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高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行同步练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行同步练习题，共23页。试卷主要包含了有下列四个条件等内容，欢迎下载使用。
人教A版（2019）必修第二册《8.5.2 直线与平面平行》同步练习
一 、单选题（本大题共12小题，共72分）
1.（6分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且BP→=23B→D1，给出下列四个命题：(1)MN//面APC；(2)C1Q //面APC；(3)A，P，M三点共线；(4)面MNP //面APC.正确序号为( )
A. (1)(2) B. (1)(4) C. (2)(3) D. (3)(4)
2.（6分）有下列四个条件：①a⊄β，b⊂β，a//b；②b⊂β，a//b；③a//b//c，b⊂β，c⊂β；④a、b是异面直线，a//c，b⊂β，c⊂β.其中能保证直线a//平面β的条件是( )
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
3.（6分）如图，已知三棱柱ABC−A'B'C'的底面是正三角形，侧棱AA'⊥底面ABC，AB=9,AA'=3，点P在四边形ABB'A'内，且P到AA'，A'B'的距离都等于1，若D为BC上靠近C的四等分点，过点P且与A'D平行的直线交三棱柱ABC−A'B'C'于点P，Q两点，则点Q所在平面是 ( )
A. ACC'A' B. BCC'B'
C. ABC D. ABB'A'
4.（6分）已知平面α，直线m，n满足m⊄a，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
5.（6分）如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4.点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上．若直线AB，CD都平行于四边形EFGH所在平面，则四边形EFGH面积的最大值是( )
A. 12 B. 22 C. 1 D. 2
6.（6分）如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，不能得出AB//平面MNP的图形的序号为( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
7.（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1=( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
8.（6分）如图，在长方体ABCD−A'B'C'D'中，下列直线与平面AD'C平行的是( )
A. B'C' B. A'B C. A'B' D. BB'
9.（6分）如图，ΔABC的边BC在平面α内，EF是ΔABC的中位线，则( )
A. EF与平面α平行 B. EF与平面α不平行
C. EF与平面α可能平行 D. EF与平面α可能相交
10.（6分）若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若m⊥α，n⊥β，且α//β，则m//n
C. 若α⊥β，m⊥α，则m//β D. 若α⊥β，m⊥n，且m⊥α，则n⊥β
11.（6分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是线段CD1上的动点，则()
A. AP//平面BC1D B. AP//平面A1BC1
C. AP⊥平面A1BD D. AP⊥平面BB1D1
12.（6分）如图所示的三棱柱ABC−A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上均有可能
二 、填空题（本大题共4小题，共24分）
13.（6分）已知平面α，β和直线m，给出以下条件：①m//α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β⑤α//β.由这五个条件中的两个同时成立能推导出m//β的是________.(填序号)
14.（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AF=3，DE=9，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，M为线段BD上一点，若CM //平面BEF，则BMMD=________.
15.（6分）下列各图中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形的序号是________ .
16.（6分）已知直线l//平面α，l⊂平面β，α∩β=m，则直线l，m的位置关系是______．
三 、多选题（本大题共4小题，共20分）
17.（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )
A. B.
C. D.
18.（5分）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形是( )
A. 等边三角形 B. 矩形
C. 等腰梯形 D. 正方形
19.（5分）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1=1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，则下列结论中正确的为( )
A. 若PD=3，则满足条件的P点有且只有一个
B. 若PD=3，则点P的轨迹是一段圆弧
C. 若PD//平面ACB1，则DP的最小值为2
D. 若PD//平面ACB1，且PD=3，则平面BDP截正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为9π4
20.（5分）如图，在棱长均相等的正四棱锥P−ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，判断下列结论正确的是()
A. MN//PC B. MN//平面PCD
C. OM⊥平面PAD D. 平面MNO//平面PCD
四 、解答题（本大题共6小题，共34分）
21.（6分）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．
(1)求证：B1C//平面A1BD；
(2)若∠A1AB=∠ACB=60°，AB=BB1，AC=2，BC=1，求三棱锥C1−ABD的体积．
22.（6分）如图所示的几何体中，平面ADEF⊥底面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，AB//CD，∠BAD=π2，AB=AD=2CD=4，G为BF中点．
(1)证明：CG//面ADEF；
(2)求三棱锥G−CDE的体积．
23.（6分）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA垂直底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．
(1)求证：AM//平面SCD；
(2)设点N是CD上的中点，求三棱锥N−BCM的体积．
24.（6分）如图，在四棱锥P−ABCD中，直线PA垂直于平面ABCD，AD//BC，∠ABC=90°，且CD=PA=4，AB=3AD=23.
(1)求四棱锥P−ABCD的体积；
(2)在线段PB上是否存在点F，使得AF//平面PCD？若存在，求出PFPB的值；若不存在，说明理由．
25.（5分）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：
(1)PA//平面MDB；
(2)PD⊥BC．
26.（5分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB=BC=CD=12AD=1，AD//BC，P在以AD为直径的圆O上，平面ABCD⊥平面PAD.
(1)设点Q是AP的中点，求证：BQ//平面PCD；
(2)若二面角C−PD−A的平面角的正切值为2，求三棱锥A−PCD的体积．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查正方体的结构特征，线面平行的判定与性质定理，考查推理能力，属于中档题.
(1)证明MN//AC，则点P可能在由MN，AC确定的平面内，即可判断正误；
(3)若A，P，M三点共线，由D1M//AB，由平行线的性质可得D1PBP=D1MAB=12，即可判断正误；
(2)若BPBD1=23，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，可得四边形OQC1M是平行四边形，于是C1Q//OM，即可判断正误；
(4)举出反例，即可判断正误.
解：
(1)当P在BD1上运动时，M，N，分别是棱D1C1，A1D1的中点，由三角形中位线定理可得MN//A1C1，由正方体的性质可得：A1C1//AC.
∴MN//AC，若由MN，AC确定的平面经过点P，此时MN在平面PAC内，故(1)错误；
(3)若A，P，M三点共线，由D1M//AB，∴D1PBP=D1MAB=12，则BPBD1=23，故(3)正确；
(2)若BPBD1=23，由(3)可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，∴C1Q//OM，而M点在平面APC内，∴C1Q//平面APC，故(2)正确；
(4)当P与B重合时，面MNP //面APC不成立；
故选C.
