泰山区泰山学院附属中学中学2023年八年级第一学期八年级数学上册八年级第2章导学案

这是一份泰山区泰山学院附属中学中学2023年八年级第一学期八年级数学上册八年级第2章导学案，共26页。

2.1认识分式（1）
【学习目标】
1.理解分式的概念，并会判断一个代数式是否为分式;会求分式的值；
2.理解分式有意义、无意义的条件；会确定分式值为零的条件.
【课前梳理】
阅读课本P20～21页内容，完成下列各题.
1、分式的概念
如果把除法算式A÷B写成 的形式，其中A、 B都是 ，且B中含有 ，我们把代数式就叫做分式。其中， 叫做分式的分子, 叫做分式的分母.
2、分式有意义、无意义和值为0的条件
（1）当 时，分式 无意义. (2)当 时，分式 有意义.

（3）当 时，分式 的值为0.
3、求分式的值
已知，求分式 的值。
【课堂训练】
知识点1：分式的概念
1.下列有有理式中，哪些是整式？哪些是分式？

2.把下列各式填入相应的括号内

整式集合｛ …｝
分式集合｛ …｝
知识点2：分式的意义
3.求分式满足下列条件的值.
（1）有意义
（2）分式的值为0
4.要使分式有意义，则的取值应满足
A. B. C. D.
5.使分式的值为0，这时 .



【当堂达标】
1.（3分）下列式子代数式中，是分式的有 （填序号）
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)； (6)；(7)
2.（1分）下列代数式是分式的是（ ）
A. B. C. D.
3.若分式的值为零，则的值为（ ）A.0 B.1 C.-1 D.
4.（2分）下列分式中，一定有意义的是（ ）
A. B. C. D.
5.（3分）求的值:
(1)若分式 的值为0； (2)若分式 的值为0；(3)若分式 的值为0.



【课后拓展】阅读下面例题，解答问题：当x取何值时,分式的值为正?
解：依题意，得，则有①或②
解不等式组①得或，所以当或时，分式的值为正.
问题：当x取何值时,分的值为负?


2.1认识分式（2）
【学习目标】
1.理解和掌握分式的基本性质，并会利用分式的基本性质进行简单的恒等变形；
2.理解约分与最简分式的概念，会将一个分式化成最简分式或整式；掌握分式的符号法则.
【课前梳理】
1.分式的基本性质
（1）分式的分子与分母都 同一个不等于零的整式，分式的 不变，这个性质叫做分式的基本性质。用式子表示为
（其中 不等于0的整式）.
（2）在下面的括号内填上适当的整式，使等式成立：
（1） （2）

2.分式的约分、最简分式的概念
（1）利用 ，把一个分式的分子和分母中 约去，叫做分式的约分.
（2）当一个分式的分子与分母， 时，这样的分式叫做最简分式.
【课堂训练】
知识点1：分式的基本性质
1.如果把分式中的分子和分母中的都同时变成原来的3倍，那么分式的值
A. 不变 B.扩大3倍 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的
2.不改变分式的值，把分子、分母中各项的系数化为整数，其结果是
知识点2：分式的约分 3.化简

4.约分



知识点3：分式的符号法则
5.在分式本身、分子、分母的三个符号中，同时改变其中 ，分式的值
即
6.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含负号.
（1） （2） （3） （4）
【当堂达标】
1.(4分)在括号内填上适当的整式，使等式成立：
（1） （2）
（3）（4）
2.(1分)分式，，，中是最简分式的有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.(1分)下列分式约分正确的是（ ）
4.化简下列分式：（每小题2分，共4分)
① ② (4)



【课后拓展】
1.先将分式约分，然后代入你喜欢的一个值求分式的值.


2.已知，求的值.
2.2分式的乘除法（1）
【学习目标】
1.理解和掌握分式的乘除法运算法则，能进行简单的分式乘除法运算.
2.掌握分式的分子和分母是单项式的分式的乘除法计算.
3.掌握分式的乘方法则，会进行分式的乘方运算.
【课前梳理】
一：分式的乘法法则
1.分式乘法的运算法则：两个分式相乘，把分子的积作为积的 ，把分母的积作为积的 .用式子表示为 .
2.计算：（1）·（-） (2)
二：分式的除法法则
1.分式除法的运算法则：两个分式相除，把除式的分子和分母 ，再与被除式 .
2.计算：（1） （2）÷
三：分式的乘方法则
1.表示 ，其中a叫做 ，n叫做 .
2.计算：





