高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.5 全称量词与存在量词复习练习题

人教A版（2019）必修第一册《1.5 全称量词与存在量词》同步练习

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）设命题：，，则为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

2.（5分）命题“，则”的逆否命题是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

3.（5分）正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则 
①；②平面；③三棱锥的体积是定值；④的面积和的面积相等． 
以上命题中正确的是

A. ①② B. ①②④ C. ①②③ D. ①③④

4.（5分）已知为实数，命题：，，则为

A. ， B. ，
C. ， D. ，

5.（5分）有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；   （4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是（  ）

A. （1） B. （2）
C. （3） D. （4）

6.（5分）命题“，”的否定形式是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

7.（5分）命题：“，使得”的否定

A. ，都有 B. ，都有
C. ，都有 D. ，都有

8.（5分）已知命题P：∃x∈R，ex≤0则￢P为（  ）

A. ∀x∈R，ex≤o B. ∀x∈R，ex＞0
C. ∃x∈R，ex＞o D. ∃x∈R，ex≥o

二 、填空题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）某同学在研究函数时，得出了下面个结论：①等式在时恒成立；②函数在上的值域为；③曲线与仅有一个公共点；④若在区间，为整数上的值域是，则满足条件的整数数对共有对．其中正确结论的序号有 ______ 请将你认为正确的结论的序号都填上．

10.（5分）已知命题：，，则为 ______ ．

11.（5分）已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围是______．

12.（5分）的内角、、所对的边分别为、、，下列命题： 
三边、、既成等差数列，又成等比数列，则是等边三角形； 
若，则是等腰三角形； 
若，则； 
若，则；，，若唯一确定，则． 
其中，正确命题的序号是______把你认为正确命题的序号全填上．

13.（5分）设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则  
的周期是；           
在上递减，在上递增；  
的最大值是，最小值是；    
当时，  
其中正确的命题的序号是 ______ ．

三 、多选题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）设命题：，为质数，则

A. 为假命题 B. ：，不是质数
C. 为真命题 D. ：，不是质数

15.（5分）下列命题中为真命题的是

A. “且”是“”的充要条件；
B. “”是“”的充分不必要条件；
C. “”的否定是“”；
D. 函数在区间上有且只有一个零点．

16.（5分）下列说法中正确的有

A. 设，是两个集合，若，则
B. 函数的单调增区间为
C. 已知，是实数，则“”是“”的充要条件.
D. 设是定义在上的函数，则函数是奇函数

17.（5分）下列命题是真命题的有

A. 时，的最大值为
B. 已知，则的最小值为
C. 已知，，，则不等式成立的充分不必要条件是
D. ，

18.（5分）下列叙述中不正确的

A. 命题“，总有”的否定是“，使得”
B. 设，，，则“”的充要条件“”；
C. “”是“方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件；
D. “”是“”的充分不必要条件

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知命题：复数，，是虚数．命题：关于的方程：的两个虚根的模的和不大于若、均为真命题，求实数的取值范围．

20.（12分）设：；：若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．

21.（12分）给出下列四个命题：  
①若是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，则；  
②若锐角，满足，则；  
③已知扇形的半径为，面积为，则这个扇形的圆心角的弧度数为；  
④为奇函数，当时，，则．  
其中真命题的序号为 ______ ．

22.（12分）设命题：对任意的恒成立，其中，． 
若，，求证：命题为真命题． 
若命题为真命题，求，的所有值．

23.（12分）判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题． 
（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数； 
（2）三角函数都是周期函数吗？ 
（3）有一个实数x，x不能取倒数； 
（4）有的三角形内角和不等于180°．

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】解：命题：，，则为：，， 
故选：． 
利用命题的否定定义即可得出． 
此题主要考查了命题的否定、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

2.【答案】D;

【解析】解：因为原命题是“，则”，  
所以其逆否命题为“若，则”，  
故选：． 
根据互为逆否的两命题是条件和结论先逆后否来解答． 
本题考察命题中的逆否关系，可以从字面理解“逆否”：先逆后否．
 

3.【答案】C;

