证；
由得，与的位置关系是：异面直线，且就是异面直线与所成的角，
在三棱柱中，侧棱底面，易求得，，，由余弦定理即可求得与所成的角的余弦值．
21.【答案】解：在正方体中，所在的直线与是异面直线的棱有：，，，，，．
连接，，因为，，，分别为，，，的中点，
所以，，
所以与所成的角即为与所成的角．
由于为正三角形，所以与所成的角为，
即与所成的角为．
因为在正方体中，，
所以即为与所成的角．
因为为等腰直角三角形，
所以，即与所成的角为．
【解析】本题主要考查了空间中直线与直线的位置关系，异面直线，异面直线所成的角的应用，
根据已知及空间中直线与直线的位置关系，异面直线的判断，可知哪些棱所在的直线与直线是异面直线，
根据已知及异面直线所成的角的计算，求出异面直线所成的角的值．
22.【答案】证明：假设与不是异面直线，则与共面．
不妨设它们所共平面为，则，，，，
所以四边形为平面图形，这与四边形为空间四边形相矛盾．
所以与是异面直线．
如图，连接，，点，分别是边，的中点，点，分别是边，的中点．
则，，因此
同理，
则四边形为平行四边形．
又，是平行四边形的对角线，
所以与相交．
【解析】本题考查异面直线，考查空间中的直线与直线间的位置关系，考查平面的性质和平行公理的应用，属于中档题．
假设与不是异面直线，则与共面，可以得，，，共面，与空间四边形矛盾，从而得到假设不成立，即可证得原结论成立；
根据中位线定理，从而可以得，，由平行公理得同理，所以为平行四边形根据，是平行四边形的对角线即可证得结论．
23.【答案】解：设 ，， ，
根据题意得， ，
证明：易知 ， ．
．
，即．
易知 ，，
又 ，，
，
，，
即异面直线与所成角的余弦值为．
【解析】本题主要考查向量法解决空间几何中的直线与直线垂直和异面直线所成的角，属于中档题．
先 ，，建立一个基底，再用基底表示，，然后计算其数量积，可得答案；
由中基底表示，，再用向量的夹角求解．
高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系课时训练： 这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第二册4.3 直线与直线、直线与平面的位置关系课时训练，共6页。
【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第二册--8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 课时2 空间点、直线、平面之间的位置关系 练习（含解析）： 这是一份【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第二册--8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 课时2 空间点、直线、平面之间的位置关系 练习（含解析），共7页。试卷主要包含了异面直线是指，下列说法正确的是，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步训练题： 这是一份数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系同步训练题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