3.分式的乘方法则：分式的乘方，把 ，即 .
4.计算：（1) （2)
【课堂训练】
知识点1：分子、分母是单项式的分式乘除法
1.计算 （2）

2.计算


知识点2：分式的乘除混合运算
3. 计算



4.计算



【当堂达标】(1、2题每题1分，3题每题2分，共10分.）
1.下列各式中，计算结果是分式的是（ ）
A. B． C． D．
2.化简 的结果是（ ）
A.–m B.m C. D.-n
3.计算：
（1） （2） （3） （4）



【课后拓展】
观察下面一列单项式：
(1)计算这列单项式中，一个单项式与它前一项的商，你有什么发现?
(2)根据你发现的规律写出第n个单项式。
2.2分式的乘除法（2）
【学习目标】
1.熟练运用分式的乘除法运算法则，能进行简单的分式乘除法运算.
2.掌握分式的分子和分母是多项式的分式的乘除法计算.
【课前预习】
阅读课本P27～29页内容，完成下列各题.
任务一：知识回顾
1.分式乘法的运算法则：两个分式相乘，把分子的积作为积的 ，把分母的积作为积的 .用式子表示为 .
2.分式除法的运算法则：两个分式相除，把除式的分子和分母 ，再与被除式 .用式子表示为 .
3．因式分解
(1) (2) （3）



【课堂训练】
知识点1：分子、分母是多项式的分式乘除法
1.



2.(1) (2) （3）




知识点2：分式的乘除混合运算
3.化简


【当堂达标】
1.化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
2.化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
3.计算：
（1） （2）



（3） （4）





【课后拓展】
1.使分式 的值等于5，则a的值是（ ）
A.5 B.-5 C. D.
2.先化简，再选一个你认为合适的m的值代入求值.




2.3分式的加减法（1）
【学习目标】
1.掌握同分母分式的加减法运算法则，能熟练进行同分母分式的加减运算；
2.能正确处理运算中的符号.
【课前梳理】
任务一：知识准备
1.计算：
2.同分母的分数加减法的法则：同分母的分数相加减，分母 ，把分子 .
任务二：同分母的分式加减法
1.仿照分数的加减法则尝试填空： ； .
2.用类比的方法归纳同分母的分式加减法的法则：
同分母的分式相加减，分母 ，把分子 ，符号语言表示为：


3. 计算：
(1) (2)



(3) (4)




【课学训练】
知识点1：分母是单项式的分式加减法
1.计算



2.计算

知识点2：分母是多项式的分式加减法
3.




4.的结果是
【当堂达标】
1. (2分）下列计算中正确的是（ ）
A. B.

C. D.
2. (2分）化简的结果为（ ）
A. B. C. D.
3.（2分）计算 的结果是（　　）
　 A．1 B． ﹣1 C． 0 D．

4.计算：(每题2分，共4分）
(1) (2)





【课后拓展】
化简的结果是( )
A.0 B.2 C.-2 D.2或-2

2.3分式的加减法（2）
【学习目标】
1.理解掌握分式的通分和最简公分母的概念，会找最简公分母.
2.掌握异分母分式的加减法运算法则，能熟练进行异分母分式的加减运算并能正确处理运算中的符号.
【课前梳理】
1.通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的 .为了计算方便，异分母分式通分时，通常取 作为它们的共同分母。
2.异分母分式加减法法则：异分母的分式相加减，先通分，化为 的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为 .
【课堂训练】
知识点1： 1.通分



2.（1） （2）



知识点2：异分母分式的加减法
3.先化简，然后在不等式的非负整数解中选一个使原式有意义的数代入求值.





4. 计算





【当堂达标】
1.（1）的最简公分母是 .
（2）求分式的最简公分母是 .
2.通分：（共2分）
（1） （2）


3.计算（每小题1.5分，共6分）
（1） （2）（3） （4）



【课后拓展】
1. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
2. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.