【解析】解：对于①，根据题意，结合图形知， 
，， 
可得面，平面， 
，命题正确； 
对于②，正方体中， 
平面平面，平面， 
平面，命题正确； 
对于③，三棱锥的体积为， 
三棱锥的体积为定值，命题正确； 
对于④，点到直线的距离与点到直线的距离不相等， 
与的面积不相等，命题错误． 
其中正确的命题为①②③． 
故选：． 
①由线面垂直得出线线垂直；②由面面平行得出线面平行； 
③可求出该三棱锥的体积为定值；④由与是同底不等高，得出面积不相等． 
本题以正方体为载体，考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了面积与体积的计算问题，属于中档题．

 

4.【答案】C;

【解析】解：命题：，，  
则为：，． 
故选：． 
根据特称命题的否定是全称命题，写出命题的否定命题即可． 
该题考查了特称命题的否定是全称命题的问题，是基础题．
 

5.【答案】C;

【解析】解：命题“所有男生都爱踢足球”是一个全称命题，它的否定是一个特称命题， 
考察四个命题，（3）“至少有一个男生不爱踢足球”是所研究命题的否定 
故选C．
 

6.【答案】A;

【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为，， 
故选： 
根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 
此题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
 

7.【答案】C;

【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，  
所以：命题：“，使得”的否定：，都有． 
故选：． 
直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 
该题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
 

8.【答案】B;

【解析】解：根据特称命题的否定为全称命题可知P：∃x∈R，≤0的否定 
￢P为：∀x∈R，＞0 
故选B
 

9.【答案】①②④;

【解析】 
该题考查了函数的性质．一般先研究定义域，然后判断函数的奇偶性、单调性等性质作为突破口，有一些要结合函数的图象加以分析，注意数形结合的思想的应用． 
可以先研究函数的奇偶性，然后做出函数的图象，据此求解． 
 
解：函数易知函数的定义域为，且，故函数为偶函数．故①正确； 
当时，函数， 
该函数在上减函数，且时，； 
当时，函数的值域为：，所以②正确； 
结合奇偶性，作出的图象如下： 
 
曲线与，结合函数的图象，可知时，，仅有一个公共点不正确，所以③不正确； 
若在区间，为整数上的值域是，则满足条件的整数数对共有对．分别为，，，，所以④正确． 
故正确的命题是①②④． 
故答案为：①②④．
 

10.【答案】，;

【解析】解：“存在命题”的否定是“全称命题”， 
命题：，的否定是： 
， 
故答案为：，． 
“存在性命题”的否定是“全称命题”，命题的否定即命题的对立面， 
“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述，如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”，“都是”与“不都是”等， 
所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．
 

11.【答案】（-∞，-3）∪（1，+∞）;

【解析】解：“，”是假命题， 
“，”的否定“，”为真命题． 
令，表示数轴上的点到数及的距离， 
的最小值为， 
， 
解得或． 
利用已知条件判断出命题的否定为真命题；构造函数，利用绝对值的几何意义求出函数的最小值，令最小值大于，求出的范围． 
此题主要考查命题与的真假性相反、考查绝对值的几何意义、考查不等式恒成立问题．
 

12.【答案】（1）（3）（4）;

【解析】解：三边、、既成等差数列，又成等比数列，可得， 
则是等边三角形，故正确； 
若，可得，即为， 
可得或，即或， 
则是等腰或直角三角形，故错误； 
若，可得，则，故正确； 
若，可得， 
可得，由，可得，由 
则，故正确； 
，，可得，即， 
若唯一确定，则或，故错误． 
故答案为：． 
由等差数列和等比数列中项性质可判断；由正弦定理和二倍角公式、诱导公式，可判断； 
由三角形的边角关系和余弦函数的单调性可判断；由余弦定理和基本不等式可判断； 
由正弦定理和三角形的边角关系可判断． 
该题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及三角形的形状的判断，考查化简运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】（1）（2）（4）;