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了直线与平面平行，属于基础题．
根据直线与平面平行的判定定理逐一进行判断即可．
解：①若a⊄β，b⊂β，a//b，则直线a//平面β，故符合题意；
②若b⊂β，a//b时，则a⊂β或直线a//平面β，故不符合题意；
③若a//b//c，b⊂β，c⊂β时，则a⊂β或直线a//平面β，故不符合题意；
④a、b是异面直线，a//c，b⊂β，c⊂β，则直线a//平面β，故符合题意．
综上所述，符合题意的条件是①④．
故选：C.
3.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了线面平行的判定和性质，延长A'P交AB于O，连接DO，可得Q在DO上，即可得出结论.
解：延长A'P交AB于O，连接DO，
过点P且与A'D平行的直线交三棱柱ABC−A'B'C'于点P，Q两点，
可得Q在DO上，所以点Q所在平面是ABC，
故选C.
4.【答案】D;
【解析】解：若“m//n”则“m//α”成立，即充分性成立，
∵m//α，∴m不一定平行n，
即“m//n”是“m//α”的充分不必要条件，
故选：D．
根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
此题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键．
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查线面平行的判定与性质，考查一元二次不等式的解法，属于中档题．
由直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，所以HG//AB，同理EF//AB，FG//CD，EH//CD，所以FG//EH，EF//HG.四边形EFGH为平行四边形．又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD.所以：四边形EFGH为矩形．建立二次函数关系求解四边形EFGH面积的最大值．
解：∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG//AB；
同理：EF//AB，FG//CD，EH//CD，所以：FG//EH，EF//HG.
故：四边形EFGH为平行四边形．
又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD.
所以：四边形EFGH为矩形．
设BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，(0⩽x⩽1)
FG=2x，HG=2(1−x)
S矩形EFGH=FG×HG=4x(1−x) =−4(x2−x+14−14) =−4x−122+1，
根据二次函数的性质可知S矩形EFGH面积的最大值1.
故选C.
6.【答案】D;
【解析】
此题主要考查命题真假的判断，考查线面平行的判断定理等基础知识，考查学生的空间想象能力，是中档题．
在图①中，由BC//PN，AC//PM，推导出AB//平面MNP；在图②中，由AC//MN，BC//PN，推导出AB//平面MNP；在图③中，由BC//MN，AC//PN，推导出AB//平面MNP；在图④中，AB∩平面PMN=B.
解：正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，
在图①中，∵BC//PN，AC//PM，AC∩BC=C，PN∩PM=P，BC，AC⊂平面ABC；PN，PM⊂平面PMN；
∴平面ABC//平面PMN，
∵AB⊂平面ABC，∴AB//平面MNP，故①能得出AB//平面MNP；
在图②中，∵AC//MN，BC//PN，AC∩BC=C，MN∩PN=N，BC，AC⊂平面ABC；MN，PN⊂平面PMN；
∴平面ABC//平面PMN，
∵AB⊂平面ABC，∴AB//平面MNP，故②能得出AB//平面MNP；
在图③中，BC//MN，AC//PN，BC∩AC=C，MN∩PN=N，BC，AC⊂平面ABC；MN，PN⊂平面PMN；
∴平面ABC//平面PMN，
∵AB⊂平面ABC，∴AB//平面MNP，故③能得出AB//平面MNP；
在图④中，AB∩PB=B，PB⊂平面PMN，∴AB∩平面PMN=B，
故④不能得出AB//平面MNP.
故选D.
7.【答案】D;
【解析】
此题主要考查直线与平面平行的判定定理与性质，考查空间想象能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养，属于中档题．
先得出AC1 //平面A1BP.再由线面平行的性质得AC1 // PQ.可得 PC1的值.
解：连接AB1交A1B于点Q，连接PQ，PA1，PB，
则AC1 //平面A1BP.
又AC1⊂平面AB1C1，平面AB1C1∩平面A1BP=PQ，所以AC1 // PQ.
又Q是AB1的中点，所以P是B1C1的中点，所以PC1=1，
故选D.
8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了立体图形和平面图形的理解能力，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．要熟悉在长方体中，面与面之间的关系有平行和垂直两种．
解：连接A'B，可知A'B//D'C，A'B⊈平面AD'C，D'C⊂平面AD'C，
根据直线与平面平行的判定定理可知A'B//平面AD'C，
故选B.
9.【答案】A;
【解析】解：如图，ΔABC的边BC在平面α内，EF是ΔABC的中位线，
∵EF//BC，
∵EF⊄平面α，BC⊂平面α，
∴EF//平面α.
故选：A.
由中位线定理得EF//BC，由此能推导出EF//平面α.
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力等数学核心素养，是中档题．
10.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系和平面与平面之间的位置关系，属于基础题．
对四个选项分别进行判断，即可得出结论．
解：对于A，若m//α，n//α，则m//n或m，n相交、异面，故不正确；
对于B，m⊥α，n⊥β，且α//β，则m⊥α，n⊥α，∴m//n，故正确；
对于C，α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，故不正确；
对于D，α⊥β，m⊥n，且m⊥α，则n与β平行、相交，在平面内都有可能，故不正确．
故选：B.
11.【答案】B;
【解析】解：如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，由AA1与CC1平行且相等得平行四边形ACC1A1，
得A1C1//AC，由AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，
所以AC//平面A1BC1，同理AD1//平面A1BC1，
而AD1，AC是平面AD1C内两条相交直线，
因此平面AD1C//平面A1BC1，又AP⊂平面AD1C，
所以AP//平面A1BC1，
故选：B.
正方体中证明平面AD1C//平面A1BC1后可得线面平行，从而得正确选项．
此题主要考查了线面平行的判定定理和性质，属于中档题．
12.【答案】B;
【解析】【试题解析】
此题主要考查空间中直线与直线的位置关系.
由题意得出A1B1//平面ABC，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，进而可求解.
解：在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB // A1B1.
∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1 //平面ABC.