3. 计算：
(1) (2)




4.已知实数满足,设，，试说明M＝N．

2.3分式的加减法（3）
【学习目标】
1. 掌握分式的混合运算顺序，能熟练地进行分式的混合运算.
2. 会用分式的加减解决简单的实际问题.
【课前梳理】
任务一：知识准备
1.分式的乘法法则： .
2.分式的除法法则： .
3.同分母的分式加减法的法则：同分母的分式相加减，分母 ，把分子 .
4.异分母的分式加减法的法则：
异分母的分式相加减，先 ，变为 分式，再 .
5.计算：
(1) （2） (3)




任务二：分式的混合运算
1. 分数的混合运算顺序：
先算 ，后算 ，有括号的先算 .
2. 用类比的方法归纳分式的混合运算的顺序：
先算 ，再 ，然后算 ，有括号的先算 .
3. 计算：
(1) （2） (3)





（3）已知，求的值.



【课堂训练】
知识点1：分式的混合运算
1.化简







2.






知识点2：分式的求值
3.已知，求的值.






4.先化简，再求值：，其中满足.




【当堂达标】
1. （1分）化简分式的结果是（ ）
A.2 B.-2 C. D.
2.（1分）计算的结果是（ ）
A.1 B. C. D.
3.（4分）计算：(1) (2)




4.(4分)先化简，再求值÷ ,其中.








【课后巩固】
1. 计算：
（1） (2)




（3） （4）





2.先化简，再求值：，其中满足






3.用两种不同的运算顺序计算，并求出x=-1时分式的值.





4.已知，则的值为 .












2.4分式方程（1）
1.理解分式方程的概念，并能判断一个方程是不是分式方程.
2.能将实际问题中的等量关系用分式方程表示.
【课前梳理】
任务一：知识回顾
1. 方程的定义：含有 的等式叫做方程.
2. 解一元一次方程的一般步骤： 、 、 、 、 .
任务二：分式方程的概念
分式方程的定义:
2.在方程 中，分式方程的个数为（ ）

A. 1 B.2 C.3 D.4
【课堂训练】
知识点1：分式方程的定义 （1）分式方程的主要特征：①含有分母；②分母中含有未知数；③是方程.
⑵分式方程与整式方程的区别在于分母中是否含有未知数.
1.方程：其中分式方程的个数是（ ）
A. 1 B.2 C.3 D.4
2.下列方程是分工方程的有 （填序号）.

知识点2：列分式方程
3.部分学生自行组织春游，预计费用为120元，后来又有2名学生参加，费用不变，这样每人可少交3元.若设原来的人数是x，则可列方程为 .


4.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同。设原计划平均每天生产x台机器，根据题意列方程为___.


【当堂达标】
1. （2分）在方程①；②；③（a,b为常数）；④；
⑤；⑥（a是常数）；⑦中是分式方程的有
（只填序号）
2.（4分）某地对一段长达4800m的河堤进行加固。在加固600m后，采用新的加固模式，每天的加固长度是原来的2倍。用9天完成了全部加固任务。如果设原来每天加固河堤米，请列出关于的分式方程.
等量关系式：

采用原来的加固模式
采用新的加固模式
加固的总长度(米）


加固的天数（天）


每天加固的长度(米）



列出方程：
3.（4分）小亮从图书馆借了一本书，共280页，借期是两周。当他读完书的一半时，发现以后平均每天读书的页数必须增加1倍才能在借期内读完。如果设小亮读前半本书时平均每天读页，请列出关于的分式方程.
等量关系式：

前半本
后半本
读的总页数（页）


每天读的页数（页）


读的天数（天）



列出方程：
【课后拓展】
1.（2014年云南）“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进第一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花。已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元，如果设第一批盒装花的进价是x元/盒.（请列出符合题意的分式方程）





2.4 分式方程（2）
【学习目标】
1.了解分式方程增根的含义和产生增根的原因，并会检验分式方程的根;
2.掌握分式方程的一般步骤，会解可化为一元一次方程的分式方程.
【课前梳理】
一：知识回顾
1.找出下列各组分式的最简公分母：
（1）， （2），（3）， （4），
2.分式方程：分母中含有 　　　 的方程叫分式方程.
二：解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，即将分式方程的两边都乘 ，把分式方程转化为整式方程.
（2）解这个 .
（3）检验：将整式方程的根代入分式方程中分式的分母中，使分式方程中有的分母为零时，得到的是原方程的增根，应当舍去.
（4）写出分式方程的根.
三.分式方程的增根及产生增根的原因.

因为解分式方程 ，所以解分式方程必须检验.
口诀记忆法： 解分式方程的步骤

同乘最简公分母 ，化成整式写清楚，
求得解后需验根，原（解）留、增（根）舍别含糊.
【课堂训练】
知识点1：分式方程的解法
1.解方程




2.




