《圆周角和圆心角的关系》第1课时示范公开课教案【九年级数学下册北师大版】

教学

环节

教师活动

学生活动

设计意图

环节一

创设

情境

【回顾】

教师活动：教师出示问题，引导学生回顾旧知.

问题1：什么叫圆心角呢？你能指出图中的圆心角吗？

预设答案：顶点在圆心的角叫做圆心角.图中∠BOC是一个圆心角.

【情境导入】

在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置对球门的张角(如图中的∠ABC)有关.就角度大小而言，球员在B，D，E中的哪一个点处射门更容易些？还是都一样？

教师活动：引导学生观察图形，在图中，点A，B，D，E，C在同一个圆上. 当球员分别在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.        因此，要解决这个问题就是要研究同一条弧(AC)所对的三个角：∠ABC，∠ADC，∠AEC之间的大小关系.

这节课我们一起来探究一下吧！

学生思考并回答.

学生思考并回答.

通过复习圆心角的概念，为学习圆周角的概念奠定基础.

通过射门游戏的情境引入并提出问题，引发学生思考，激发学生探索新知的欲望，培养学生运用知识解决实际问题的能力.

环节二

探究

新知

【观察思考】

问题2：在上述足球运动员射门游戏中，球员在B，D，E这三个位置形成的三个张角有什么特点呢？

预设答案：这三个角的顶点在圆上，它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.

教师活动：引导学生类比圆心角的特点，观察∠ABC，∠ADC，∠AEC三个张角的特点，教师可以适当提示，重点是观察这三个张角的顶点、边与圆的位置关系，教师汇总并补充，得出结论：像这样的角，叫做圆周角.

【归纳】

圆周角：

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

(两个条件必须同时具备，缺一不可)

【想一想】

下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.

预设答案：

（1）（5）（6）是

（2）不是，顶点不在圆上

（3）不是，边AC没有和圆相交

（4）不是，顶点不在圆上

【做一做】

如图，在⊙O中，∠AOB＝80°.

请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴交流.

预设答案：

通过测量发现，这几个圆周角相等.

∠ACB＝∠ADB＝∠AEB

小结：同弧所对的圆周角相等.

追问：这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？

∠ACB＝∠ADB ＝∠AEB＝∠AOB

【议一议】

问题3：若改变∠AOB的度数，上面的结论仍然成立吗？用所学的知识来证明一下吧！

【探究】

已知∠ACB是所对的圆周角，∠AOB是所对的圆心角.

求证：∠ACB＝∠AOB.

分析：

根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论：

(1)圆心O在∠ACB的一条边上，如图①；

(2)圆心O在∠ACB的内部，如图②；

(3)圆心O在∠ACB的外部，如图③.

（1）圆心O在∠ACB的一边上(如图①)

证明：

∵∠AOB是△AOC的外角

∴∠AOB=∠CAO+∠ACB

∵OA＝OC

∴∠CAO =∠ACB

∴∠AOB =2∠ACB

∠ACB＝∠AOB.

追问：你能将后两种情况转化为图①的情况去解决吗？

证明：当圆心O在∠ACB的内部时，

连接CO并延长交⊙O于D.

∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB

        ＝∠AOD+∠DOB

        ＝(∠AOD+∠DOB)  

∴∠ACB＝∠AOB.

当圆心O在∠ACB的外部时，

连接CO并延长交⊙O于D.

∵∠ACB＝∠DCA-∠DCB

        ＝∠DOA-∠DOB

        ＝ (∠DOA-∠DOB)  

∴∠ACB＝∠AOB.

【归纳】

你能用语言描述这个结论吗？

∠ACB＝∠ADB ＝∠AEB＝∠AOB.

圆周角定理：

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

由圆周角定理可以推出：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.

【想一想】

你能解决射门游戏中的问题了吗？当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门柱A，C形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的犬小有什么关系？你能用圆周角定理去解决它吗？

预设答案：∠ABC＝∠ADC＝∠AEC，

同弧或等弧所对的圆周角相等.

【议一议】

在得出本结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴交流.

预设答案：类比、分类讨论、归纳

认真思考，积极回答

学生思考并回答.

抢答

学生动手操作并反馈.

学生测量并交流反馈.

学生小组合作，交流并反馈.

学生试着去证明，然后交流反馈.

学生在老师的引导下总结归纳.

学生思考并反馈.

学生思考并反馈.

通过辨认圆周角，巩固学生对圆周角概念的理解与掌握.

通过分类讨论的方法探究圆周角与圆心角的之间关系，培养学生分类、归纳的证明思想，感知数学问题的探究过程，体会数学证明的严谨性.

让学生试着用刚才的方法去证明，检验学生的学习效果，培养学生利用所学知识解决问题的能力.

归纳所学知识，培养学生总结概括的习惯，便于学生更好地应用所学知识.

让学生总结证明过程中所使用的方法，为后续探究新的知识奠定基础.

环节三

应用

新知

教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.

【典型例题】

例1 如图，在⊙O中，∠BOC＝50°，求∠BAC的度数.

分析：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.

解：∠BAC＝∠BOC

         ＝×50°

         ＝25°

例2 如图，点A，B，C，D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，在图中标出的8个角中，哪些是相等的角？

分析：同弧或等弧所对的圆周角相等.

解：∠1＝∠4

    ∠2＝∠7

    ∠3＝∠6

    ∠5＝∠8

学生认真思考并作答.

学生思考并作答.

通过练习，让学生进一步巩固圆周角及其圆周角定理的知识，并能利用圆周角定理及其推论解决问题.

环节四

巩固

新知

教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.

【随堂练习】

1.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E，若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为(         )   

A.30°                B.40°    

     C.50°                D.60°

答案：A

2.如图，在⊙O中，∠A＝40°，求∠OBC的度数.

解：∠BOC＝2∠BAC＝80°

在△OBC中，

∵OB＝OC

∴∠ OBC＝∠OCB

         ＝×(180°-80°)

         ＝50°

3.如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.

求证：∠ACB＝2∠BAC.

证明：

∵∠BAC＝∠BOC

∠ACB＝∠AOB

∠AOB＝2∠BOC

∴∠ACB＝2∠BAC

自主完成练习，再集体交流评价.

通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯.

环节五

课堂

小结

思维导图的形式呈现本节课的主要内容：

回顾本节课所讲的内容

通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

环节六

布置

作业

教科书第81页习题3.4第2、3、4题

课后完成练习

通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.