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，
∴DE // A1B1，∴DE // AB.
故选B.
13.【答案】③⑤;
【解析】
此题主要考查了直线与平面平行的判定方法.利用若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
解：∵α//β，m⊂α，
∴m//β.
所以当满足条件③⑤时，
有m//β.
故答案为③⑤.
14.【答案】2;
【解析】【试题解析】
此题主要考查线面平行判定与性质，考查学生的直观想象及数学运算的素养，属于中档题．
在BE上取一点G，使得BG=13BE，过点G作GN // ED交BD于点N，连接AN，先证得N //平面BEF，过点C作CM // AN交BD于点M，故得CM //平面BEF，由线面平行的性质得答案
解：在BE上取一点G，使得BG=13BE，过点G作GN // ED交BD于点N，连接AN，
所以NG=13DE，BN=13BD，
因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以AF // DE，
又因为AF=3，DE=9，
所以AF=13DE=NG，
故四边形ANGF为平行四边形，
所以AN // FG，
又因为AN⊄平面BEF，FG⊂平面BEF，
所以AN //平面BEF，
过点C作CM // AN交BD于点M，
所以CM //平面BEF，
由题知，ΔCMD≌ΔANB，
所以DM=BN，
所以DM=13DB，故BMMD=2.
故答案为2.
15.【答案】①③;
【解析】
此题主要考查线面平行的判定.
利用线面平行的判定，只要直线AB平行于平面MNP内的一条直线即可，逐一判断即可．
解：①连结BC，则平面ABC//平面MNP，所以AB//平面MNP.所以①正确．
②取底面正方形对角线的中点O，则ON//AB，所以AB与面PMN相交，不平行，所以②不合适．
③因为AB//NP，所以AB//平面MNP.所以③正确．
④AB与面PMN相交，不平行，所以④不合适．
故答案为①③．
16.【答案】平行;
【解析】解：∵直线l//平面α，l⊂平面β，α∩β=m，
∴由直线与平面平行的性质定理得l//m，
则直线l，m的位置关系是平行．
故答案为：平行．
由直线与平面平行的性质定理得l//m．
该题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查空间中线面平行的判定定理，属于中档题．
利用线面平行判定定理可知B、C、D均满足题意，从而可得答案．
解：对于选项B，由于AB//MQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故B满足题意；
对于选项C，由于AB//MQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故C满足题意；
对于选项D，由于AB//NQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故D满足题意；
选项A不满足题意，(假设AB//平面MNQ，利用线面平行的性质定理，过ABQ的平面与MN交点P，可得AB//QP，但QP显然与AB不平行，矛盾，所以直线AB与平面MNQ不平行.)
故选BCD.
18.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查几何体的截面问题，以及简单多面体结构特征，线面平行的应用.
利用简单多面体的结构特征，线面平行的性质，分别讨论点Q的位置，即可得解.
解：由点Q在线段DD1上移动，
当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1；
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D；
当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形．
理由如下：
如图所示：
因为AB1//DC1，AB1//平面DCC1D1，
过点Q作QM//DC1，
所以AB1//QM，
显然D1Q=D1M，易证ΔADQ和ΔB1C1M全等，
则AQ=B1M，
所以四边形AB1MQ为等腰梯形.
故选ABC.
19.【答案】ABD;
【解析】此题主要考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等知识，考查运算求解能力，是中档题；
【解析】
如图：
因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1=1，
所以B1D1=22,DB1=12+222=3,
则P与B1重合时，PD=3，则满足条件的P点有且只有一个，A正确；
因为PD=3∈1,3,DD1=1,则PD1=2，点P的轨迹是一段圆弧，B正确；
连接DA1,DC1，可得平面A1DC1//平面ACB1，则P为A1C1中点时，DP的最小值为3，C错误；
由C知，平面BDP截正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为1222+22+12=32，面积为9π4，D正确，
故选：ABD，
20.【答案】BD;
【解析】解：∵PC⊂平面PBC，N∈平面PBC，M∉平面PBC，N∉PC，
∴MN与PC为异面直线，故A错误；
∵M，N分别为侧棱PA，PB的中点，∴MN//DC，
∵DC⊂平面PDC，MN⊄平面PDC，∴MN//平面PCD，故B正确；
连接AC，则O∈AC，且O为AC的中点，
设正四棱锥的棱长为2，由题意可知，OA=2，同理可得OP=OD=2，
则O在平面PAD的射影为正三角形PAD的中心，则OM与平面PAD不垂直，故C错误；
由三角形中位线定理可得，OM//PC，可得OM//面PCD，再由选项B可知，MN//平面PCD，
且OM，MN⊂面PCD，OM∩MN=M，由面面平行的判定定理可得平面MNO//平面PCD，故D正确．
故选：BD.
由异面直线的定义判断A；由直线与平面平行的判定判断B；利用反证法思想判断C；由平面与平面平行的判定判断D.
此题主要考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与推理论证能力，是中档题．
21.【答案】证明：（1）连结AB1，交A1B于点O，连结OD，
由题知O为AB1中点，又D为AC中点，
∴B1C∥OD，
又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD．
解：（2）∵∠A1AB=∠ACB=60°，AB=BB1，
AC=2，BC=1，
∴AB=AC2+BC2−2×AC×BC×cos60°=3，
∴AC2=AB2+BC2，∴BC⊥AB，
∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，
∴BC⊥平面AA1B1B，
∵∠A1AB=60°，AB=BB1=AA1，∴AA1=3，
∴S△A1AB=12×AB×AA1×sin∠A1AB=334，
∴三棱锥C1-ABD的体积：
VC1−ABD=VA1−ABD=VD−A1AB
=12VC−A1AB=12×13×S△A1AB×BC=38．;
【解析】
(1)连结AB1，交A1B于点O，连结OD，推导出B1C//OD，由此能证明B1C//平面A1BD．
(2)三棱锥C1−ABD的体积VC1−ABD=VA1−ABD=VD−A1AB=12VC−A1AB，由此能求出三棱锥C1−ABD的体积．
该题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】证明：（1）取AF的中点H，连结GH，HD，
∵G为BF中点，∴GH∥AB，GH=12AB，
又AB∥CD，AB=2CD，
∴GH∥CD，GH=CD，则CDHG为平行四边形，
∴CG∥HD，
又∵HD⊂面ADEF，CG⊄面ADEF，
∴CG∥面ADEF；
解：（2）取AB中点M，连GM，则GM∥AF，则GM∥ED，
∵ED⊂平面ECD，GM⊄平面ECD，∴GM∥面ECD．
∴VG−CDE=VM−CDE=VE−MCD=13S△MCD.ED=13×12×2×4×4=163．
∴三棱锥G-CDE的体积为163．;
【解析】
(1)取AF的中点H，连结GH，HD，证明CDHG为平行四边形，得CG//HD，再由直线与平面平行的判定可得CG//面ADEF；
(2)取AB中点M，连GM，证明GM//平面CDE，然后利用等体积法求三棱锥G−CDE的体积．
该题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
23.【答案】解：(1)证明：如图，取SC的中点P，连接MP，DP.
