人教版初二数学上册（秋季班）讲义 第1讲 三角形--尖子班

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第1讲 三角形 知识点1 三角形的三边关系1、三角形三条边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．2、解题技巧：“当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形”【典例】已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|﹣|a﹣b﹣c|+|a﹣b+2c|=________．【方法总结】本题是三角形三边关系与绝对值的性质的综合问题：1、怎样判断绝对值内三边运算值的正负：①当绝对值内有一个减号时，三边运算值是正，例如|a+b﹣c|= a+b﹣c②有绝对值内有两个或三个减号时，三边运算值是负，例如|a﹣b﹣c|=-（a﹣b﹣c）2、注意“-|a﹣b﹣c|”在去绝对值符号的时候，为避免错误，可写成-[-（a﹣b﹣c）]的形式，再去括号。a﹣b+2c可看做（a﹣b+c）+c，再判断正负。【随堂练习】1．（2018秋•嘉善县期末）若三边、、的长都是偶数，且，若是正整数），则这样的三角形共有　　个（用的代数式表示）．2．（2019春•昌江区校级期中）若一个三角形的三边长分别是，10，，则的取值范围为　　． 3．（2016春•石狮市期末）如图，已知．（1）若，，则边的取值范围是　 　；（2）点为延长线上一点，过点作，交的延长线于点，若，，求的度数． 知识点2 三角形的中线三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线．三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，这两个三角形的面积相等。【典例】1.如图，A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，若的面积是14，求△ABC的面积？【方法总结】本题已知：A、B、C分别是线段A1B、B1C、C1A的中点，所以我们连接AB1，BC1，CA1，使A1B、B1C、C1A成为三角形的中线，寻找三角形面积的关系，从而得到与△ABC面积的关系。 知识点3三角形的高线 1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线． 2、三角形的面积：（1）三角形的面积：底与高乘积的一半（2）等底等高的两个三角形面积相等（3）高相等的两个三角形面积比等于底边长度之比【典例】1.如图，△ABC中，AB=AC，CG⊥AB于G，P为线段BC上的一动点，PK⊥AB于K，PM⊥AC于M，探究线段PK、PM与CG之间的数量关系．【方法总结】　 本题利用三角形面积相等，确定线段的关系：连接AP，可分别表示出△ABP、△ACP和△ABC的面积，根据面积相等可找到PK、PM与CG之间的关系． 　知识点4 三角形的角平分线1、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线．2、三角形的角平分线交于一点，且交点在三角形内。3、三角形的角平分线是线段，一个角的角平分线是射线。【典例】1.已知△ABC，如图，若D点是△ABC内任一点，BD、CD分别在三角形的角平分线上，则∠D、∠A的关系为_________【方法总结】角平分线把一个角分成两个相等的角，利用倒角可得到角之间的关系。此题可记住结论：当BD、CD是三角形ABC的角平分线时，【随堂练习】1．（2019春•凤翔县期末）如图，在中，，，垂足为点，有下列说法：①点与点的距离是线段的长；②点到直线的距离是线段的长；③线段是边上的高；④线段是边上的高．上述说法中，正确的个数为　　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2018秋•柯桥区期末）在中，是钝角， 下列图中画边上的高线正确的是　　A ． B ． C ． D ．二．解答题（共4小题）3．（2019春•洛宁县期中）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多，与的和为，求的长．4．（2019春•合浦县期中）如图，在中，、分别是、边上的中线，若，，且的周长为15，求的长．5．（2019春•上蔡县期末）如图，中，是高，、是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．6．（2019春•平昌县期末）如图，中，，．（1）试说明是的高；（2）如果，，，求的长． 知识点5 三角形的内角和定理 三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°【典例】1.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，∠BAD=∠BDA，∠CAE=∠CEA，∠DAE=∠BAC，求∠BAC的度数.【方法总结】题目中没有给出角的度数，但是给了角度之间的关系，可以设未知数，用未知数来表示三角形中的角，利用三角形内角和为180°建立等量关系，求得未知数和所要求的角。