【解析】解：对任意的恒有，  
，即是的周期，正确；  
时，为增函数，又是定义在上的偶函数，  
在区间上单调递减，又其周期，  
在上递减，在上递增，正确；  
由时，为增函数，在区间上单调递减，且其周期为可知，  
，，故错误；  
当时，，，  
，又是周期为的偶函数，  
，正确．  
综上所述，正确的命题的序号是，  
故答案为：． 
依题意，，可判断；  
利用时，，可判断在区间上为增函数，利用其周期性与偶函数的性质可判断；  
利用函数的周期性、奇偶性及单调性可判断；  
当时，，，从而可得，又是周期为的偶函数，可判断． 
此题主要考查命题的真假判断与应用，综合考查抽象函数的周期性、奇偶性、单调性即最值的综合应用，属于难题．
 

14.【答案】BC;

【解析】解：命题：，为质数，  
当时，不是质数，  
故命题为假命题，  
：，不是质数，  
所以为真命题．  
故选：． 
先判断命题为真命题，然后利用含有一个量词的命题的否得到，利用命题的否定与原命题的真假相反得到答案． 
该题考查了命题的真假的判断以及命题的否定，涉及了含有一个量词的命题的否定，解答该题的关键是掌握命题的否定与原命题的真假相反，属于基础题．
 

15.【答案】BD;

【解析】

 
此题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断 、全称量词命题的否定、函数的零点与方程根的关系 ，属于中档题. 
由必要条件、充分条件与充要条件的定义判断和，由全称量词命题的否定判断，由函数的零点与方程根的关系相关知识判断 
 
解：：显然由且能推出，但是由不一定能推出且，

例如当且时，显然成立，但是不成立，故本命题是假命题；

：显然由能推出， 
但是由不一定能推出， 
比如当时，显然，由，

显然此时的值不是整数，故本命题是真命题；

：因为“”的否定是“”，所以选项是假命题；

：显然函数在区间上是单调递增函数，

因为，

所以函数在区间上有且只有一个零点，因此本命题是真命题.

故选：
 

16.【答案】AD;

【解析】 
此题主要考查了函数的奇偶性，必要条件、充分条件与充要条件的判断，也考查了复合函数的单调性，属于中档题. 
根据奇偶性，充要条件的判断，复合函数的单调性逐项判断即可. 
 
解：设，是两个集合，若，则，故正确； 
B.由，得，即函数的定义域为， 
函数可看作由函数和复合而成的， 
函数单调递减， 
由复合函数单调性的判定方法知，要求的增区间只需求出的减区间. 
而的减区间是 
所以函数的单调增区间是，故错误； 
C.若“”，则，若“”，则 
所以“”是“”的必要不充分条件，故错误. 
D.因为是定义在上的函数，令， 
所以， 
所以函数是奇函数，故正确. 
故选
 

17.【答案】BCD;

【解析】 
此题主要考查命题真假的判断，涉及基本不等式、充分、必要条件的判断等知识，属于基础题. 
逐个判断即可. 
 
解：对于、因为，则， 
当且仅当时取等号，故错误； 
对于、由，得，则， 
故正确； 
对于、若，则；反之，若，则不一定有如时， 
故不等式成立的充分不必要条件是，故正确； 
对于、因为，使得成立，故正确， 
故选
 

18.【答案】ABC;

【解析】 
此题主要考查全称量词命题的否定，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题， 
依据全称量词命题的否定的定义，以及必要条件、充分条件与充要条件的定义逐项判断. 
 
解：选项：依据全称量词命题、存在量词命题的否定定义，可知命题“，总有”的否定是“，使得 ”，故选项不正确； 
选项：由，容易得到，反之有，不成立，时有，显然因此选项不正确； 
选项：当时，一元二次方程根的判别式为，即方程有两个根，注意到二次函数图象开口向上，在处取值为，因此方程有一个正根和一个负根，反之若方程有一个正根和一个负根，则其解设为，有，因此”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项不正确； 
选项：时，显然，反之，得到或，因此“”是“”的充分不必要条件，故选项正确. 
故选
 