由题设条件易知AD//BC，且AD=12BC，
而MP为三角形SBC的中位线，所以MP//BC，且MP=12BC，
所以MP//AD，且MP=AD即四边形ADPM为平行四边形，所以AM//DP，
又DP⊂平面SCD，AM⊄平面SCD，所以AM//平面SCD；
(2)显然VN−BCM=VM−BCN，
取AB的中点Q，连接QM.
易知MQ//SA，且MQ=12SA=1，
又已知侧棱垂直底面，
所以MQ⊥平面ABCD，
在直角梯形ABCD中，可求SΔBCN=12×2×1=1，
所以VN−BCM=VM−BCN=13⋅SΔBCN⋅MQ=13×1×1=13.;
【解析】此题主要考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
(1)取SC的中点P，连接MP，DP.证明MP//BC，推出AM//DP，利用直线与平面平行的判定定理证明AM//平面SCD；
(2)判断VN−BCM=VM−BCN，取AB的中点Q，连接QM.证明MQ⊥平面ABCD，求出棱锥的底面面积与高然后求解体积．
24.【答案】解：（1）如图，过点D作DM∥AB，交BC于点M，则∠DMC=∠ABC=90°．
因为AD∥BC，DM∥AB，所以四边形ABMD是平行四边形，
所以BM=AD=2，DM=AB=23．
因为CD=4，所以CM=16−12=2，所以BC=4．
则四边形ABCD的面积为(2+4)×232=63．
由题意可知PA是四棱锥P一ABCD的高，则该四棱锥的体积为13×63×4=83．
（2）分别取PC，PB的中点E，F，连接AF，EF，DE．
因为E，F分别是PC，PB的中点，所以EF∥BC，EF=12BC．
由（1）可知AD∥BC，AD=12BC，所以AD∥EF，AD=EF，
所以四边形ADEF是平行四边形，所以AF∥DE．
因为DE⊂平面PCD，AF⊄平面PCD，所以AF∥平面PCD．
所以存在点F，使得AF∥平面PCD，此时PFPB=12．;
【解析】
(1)过点D作DM//AB，交BC于点M，证明四边形ABMD是平行四边形，求得BM、CM的值，求出四边形ABCD的面积，再计算四棱锥P一ABCD的体积．
(2)分别取PC，PB的中点E，F，连接AF，EF，DE，证明EF//BC，AD//EF，得出四边形ADEF是平行四边形，AF//DE，从而得出AF//平面PCD，以及对应PFPB的值．
此题主要考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．
25.【答案】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，
∵M为PC的中点，O为AC的中点，
∴MO∥PA，
∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，
∴PA∥平面MDB．
（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD，
∵PD⊂平面PCD，
∴BC⊥PD．;
【解析】
(1)连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO//PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA//平面MDB．
(2)先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．
这道题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．
26.【答案】（1）证明：若E为PD中点，连接QE，CE，
又Q是AP的中点，即QE∥AD且QE=12AD，
又BC=12AD，AD∥BC，故BC=QE且BC∥QE，
所以BCEQ为平行四边形，故BQ∥CE，
由BQ⊄面PCD，CE⊂面PCD，则BQ∥面PCD．
（2）解：面ABCD⊥面PAD，面ABCD∩面PAD=AD，C∈面ABCD，
则C在面PAD上射影F在AD上，即CF⊥面PAD，PD⊂面PAD，
所以CF⊥PD，
又AB=BC=CD=12AD=1，AD∥BC，故DF=12，CF=32，
过F作FG∥AP交PD于G，
则DFAD=FGPA=DGPD=14，
由P在以AD为直径的圆O上，即AP⊥PD，
所以FG⊥PD，
又CF∩FG=F，CF，FG⊂面CFG，故PD⊥面CFG，而CG⊂面CFG，
所以PD⊥CG，
由FG⊂面PAD，CG⊂面CDP，面PAD∩面CDP=PD，
所以二面角C-PD-A对应平面角为∠CGF，即tan∠CGF=CFFG=2，
故FG=34，PA=3，则PD=1，
所以VA−PCD=VC−ADP=13×CF×12×PA×PD=14．;
【解析】
(1)E为PD中点，连接QE，CE，中位线性质得QE//AD且QE=12AD，结合已知有BCEQ为平行四边形，再由线面平行的判定证明结论．
(2)找到C在面PAD上射影F，过F作FG//AP交PD于G，进而求出CF、PA、PD，根据VA−PCD=VC−ADP及棱锥的体积公式求体积即可．
此题主要考查了线面平行的证明以及三棱锥体积的计算，属于中档题．
人教A版（2019）必修第二册《8.5.2 直线与平面平行》同步练习
一 、单选题（本大题共12小题，共72分）
1.（6分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，P在对角线BD1上，且BP→=23B→D1，给出下列四个命题：(1)MN//面APC；(2)C1Q //面APC；(3)A，P，M三点共线；(4)面MNP //面APC.正确序号为( )
A. (1)(2) B. (1)(4) C. (2)(3) D. (3)(4)
2.（6分）有下列四个条件：①a⊄β，b⊂β，a//b；②b⊂β，a//b；③a//b//c，b⊂β，c⊂β；④a、b是异面直线，a//c，b⊂β，c⊂β.其中能保证直线a//平面β的条件是( )
A. ①② B. ①③ C. ①④ D. ②④
3.（6分）如图，已知三棱柱ABC−A'B'C'的底面是正三角形，侧棱AA'⊥底面ABC，AB=9,AA'=3，点P在四边形ABB'A'内，且P到AA'，A'B'的距离都等于1，若D为BC上靠近C的四等分点，过点P且与A'D平行的直线交三棱柱ABC−A'B'C'于点P，Q两点，则点Q所在平面是 ( )
A. ACC'A' B. BCC'B'
C. ABC D. ABB'A'
4.（6分）已知平面α，直线m，n满足m⊄a，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的( )
A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件
5.（6分）如图，在四面体ABCD中，AB=CD=2，AD=BD=3，AC=BC=4.点E，F，G，H分别在棱AD，BD，BC，AC上．若直线AB，CD都平行于四边形EFGH所在平面，则四边形EFGH面积的最大值是( )
A. 12 B. 22 C. 1 D. 2
6.（6分）如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，不能得出AB//平面MNP的图形的序号为( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