【随堂练习】1．（2019春•乐亭县期末）如图，在第1个中，，，在上取一点，延长到，使得在第2个△中， ；在上取一点，延长到，使得在第3个△中， ；，按此做法进行下去，第3个三角形中以为顶点的内角的度数为　 　； 第个三角形中以为顶点的内角的度数为　 　．二．解答题（共6小题）2．（2019春•庐江县期末）已知：三角形和同一平面内的点．（1）如图1，点在边上，交于，交于．若，则的度数为　　．（2）如图2，点在的廷长线上，，，证明：．（3）如图3，点是三角形外部的一个动点，过作交直线于，交直线于，直接写出与的数量关系（不需证明）．3．（2019春•高邑县期末）如图，点、分别在的、边上运动（不与点重合）．射线与射线分别在和内部，延长与交于点．（1）若，、分别是和的平分线，猜想：的度数是否随，的运动发生变化？请说明理由．（2）若，，，则　　．（用含、的代数式表示）4．（2019春•靖远县期中）如图，中，，，是边上的高，是的平分线，求的度数．5．（2017春•玄武区校级期中）在中，于点，平分．（1）如图，点在线段上．①若，，则　 　；②若，，则　 　．（用含、的代数式表示）（2）如图2，若点在边的延长线上时，若，，写出与、满足的数量关系式，并说明理由．6．（2019春•潍坊期末）中，，点、分别是边、上的点，点是一动点，令，，．．（1）若点在边上，且，如图1，则　 　；（2）若点在边上运动，如图2所示，则、、之间的关系为　 　．（3）若点运动到边的延长线上，如图3，则、、之间有何关系？猜想并说明理由7．（2019春•莘县期末）如图①，在 中，平分，，，．（1）求的度数；（2）如图②，若把“”变成“点在的延长线上，”，其它条件不变，求的度数．　知识点6 三角形的外角性质 1、三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角．2、三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．3、燕尾形结论：【典例】1.已知△ABC，若D点是△ABC外一点，位置如图所示．BD、CD分别为∠ABC、∠ECA的角平分线，则∠D、∠A的关系为________【方法总结】本题要求∠D与∠A的关系，可以从两个三角形的外角入手，由三角形外角性质可得：∠ACE=∠A+∠ABC①，∠DCE=∠D+∠DBE②，由①-2×②，可得如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．    【方法总结】本题求七角形各角的度数和，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，把这七个角凑到一个三角形里，再根据三角形的内角和等于180°求解【随堂练习】1．（2019春•崇川区校级期末）如图，在中，，，为形外一点，平分，且，求　　．二．解答题（共7小题）2．（2019春•东台市校级月考）如图①，在中，与的平分线相交于点．（1）如果，求的度数；（2）如图②，作外角，的角平分线交于点，试探索、之间的数量关系．（3）如图③，延长线段、交于点，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数．3．（2019春•内江期末）如图，在中，是高，，是外角的平分线，平分交于点，若，求的度数．4．（2019•新宁县模拟）已知如图在中，平分线与的外角平分线相交于点．若，求的度数．5．（2019春•沙河市期末）如图，在中，，，是的角平分线，点在上，点在的延长线上，．（1）求的度数．（2）求的度数．6．（2019春•东台市校级月考）如图，是的角平分线，，交于点，，，求的度数．7．（2019春•冠县期末）（1）探究：如图1，求证：．（2）应用：如图2，，，求的度数．8．（2019•城步县模拟）探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则　 　；②如图3，平分，平分，若，，求的度数；③如图4，，的10等分线相交于点、、，若，，求的度数． 综合运用1.如图，有一块三角形试验地，现引进四种良种进行比较实验，要将这块地分成面积相等的四块，请你制定两种划分方案． 2.如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB=4cm，BC=8cm，CE=6cm，求AD的长度. 3.如图所示，在△ABC中，已知点D，E，F分别为BC，AD，BE的中点．且S△ABC=8cm2，求△CEF的面积． 4.已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°5. 如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数.6. 如图，在△ABC中，∠1=100°，∠C=80°，∠2=∠3，BE平分∠ABC,求∠4的度数．7. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠A=76°，求∠BOC的度数；（2）若∠A=α，∠BOC=β，请猜想α与β之间的数量关系，并说明理由．