19.【答案】解：由…（1分） 
若命题p为真，则…………（3分） 
∴m≠-4且m≠2且m≠-2（m∈R）……（4分） 
若命题q为真，设两虚根为α，，则…………（5分） 
∴…………（6分） 
∴，≤9，-3≤m≤3…………（7分） 
又∵△＜0，16（m-1）2-8（+7）＜0⇒-1＜m＜5，∴-1＜m≤3……（8分） 
∵p，q均为真命题， 
∴实数m的取值范围是（-1，2）∪（2，3]．………………（10分）;

【解析】 
利用复数的概念，以及复数的模，通过两个命题是真命题，推出不等式，然后求解即可． 
此题主要考查命题的真假的判断与应用，复数的概念以及复数的模的求法，考查计算能力．
 

20.【答案】解：∵p：|4x-3|≤1；q：-（2a+1）x+a（a+1）≤0， 
∴p：-1≤4x-3≤1，解得{x|≤x≤1}，q：{x|a≤x≤a+1}， 
∵￢p是￢q的必要而不充分条件， 
∴￢q⇒￢p，￢p推不出￢q，可得p⇒q，q推不出p， 
∴解得0≤a≤，验证a=0和a=满足题意， 
∴实数a的取值范围为：a∈[0，]；;

【解析】 
根据绝对值的性质和十字相乘法分别求出命题和，再根据是的必要而不充分条件，可以推出，再根据子集的性质进行求解； 
该题考查充分条件必要条件的定义及绝对值的性质，确定两个条件之间的关系，本题求解中涉及到了一元二次方程有根的条件，及集合间的包含关系，有一定的综合性．
 

21.【答案】②③④;

【解析】解：由函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，可得函数在上单调递减，  
由，可得，则，故①错误  
由锐角，满足可得，则有即，故②正确  
设扇形的弧长为，则扇形的面积，即，  
则这个扇形的圆心角的弧度数，故③正确，  
为奇函数，当时，，  
，故④正确，  
故答案为：②③④  
由已知可得函数在上单调递减，结合，可知，从而可判断  
由锐角，满足可得，则有，则可判断  
由扇形的面积公式和弧度数公式进行求解判断  
根据函数奇偶性的性质，故可判断  
这道题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强，考查学生的运算和推理能力．
 

22.【答案】证明：（1）若a=1，b=0，则命题p：对任意的，sinx≤x≤tanx恒成立， 
如图由三角函数线的定义可知， 
sinx=MP，cosx=OM，x=， 
tanx=AT． 
∵时 
S△AOP=|OA|•|MP|=sinx， 
S扇形AOP=•|OA|=x， 
S△AOT=|OA|•|AT|=tanx， 
且S△AOP＜S扇形AOP＜SAOT． 
∴sinx＜x＜tanx 
即sinx＜x＜tanx 
（2）若命题p为真命题，则当x=0时，sin0≤b≤tan0，所以b=0， 
此时sinx≤ax≤tanx恒成立， 
若a＜1，令f（x）=ax-sinx，， 
则f′（x）=a-cosx=0在时有唯一解，记为， 
当x∈[0，）时，f′（x）＜0， 
此时f（x）≤f（0）=0恒成立，即ax≤sinx，矛盾，舍去； 
若a＞1，令h（x）=ax-tanx，， 
则h′（x）=a-=0在时有唯一解，记为， 
当x∈[0，）时，h′（x）＞0， 
此时h（x）≥h（0）=0恒成立，即ax≥tanx，矛盾，舍去； 
故a=1，b=0．;
 

【解析】 
若，，则命题：对任意的恒成立，利用三角函数线的定义，可证明结论； 
若命题为真命题，则当时，，所以，对分类讨论，可得满足条件的值． 
本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数线，函数恒成立，利用导数研究函数的单调性，难度较大．
 

23.【答案】解：对于（1），任何一个实数除以1，仍等于这个数，是命题，且是全称命题； 
对于（2），三角函数都是周期函数吗？不是命题； 
对于（3），有一个实数x，x不能取倒数，是命题，是特称命题； 
对于（4），有的三角形内角和不等于180°，是命题，是特称命题．;

【解析】根据命题的定义以及特称命题与全称命题的定义，对题目中的语句进行判断即可．