7.（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，过A1B且与AC1平行的平面交B1C1于点P，则PC1=( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
8.（6分）如图，在长方体ABCD−A'B'C'D'中，下列直线与平面AD'C平行的是( )
A. B'C' B. A'B C. A'B' D. BB'
9.（6分）如图，ΔABC的边BC在平面α内，EF是ΔABC的中位线，则( )
A. EF与平面α平行 B. EF与平面α不平行
C. EF与平面α可能平行 D. EF与平面α可能相交
10.（6分）若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，下列命题正确的是( )
A. 若m//α，n//α，则m//n B. 若m⊥α，n⊥β，且α//β，则m//n
C. 若α⊥β，m⊥α，则m//β D. 若α⊥β，m⊥n，且m⊥α，则n⊥β
11.（6分）如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P是线段CD1上的动点，则()
A. AP//平面BC1D B. AP//平面A1BC1
C. AP⊥平面A1BD D. AP⊥平面BB1D1
12.（6分）如图所示的三棱柱ABC−A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上均有可能
二 、填空题（本大题共4小题，共24分）
13.（6分）已知平面α，β和直线m，给出以下条件：①m//α；②m⊥α；③m⊂α；④α⊥β⑤α//β.由这五个条件中的两个同时成立能推导出m//β的是________.(填序号)
14.（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AF=3，DE=9，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，M为线段BD上一点，若CM //平面BEF，则BMMD=________.
15.（6分）下列各图中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB//平面MNP的图形的序号是________ .
16.（6分）已知直线l//平面α，l⊂平面β，α∩β=m，则直线l，m的位置关系是______．
三 、多选题（本大题共4小题，共20分）
17.（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的是( )
A. B.
C. D.
18.（5分）在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，则过A，Q，B1三点的截面图形是( )
A. 等边三角形 B. 矩形
C. 等腰梯形 D. 正方形
19.（5分）已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1=1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，则下列结论中正确的为( )
A. 若PD=3，则满足条件的P点有且只有一个
B. 若PD=3，则点P的轨迹是一段圆弧
C. 若PD//平面ACB1，则DP的最小值为2
D. 若PD//平面ACB1，且PD=3，则平面BDP截正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的外接球所得平面图形的面积为9π4
20.（5分）如图，在棱长均相等的正四棱锥P−ABCD中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，判断下列结论正确的是()
A. MN//PC B. MN//平面PCD
C. OM⊥平面PAD D. 平面MNO//平面PCD
四 、解答题（本大题共6小题，共34分）
21.（6分）如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．
(1)求证：B1C//平面A1BD；
(2)若∠A1AB=∠ACB=60°，AB=BB1，AC=2，BC=1，求三棱锥C1−ABD的体积．
22.（6分）如图所示的几何体中，平面ADEF⊥底面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，AB//CD，∠BAD=π2，AB=AD=2CD=4，G为BF中点．
(1)证明：CG//面ADEF；
(2)求三棱锥G−CDE的体积．
23.（6分）如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA垂直底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2，AD=1，M是棱SB的中点．
(1)求证：AM//平面SCD；
(2)设点N是CD上的中点，求三棱锥N−BCM的体积．
24.（6分）如图，在四棱锥P−ABCD中，直线PA垂直于平面ABCD，AD//BC，∠ABC=90°，且CD=PA=4，AB=3AD=23.
(1)求四棱锥P−ABCD的体积；
(2)在线段PB上是否存在点F，使得AF//平面PCD？若存在，求出PFPB的值；若不存在，说明理由．
25.（5分）如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：
(1)PA//平面MDB；
(2)PD⊥BC．
26.（5分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AB=BC=CD=12AD=1，AD//BC，P在以AD为直径的圆O上，平面ABCD⊥平面PAD.
(1)设点Q是AP的中点，求证：BQ//平面PCD；
(2)若二面角C−PD−A的平面角的正切值为2，求三棱锥A−PCD的体积．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查正方体的结构特征，线面平行的判定与性质定理，考查推理能力，属于中档题.
(1)证明MN//AC，则点P可能在由MN，AC确定的平面内，即可判断正误；
(3)若A，P，M三点共线，由D1M//AB，由平行线的性质可得D1PBP=D1MAB=12，即可判断正误；
(2)若BPBD1=23，由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，可得四边形OQC1M是平行四边形，于是C1Q//OM，即可判断正误；
(4)举出反例，即可判断正误.
解：
(1)当P在BD1上运动时，M，N，分别是棱D1C1，A1D1的中点，由三角形中位线定理可得MN//A1C1，由正方体的性质可得：A1C1//AC.
∴MN//AC，若由MN，AC确定的平面经过点P，此时MN在平面PAC内，故(1)错误；
(3)若A，P，M三点共线，由D1M//AB，∴D1PBP=D1MAB=12，则BPBD1=23，故(3)正确；
(2)若BPBD1=23，由(3)可得：A，P，M三点共线，设对角线BD∩AC=O，连接OM，OQ，则四边形OQC1M是平行四边形，∴C1Q//OM，而M点在平面APC内，∴C1Q//平面APC，故(2)正确；
(4)当P与B重合时，面MNP //面APC不成立；
故选C.
