高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精品同步练习题

8.5.2　直线与平面平行

课后篇巩固提升

基础巩固

1.如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是 (　　)

A.相交 B.b∥α

C.b⊂α D.b∥α或b⊂α

答案D

解析由a∥b,且a∥α,知b与α平行或b⊂α.

2.

如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则(　　)

A.MN∥PD

]B.MN∥PA

C.MN∥AD

D.以上均有可能

答案B

解析∵MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,

平面PAD∩平面PAC=PA,∴MN∥PA.

3.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为平面ABCD 和平面A'B'C'D'的中心,则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　)

A.1个 B.2个

C.3个 D.4个

答案D

解析如题图正方体四个侧面AA'B'B,BB'C'C,CC'D'D,DD'A'A都与EF平行.

4.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是(　　)

A.异面

B.平行

C.相交

D.以上均有可能

答案B

解析∵A1B1∥AB,AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC,

∴A1B1∥平面ABC.

又A1B1⊂平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE,∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1,∴DE∥AB.

5.

如图,在四面体ABCD中,若M,N,P分别为线段AB,BC,CD的中点,则直线BD与平面MNP的位置关系为(　　)

A.平行

B.可能相交

C.相交或BD⊂平面MNP

D.以上都不对

答案A

解析显然BD⊄平面MNP,

∵N,P分别为BC,DC中点,

∴NP∥BD,而NP⊂平面MNP,

∴BD∥平面MNP.

6.对于直线m,n和平面α,下列命题中正确的是(　　)

A.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n∥α

B.如果m⊂α,n⊄α,m,n是异面直线,那么n与α相交

C.如果m⊂α,n∥α,m,n共面,那么m∥n

D.如果m∥α,n∥α,m,n共面,那么m∥n

答案C

解析对于A,如图①,此时n与α相交,故选项A不正确;对于B,如图②,此时m,n是异面直线,而n与α平行,故选项B不正确;对于D,如图③,m与n相交,故选项D不正确.

7.

如图,E,F,G分别是四面体ABCD的棱BC,CD,DA的中点,则此四面体中与过点E,F,G的截面平行的棱是　　　　　. 

答案BD,AC

解析∵E,F分别是BC,CD的中点,∴EF∥BD,

又BD⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,

∴BD∥平面EFG.

同理可得AC∥平面EFG.

很明显,CB,CD,AD,AB均与平面EFG相交.

8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于　　　　. 

答案

解析因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,

平面AB1C∩平面ABCD=AC,

所以EF∥AC.又点E为AD的中点,点F在CD上,所以点F是CD的中点,所以EF=AC=.

9.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,则EF与平面BDD1B1的位置关系是　　　　　. 

答案平行

解析取D1B1的中点M,连接FM,MB,则FM?B1C1.

又BE?B1C1,∴FM?BE.

∴四边形FMBE是平行四边形.∴EF∥BM.

∵BM⊂平面BDD1B1,EF⊄平面BDD1B1,

∴EF∥平面BDD1B1.

10.考查①②两个命题,在“　　　　”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为直线,α为平面),则此条件为　　　　　. 

①⇒l∥α;②⇒l∥α.

答案l⊄α

解析①由线面平行的判定定理知l⊄α;②易知l⊄α.

11.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点,求证:BC1∥平面CA1D.

证明如图所示,连接AC1交A1C于点O,连接OD,则O是AC1的中点.

∵点D是AB的中点,

∴OD∥BC1.

又∵OD⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,∴BC1∥平面CA1D.

12.

如图,在三棱锥S-ABC中,D,E,F分别是AC,BC,SC的中点,G是AB上任意一点.求证:SG∥平面DEF.

证明∵D,E分别是AC,BC的中点,∴DE∥AB.

又DE⊄平面SAB,AB⊂平面SAB,

∴DE∥平面SAB.同理可证EF∥平面SAB.

∵DE∩EF=E,∴平面DEF∥平面SAB.

∵SG⊂平面SAB,∴SG∥平面DEF.

能力提升

1.如图,四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为(　　)

A.2+

B.3+

C.3+2

D.2+2

答案C

解析由AB=BC=CD=DA=2,得AB∥CD,

即AB∥平面DCFE,

∵平面SAB∩平面DCFE=EF,∴AB∥EF.

∵E是SA的中点,∴EF=1,DE=CF=.

∴四边形DEFC的周长为3+2.

2.

如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　　. 

答案a

解析∵MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,

∴MN∥PQ.∵MN∥A1C1∥AC,∴PQ∥AC.

∵AP=,∴DP=DQ=.

∴PQ=a·a.

3.

如图所示,已知P是▱ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,平面PAD∩平面PBC=l.

求证:(1)l∥BC.

(2)MN∥平面PAD.

证明(1)∵BC∥AD,BC⊄平面PAD,∴BC∥平面PAD.又∵平面PBC∩平面PAD=l,∴l∥BC.

(2)如图,取PD的中点E,连接AE,NE,则NE∥CD,且NE=CD,又AM∥CD,且AM=CD,

∴NE∥AM,且NE=AM.

∴四边形AMNE是平行四边形.∴MN∥AE.

又∵AE⊂平面PAD,MN⊄平面PAD,

∴MN∥平面PAD.

4.

如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体,截面为△ABC.已知AA1=4,BB1=2,CC1=3.在边AB上是否存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1?

解存在.取AB的中点O,连接OC.作OD∥AA1交A1B1于点D,连接C1D,则OD∥BB1∥CC1.

因为O是AB的中点,

所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1,则四边形ODC1C是平行四边形,所以OC∥C1D.

又C1D⊂平面C1B1A1,且OC⊄平面C1B1A1,

所以OC∥平面A1B1C1.

即在边AB上存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1.