人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解14.2乘法公式第2课时同步课件

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第十四章 整式的乘法与因式分解14.2乘法公式第2课时1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释.（重点）2.灵活应用完全平方公式进行计算.（难点）学习目标导入新课情境引入一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比较. 直接求：总面积=（a+b)(a+b)间接求：总面积=a2+ab+ab+b2你发现了什么？（a+b)2=a2+2ab+b2讲授新课问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= .p2+2p+1（2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= .m2+4m+4（3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= .p2-2p+1（4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= .m2-4m+4问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？（a+b)2= .a2+2ab+b2（a-b)2= .a2-2ab+b2合作探究完全平方公式完全平方公式也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”问题3 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?设大正方形ABCD的面积为S.S= =S1+S2+S3+S4= .(a+b)2a2+b2+2abS1S2S3S4几何解释:=+++a2ababb2和的完全平方公式：a2−ab−b(a−b)=a2−2ab+b2 .=(a−b)2a−ba−bb(a−b)(a−b)2几何解释:差的完全平方公式：(a+b)2= a2+2ab+b2.(a-b)2=a2-2ab+b2.问题4 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：1.说一说积的次数和项数.2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有 什么关系？3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a, b有什么关系？它的符号与什么有关？ 公式特征：4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.1.积为二次三项式；2.积中两项为两数的平方和；3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 想一想：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？(1)(x+y)2=x2 +y2(2)(x -y)2 =x2 -y2(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2××××(x +y)2 =x2+2xy +y2(x -y)2 =x2 -2xy +y2 (-x +y)2 =x2 -2xy +y2 (2x +y)2 =4x2+4xy +y2例1 运用完全平方公式计算：解: (4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a +b)2= a2 + 2 ab + b2(4m)2+2•(4m) •n+n2+8mn+n2；(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2y2解： =利用完全平方公式计算：(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2；(3)(－3a＋b)2.针对训练(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(1) 1022；解： 1022= (100+2)2=10000+400+4=10404.(2) 992.992= (100 –1)2=10000 -200+1=9801. 例2 运用完全平方公式计算：方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．利用乘法公式计算：(1)982－101×99；(2)20162－2016×4030＋20152.针对训练＝(2016－2015)2＝1.解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.＝36－16＝20；解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，(x－y)2＝x2＋y2－2xy，∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20－16＝4.方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy.1.已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=_____52变式：已知 则 _____982.如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果， 则k=______ 8或-8 变式：如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是_____3或-33.已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为______变式：若题目条件不变，则a-b的值为_____±11a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c.a + b + c = a + ( b + c) ; a – b – c = a – ( b + c ) .去括号把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号：添括号法则 添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号（简记为“负变正不变”）.知识要点添括号法则例5 运用乘法公式计算:(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.典例精析(2)原式 = [(a+b)+c]2 = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9)= x2-4y2+12y-9.= (a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.方法总结：第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.计算：(1)(a－b＋c)2； (2)(1－2x＋y)(1＋2x－y)．针对训练＝1－4x2＋4xy－y2.解：(1)原式＝[(a－b)＋c]2＝(a－b)2＋c2＋2(a－b)c＝a2－2ab＋b2＋c2＋2ac－2bc；(2)原式＝[1＋(－2x＋y)][1－(－2x＋y)]＝12－(－2x＋y)2当堂练习2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( ) A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)21.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（　　）A．a2-4a+4 B．a2-2a+4 C．a2-4 D．a2-4a-4 AD3.运用完全平方公式计算:(1) (6a+5b)2=_______________；(2) (4x-3y)2=_______________ ；(3) (2m-1)2 =_______________；(4)(-2m-1)2 =_______________.36a2+60ab+25b216x2-24xy+9y24m2+4m+1 4m2-4m+14.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________． 255.计算(1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)；(2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．(2)原式＝[(x－y)－(m－n)][(x－y)＋(m－n)]解：(1)原式＝[3a＋(b－2)][3a－(b－2)]＝(3a)2－(b－2)2＝9a2－b2＋4b－4.　＝(x－y)2－(m－n)2＝x2－2xy＋y2－m2＋2mn－n2.6.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.7.已知x+y=8,x-y=4,求xy.解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②;由①-②得4xy=48∴xy=12.课堂小结完全平方公式法则注意(a±b)2= a2 ±2ab+b21.项数、符号、字母及其指数2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行常用结论3.弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.