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了直线与平面平行，属于基础题．
根据直线与平面平行的判定定理逐一进行判断即可．
解：①若a⊄β，b⊂β，a//b，则直线a//平面β，故符合题意；
②若b⊂β，a//b时，则a⊂β或直线a//平面β，故不符合题意；
③若a//b//c，b⊂β，c⊂β时，则a⊂β或直线a//平面β，故不符合题意；
④a、b是异面直线，a//c，b⊂β，c⊂β，则直线a//平面β，故符合题意．
综上所述，符合题意的条件是①④．
故选：C.
3.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了线面平行的判定和性质，延长A'P交AB于O，连接DO，可得Q在DO上，即可得出结论.
解：延长A'P交AB于O，连接DO，
过点P且与A'D平行的直线交三棱柱ABC−A'B'C'于点P，Q两点，
可得Q在DO上，所以点Q所在平面是ABC，
故选C.
4.【答案】D;
【解析】解：若“m//n”则“m//α”成立，即充分性成立，
∵m//α，∴m不一定平行n，
即“m//n”是“m//α”的充分不必要条件，
故选：D．
根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
此题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面平行的判断和性质是解决本题的关键．
5.【答案】C;
【解析】
此题主要考查线面平行的判定与性质，考查一元二次不等式的解法，属于中档题．
由直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，所以HG//AB，同理EF//AB，FG//CD，EH//CD，所以FG//EH，EF//HG.四边形EFGH为平行四边形．又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD.所以：四边形EFGH为矩形．建立二次函数关系求解四边形EFGH面积的最大值．
解：∵直线AB平行于平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG，∴HG//AB；
同理：EF//AB，FG//CD，EH//CD，所以：FG//EH，EF//HG.
故：四边形EFGH为平行四边形．
又∵AD=BD，AC=BC的对称性，可知AB⊥CD.
所以：四边形EFGH为矩形．
设BF：BD=BG：BC=FG：CD=x，(0⩽x⩽1)
FG=2x，HG=2(1−x)
S矩形EFGH=FG×HG=4x(1−x) =−4(x2−x+14−14) =−4x−122+1，
根据二次函数的性质可知S矩形EFGH面积的最大值1.
故选C.
6.【答案】D;
【解析】
此题主要考查命题真假的判断，考查线面平行的判断定理等基础知识，考查学生的空间想象能力，是中档题．
在图①中，由BC//PN，AC//PM，推导出AB//平面MNP；在图②中，由AC//MN，BC//PN，推导出AB//平面MNP；在图③中，由BC//MN，AC//PN，推导出AB//平面MNP；在图④中，AB∩平面PMN=B.
解：正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，
在图①中，∵BC//PN，AC//PM，AC∩BC=C，PN∩PM=P，BC，AC⊂平面ABC；PN，PM⊂平面PMN；
∴平面ABC//平面PMN，
∵AB⊂平面ABC，∴AB//平面MNP，故①能得出AB//平面MNP；
在图②中，∵AC//MN，BC//PN，AC∩BC=C，MN∩PN=N，BC，AC⊂平面ABC；MN，PN⊂平面PMN；
∴平面ABC//平面PMN，
∵AB⊂平面ABC，∴AB//平面MNP，故②能得出AB//平面MNP；
在图③中，BC//MN，AC//PN，BC∩AC=C，MN∩PN=N，BC，AC⊂平面ABC；MN，PN⊂平面PMN；
∴平面ABC//平面PMN，
∵AB⊂平面ABC，∴AB//平面MNP，故③能得出AB//平面MNP；
在图④中，AB∩PB=B，PB⊂平面PMN，∴AB∩平面PMN=B，
故④不能得出AB//平面MNP.
故选D.
7.【答案】D;
【解析】
此题主要考查直线与平面平行的判定定理与性质，考查空间想象能力，考查数学运算及逻辑推理核心素养，属于中档题．
先得出AC1 //平面A1BP.再由线面平行的性质得AC1 // PQ.可得 PC1的值.
解：连接AB1交A1B于点Q，连接PQ，PA1，PB，
则AC1 //平面A1BP.
又AC1⊂平面AB1C1，平面AB1C1∩平面A1BP=PQ，所以AC1 // PQ.
又Q是AB1的中点，所以P是B1C1的中点，所以PC1=1，
故选D.
8.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了立体图形和平面图形的理解能力，主要培养学生的观察能力和空间想象能力．要熟悉在长方体中，面与面之间的关系有平行和垂直两种．
解：连接A'B，可知A'B//D'C，A'B⊈平面AD'C，D'C⊂平面AD'C，
根据直线与平面平行的判定定理可知A'B//平面AD'C，
故选B.
9.【答案】A;
【解析】解：如图，ΔABC的边BC在平面α内，EF是ΔABC的中位线，
∵EF//BC，
∵EF⊄平面α，BC⊂平面α，
∴EF//平面α.
故选：A.
由中位线定理得EF//BC，由此能推导出EF//平面α.
此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力等数学核心素养，是中档题．
10.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系和平面与平面之间的位置关系，属于基础题．
对四个选项分别进行判断，即可得出结论．
解：对于A，若m//α，n//α，则m//n或m，n相交、异面，故不正确；
对于B，m⊥α，n⊥β，且α//β，则m⊥α，n⊥α，∴m//n，故正确；
对于C，α⊥β，m⊥α，则m//β或m⊂β，故不正确；
对于D，α⊥β，m⊥n，且m⊥α，则n与β平行、相交，在平面内都有可能，故不正确．
故选：B.
11.【答案】B;
【解析】解：如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，由AA1与CC1平行且相等得平行四边形ACC1A1，
得A1C1//AC，由AC⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，
所以AC//平面A1BC1，同理AD1//平面A1BC1，
而AD1，AC是平面AD1C内两条相交直线，
因此平面AD1C//平面A1BC1，又AP⊂平面AD1C，
所以AP//平面A1BC1，
故选：B.