知识点2：分式方程的增根
3.若关于的方程有增根，试求的值.





【当堂达标】
1. （1分）分式方程的解为（ ）
A.3 B.-3 C.无解 D.3或-3
2.（1分）下列关于分式方程增根的说法正确的是( )
A.使所有的分母的值都为零的解是增根 B.分式方程的解为零就是增根
C.使分子的值为零的解就是增根 D.使最简公分母的值为零的解是增根
3.（1分）解分式方程时，去分母后得（ ）
A. 　B. 　C. 　D.
4.（1分）已知关于的方程有增根，则的值为（ ）
A.5 B.-5 C.6 D.4
5. （6分）解分式方程：
（1） （2） （3）








【思维拓展】
为何值时，关于的方程会产生增根？



2.4 分式方程（3）
【学习目标】
1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程.
2.会列出分式方程解决简单的应用题，并掌握列分式方程解应用题的一般步骤.
【课前梳理】
1.解下列方程:
（1） （2） （3）
2.列分式方程解应用题的关键是找出题目中的 .表达等量关系的关键词有：是、比、共、总计、早、晚、多、少、增加、减少、提高、降低等.
分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审：审清题意，找 . (2)设：设未知数.
(3)列：根据 ，列分式方程. (4)解：解分式方程.
(5)检：检验所求的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的解是否符合 .
(6)答：写出答案.
【课堂训练】
知识点1：列分式方程解决实际问题
1.某单位将沿街的一部分房租出租，每间房屋的租金相同。已知每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元.
（1）你能找出这一情境中的等量关系吗？

（2）填表：设第一年每间房屋的租金为元.

第一年
第二年
所有房屋出租的租金(元）


每间房屋出租的租金(元）


出租房屋的间数（间数）


（3） 你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗？


2.某农场开挖一条长960米的渠道，开工后工作效率比计划提高50%，结果提前4天完成任务。原计划每天挖多少米？




【当堂达标】
1.（2分）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为千米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了%，结果提前了8天完成任务，设原计划每天铺设管道千米，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
2.（4分）为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种 ,结果提前 4天完成任务，原计划每天种多少棵树？



3.（4分）某中学积极响应“钦州园林生活十年计划”的号召，组织团员植树300棵.实际参加植树的团员人数是原计划的1.5倍，这样，实际人均植树棵树比原计划的少2棵，求原计划参加植树的团员有多少人？



【课后巩固】
1. 为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用。到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个，预计到2015年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍。预计到2015年底，全市将有租赁点多少个？



2.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但是这次每支的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了30支.
（1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支铅笔售价至少是多少元？


2.4 分式方程（4）
【学习目标】
1.经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程.
2.会列出分式方程解决简单的应用题；并掌握列分式方程解应用题的一般步骤.
【知识梳理】
1.解下列方程:
(1) (2)


2. 列分式方程解应用题的一般步骤：
（1） （2） （3） （4） （5）

【课堂训练】
知识点1：列分式方程解决实际问题
1.一艘轮船顺水中航行40千米所用的时间与逆水航行30千米所用的时间相等，已知水流速度为3千米／时，求轮船在静水中的速度.
(1)你能找出这一情境中的等量关系吗？

(2) 顺水速= 逆水速=
(3) 填表:设船在静水中的速度为千米/时.

顺水航行
逆水航行
路程（千米）


速度（千米/时）


时间（小时）


(4) 列分式方程解答：




2.某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作.求先遣队和大队的速度各是多少？





【当堂达标】
1.（2分）轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/时，求船在静水中的速度.


2.（2分）符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，请你根据上述规定求出等式中x的值.

3（3分）甲、乙两人分别从距目的6千米和10千米的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20分钟到达目的地，求甲、乙的速度.



4.（3分）打字员甲的工作效率比乙高25%，甲打2000字所用时间比乙打1800字的时间少5分钟，求甲乙二人每分钟各打多少字？


【课后巩固】
1. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1天后，再由两队合作2天就完成了全部工程，已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的，求甲、乙两队单独完成各需多少天？



2.（2015•山东聊城）在“母亲节”前夕，某花店用16000元购进第一批礼盒鲜花，上市后很快预售一空．根据市场需求情况，该花店又用7500元购进第二批礼盒鲜花．已知第二批所购鲜花的盒数是第一批所购鲜花的，且每盒鲜花的进价比第一批的进价少10元．问第二批鲜花每盒的进价是多少元？