正方体中证明平面AD1C//平面A1BC1后可得线面平行，从而得正确选项．
此题主要考查了线面平行的判定定理和性质，属于中档题．
12.【答案】B;
【解析】【试题解析】
此题主要考查空间中直线与直线的位置关系.
由题意得出A1B1//平面ABC，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，进而可求解.
解：在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB // A1B1.
∵AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，
∴A1B1 //平面ABC.
∵过A1B1的平面与平面ABC交于DE，
∴DE // A1B1，∴DE // AB.
故选B.
13.【答案】③⑤;
【解析】
此题主要考查了直线与平面平行的判定方法.利用若两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
解：∵α//β，m⊂α，
∴m//β.
所以当满足条件③⑤时，
有m//β.
故答案为③⑤.
14.【答案】2;
【解析】【试题解析】
此题主要考查线面平行判定与性质，考查学生的直观想象及数学运算的素养，属于中档题．
在BE上取一点G，使得BG=13BE，过点G作GN // ED交BD于点N，连接AN，先证得N //平面BEF，过点C作CM // AN交BD于点M，故得CM //平面BEF，由线面平行的性质得答案
解：在BE上取一点G，使得BG=13BE，过点G作GN // ED交BD于点N，连接AN，
所以NG=13DE，BN=13BD，
因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以AF // DE，
又因为AF=3，DE=9，
所以AF=13DE=NG，
故四边形ANGF为平行四边形，
所以AN // FG，
又因为AN⊄平面BEF，FG⊂平面BEF，
所以AN //平面BEF，
过点C作CM // AN交BD于点M，
所以CM //平面BEF，
由题知，ΔCMD≌ΔANB，
所以DM=BN，
所以DM=13DB，故BMMD=2.
故答案为2.
15.【答案】①③;
【解析】
此题主要考查线面平行的判定.
利用线面平行的判定，只要直线AB平行于平面MNP内的一条直线即可，逐一判断即可．
解：①连结BC，则平面ABC//平面MNP，所以AB//平面MNP.所以①正确．
②取底面正方形对角线的中点O，则ON//AB，所以AB与面PMN相交，不平行，所以②不合适．
③因为AB//NP，所以AB//平面MNP.所以③正确．
④AB与面PMN相交，不平行，所以④不合适．
故答案为①③．
16.【答案】平行;
【解析】解：∵直线l//平面α，l⊂平面β，α∩β=m，
∴由直线与平面平行的性质定理得l//m，
则直线l，m的位置关系是平行．
故答案为：平行．
由直线与平面平行的性质定理得l//m．
该题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查空间中线面平行的判定定理，属于中档题．
利用线面平行判定定理可知B、C、D均满足题意，从而可得答案．
解：对于选项B，由于AB//MQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故B满足题意；
对于选项C，由于AB//MQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故C满足题意；
对于选项D，由于AB//NQ，结合线面平行判定定理可知AB//平面MNQ，故D满足题意；
选项A不满足题意，(假设AB//平面MNQ，利用线面平行的性质定理，过ABQ的平面与MN交点P，可得AB//QP，但QP显然与AB不平行，矛盾，所以直线AB与平面MNQ不平行.)
故选BCD.
18.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查几何体的截面问题，以及简单多面体结构特征，线面平行的应用.
利用简单多面体的结构特征，线面平行的性质，分别讨论点Q的位置，即可得解.
解：由点Q在线段DD1上移动，
当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1；
当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D；
当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形．
理由如下：
如图所示：
因为AB1//DC1，AB1//平面DCC1D1，
过点Q作QM//DC1，
所以AB1//QM，
显然D1Q=D1M，易证ΔADQ和ΔB1C1M全等，
则AQ=B1M，
所以四边形AB1MQ为等腰梯形.
故选ABC.
19.【答案】ABD;
【解析】此题主要考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等知识，考查运算求解能力，是中档题；
【解析】
如图：
因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1=1，
所以B1D1=22,DB1=12+222=3,
则P与B1重合时，PD=3，则满足条件的P点有且只有一个，A正确；
因为PD=3∈1,3,DD1=1,则PD1=2，点P的轨迹是一段圆弧，B正确；
连接DA1,DC1，可得平面A1DC1//平面ACB1，则P为A1C1中点时，DP的最小值为3，C错误；
由C知，平面BDP截正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为1222+22+12=32，面积为9π4，D正确，
故选：ABD，
20.【答案】BD;
【解析】解：∵PC⊂平面PBC，N∈平面PBC，M∉平面PBC，N∉PC，
∴MN与PC为异面直线，故A错误；
∵M，N分别为侧棱PA，PB的中点，∴MN//DC，
∵DC⊂平面PDC，MN⊄平面PDC，∴MN//平面PCD，故B正确；
连接AC，则O∈AC，且O为AC的中点，
设正四棱锥的棱长为2，由题意可知，OA=2，同理可得OP=OD=2，
则O在平面PAD的射影为正三角形PAD的中心，则OM与平面PAD不垂直，故C错误；
由三角形中位线定理可得，OM//PC，可得OM//面PCD，再由选项B可知，MN//平面PCD，
且OM，MN⊂面PCD，OM∩MN=M，由面面平行的判定定理可得平面MNO//平面PCD，故D正确．
故选：BD.
由异面直线的定义判断A；由直线与平面平行的判定判断B；利用反证法思想判断C；由平面与平面平行的判定判断D.
此题主要考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与推理论证能力，是中档题．
21.【答案】证明：（1）连结AB1，交A1B于点O，连结OD，
由题知O为AB1中点，又D为AC中点，
∴B1C∥OD，
又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD．
解：（2）∵∠A1AB=∠ACB=60°，AB=BB1，
AC=2，BC=1，
∴AB=AC2+BC2−2×AC×BC×cos60°=3，
∴AC2=AB2+BC2，∴BC⊥AB，
∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，
∴BC⊥平面AA1B1B，
∵∠A1AB=60°，AB=BB1=AA1，∴AA1=3，
∴S△A1AB=12×AB×AA1×sin∠A1AB=334，
∴三棱锥C1-ABD的体积：
VC1−ABD=VA1−ABD=VD−A1AB
=12VC−A1AB=12×13×S△A1AB×BC=38．;
【解析】
(1)连结AB1，交A1B于点O，连结OD，推导出B1C//OD，由此能证明B1C//平面A1BD．
(2)三棱锥C1−ABD的体积VC1−ABD=VA1−ABD=VD−A1AB=12VC−A1AB，由此能求出三棱锥C1−ABD的体积．
该题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
22.【答案】证明：（1）取AF的中点H，连结GH，HD，
∵G为BF中点，∴GH∥AB，GH=12AB，
又AB∥CD，AB=2CD，
∴GH∥CD，GH=CD，则CDHG为平行四边形，
∴CG∥HD，
又∵HD⊂面ADEF，CG⊄面ADEF，
∴CG∥面ADEF；
解：（2）取AB中点M，连GM，则GM∥AF，则GM∥ED，
∵ED⊂平面ECD，GM⊄平面ECD，∴GM∥面ECD．
∴VG−CDE=VM−CDE=VE−MCD=13S△MCD.ED=13×12×2×4×4=163．
∴三棱锥G-CDE的体积为163．;
【解析】
(1)取AF的中点H，连结GH，HD，证明CDHG为平行四边形，得CG//HD，再由直线与平面平行的判定可得CG//面ADEF；
(2)取AB中点M，连GM，证明GM//平面CDE，然后利用等体积法求三棱锥G−CDE的体积．
该题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
23.【答案】解：(1)证明：如图，取SC的中点P，连接MP，DP.
由题设条件易知AD//BC，且AD=12BC，
而MP为三角形SBC的中位线，所以MP//BC，且MP=12BC，
所以MP//AD，且MP=AD即四边形ADPM为平行四边形，所以AM//DP，
又DP⊂平面SCD，AM⊄平面SCD，所以AM//平面SCD；
(2)显然VN−BCM=VM−BCN，
取AB的中点Q，连接QM.
易知MQ//SA，且MQ=12SA=1，
又已知侧棱垂直底面，
所以MQ⊥平面ABCD，
在直角梯形ABCD中，可求SΔBCN=12×2×1=1，
所以VN−BCM=VM−BCN=13⋅SΔBCN⋅MQ=13×1×1=13.;
【解析】此题主要考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．
(1)取SC的中点P，连接MP，DP.证明MP//BC，推出AM//DP，利用直线与平面平行的判定定理证明AM//平面SCD；
(2)判断VN−BCM=VM−BCN，取AB的中点Q，连接QM.证明MQ⊥平面ABCD，求出棱锥的底面面积与高然后求解体积．
24.【答案】解：（1）如图，过点D作DM∥AB，交BC于点M，则∠DMC=∠ABC=90°．
因为AD∥BC，DM∥AB，所以四边形ABMD是平行四边形，
所以BM=AD=2，DM=AB=23．
因为CD=4，所以CM=16−12=2，所以BC=4．
则四边形ABCD的面积为(2+4)×232=63．
由题意可知PA是四棱锥P一ABCD的高，则该四棱锥的体积为13×63×4=83．
（2）分别取PC，PB的中点E，F，连接AF，EF，DE．
因为E，F分别是PC，PB的中点，所以EF∥BC，EF=12BC．
由（1）可知AD∥BC，AD=12BC，所以AD∥EF，AD=EF，
所以四边形ADEF是平行四边形，所以AF∥DE．
因为DE⊂平面PCD，AF⊄平面PCD，所以AF∥平面PCD．
所以存在点F，使得AF∥平面PCD，此时PFPB=12．;
【解析】
(1)过点D作DM//AB，交BC于点M，证明四边形ABMD是平行四边形，求得BM、CM的值，求出四边形ABCD的面积，再计算四棱锥P一ABCD的体积．
(2)分别取PC，PB的中点E，F，连接AF，EF，DE，证明EF//BC，AD//EF，得出四边形ADEF是平行四边形，AF//DE，从而得出AF//平面PCD，以及对应PFPB的值．
此题主要考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．
25.【答案】证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，
∵M为PC的中点，O为AC的中点，
∴MO∥PA，
∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，
∴PA∥平面MDB．
（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，
∴BC⊥平面PCD，
∵PD⊂平面PCD，
∴BC⊥PD．;
【解析】
(1)连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO//PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA//平面MDB．
(2)先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．
这道题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．
26.【答案】（1）证明：若E为PD中点，连接QE，CE，
又Q是AP的中点，即QE∥AD且QE=12AD，
又BC=12AD，AD∥BC，故BC=QE且BC∥QE，
所以BCEQ为平行四边形，故BQ∥CE，
由BQ⊄面PCD，CE⊂面PCD，则BQ∥面PCD．
（2）解：面ABCD⊥面PAD，面ABCD∩面PAD=AD，C∈面ABCD，
则C在面PAD上射影F在AD上，即CF⊥面PAD，PD⊂面PAD，
所以CF⊥PD，
又AB=BC=CD=12AD=1，AD∥BC，故DF=12，CF=32，
过F作FG∥AP交PD于G，
则DFAD=FGPA=DGPD=14，
由P在以AD为直径的圆O上，即AP⊥PD，
所以FG⊥PD，
又CF∩FG=F，CF，FG⊂面CFG，故PD⊥面CFG，而CG⊂面CFG，
所以PD⊥CG，
由FG⊂面PAD，CG⊂面CDP，面PAD∩面CDP=PD，
所以二面角C-PD-A对应平面角为∠CGF，即tan∠CGF=CFFG=2，
故FG=34，PA=3，则PD=1，
所以VA−PCD=VC−ADP=13×CF×12×PA×PD=14．;
【解析】
(1)E为PD中点，连接QE，CE，中位线性质得QE//AD且QE=12AD，结合已知有BCEQ为平行四边形，再由线面平行的判定证明结论．
(2)找到C在面PAD上射影F，过F作FG//AP交PD于G，进而求出CF、PA、PD，根据VA−PCD=VC−ADP及棱锥的体积公式求体积即可．
此题主要考查了线面平行的证明以及三棱锥体积的计算，属于中档题．
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