北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直导学案及答案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直导学案及答案，共14页。
5.5　垂直关系5.5.1　直线与平面垂直新课程标准学业水平要求1.借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中直线与平面垂直的位置关系．2．掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面垂直的位置关系.1.理解并掌握直线与平面垂直的定义，明确定义中“任何”两字的重要性．(直观想象、逻辑推理)2．理解直线和平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(数学抽象、逻辑推理)3．理解直线和平面垂直的判定定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理．(数学抽象、逻辑推理)4．了解直线与平面所成的角的含义，并知道其求法．(直观想象、逻辑推理) 课前篇·自主学习预案1.直线与平面垂直(1)文字叙述：如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足．(2)符号表示：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.(3)图形表示：2.直线与平面垂直的性质定理(1)文字叙述：垂直于同一个平面的两条直线________．(2)符号表示：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)图形表示：3.直线到平面的距离如果一条直线与平面平行，那么这条直线上________到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离．4.直线与平面所成的角(1)定义：一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点A称为斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影．平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.5.直线与平面垂直的判定定理(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的________垂直，那么该直线与此平面垂直．(2)图形表示：(3)符号表示：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α.答案：2.(1)平行3.任意一点5.(1)两条相交直线课堂篇·研习讨论导案研习1  直线与平面垂直的正确理解(直观想象、数学抽象)[典例1]　1.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m2.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)A．相交   B．平行C．异面   D．相交或平行3.下列命题中，正确的序号是________．①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．[自主记]1.[答案]　B　2.[答案]　B　3.[答案]　④⑤[巧归纳]　直线与平面垂直定义的“双向”作用(1)证明线面垂直若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直⇒线面垂直．(2)证明线线垂直若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直⇒线线垂直. 研习2  直线与平面垂直的性质定理和判定定理的应用(直观想象、逻辑推理)[典例2]　如图所示，直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC．四步内容理解题意条件：直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．结论：直线SD⊥平面ABC．思路探求证明直线和平面垂直，必须在平面内找到两条相交直线和此直线垂直． 书写表达【证明】因为SA＝SC，点D为斜边AC的中点，所以SD⊥AC．如图，连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS，所以∠ADS＝∠BDS，所以SD⊥BD．又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．注意书写的规范性：立体几何中的证明问题，需要特别注意符号语言的规范性，证明线面垂直，条件一定要写全，不能有遗漏，特别是相交这个条件． 题后反思证明线面垂直的关键是找到线线垂直，还要注意“相交”． [巧归纳]　线线垂直和线面垂直的相互转化[练习1]　如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：DF∥平面ABC．证明：取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE.因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，所以CD∥AE.又因为CD＝AE.所以FG∥CD，FG＝CD．所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG.又因为CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，所以DF∥平面ABC．研习3  线面垂直中的计算问题(直观想象、数学运算)角度1　求距离[典例3]　已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝，S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．[自主记][解]　如图所示，连接PA，PB．易知△SAC，△ACB是直角三角形，所以SA⊥AC，BC⊥AC．取AB，AC的中点E，F，连接PF，EF，PE，则EF∥BC，PF∥SA．所以EF⊥AC，PF⊥AC．因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.又PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC．易证△SAC≌△SBC．因为P是SC的中点，所以PA＝PB．而E是AB的中点，所以PE⊥AB．因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC．从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．在Rt△AEP中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，所以PE＝＝＝，即点P到平面ABC的距离为.[变式探究]在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，BB1＝2.(1)求异面直线B1C1与A1C所成角的正切值；(2)求直线B1C1与平面A1BC的距离．解：(1)因为B1C1∥BC，所以∠A1CB(或其补角)是异直线B1C1与A1C所成角．因为BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥A1B．在Rt△A1BC中，tan∠A1CB＝＝＝，所以异面直线B1C1与A1C所成角的正切值为.(2)因为B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，设B1到平面A1BC的距离为d，因为VB1－A1BC＝VC－A1BB1，所以S△A1BC×d＝S△A1BB1×BC，可得d＝，直线B1C1与平面A1BC的距离为.角度2　求直线与平面所成的角[典例4]　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．[解]　由题意知，AB是MB在平面ABC内的射影，所以MA⊥平面ABC，所以MC在平面CAB内的射影为AC．所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.即MC与平面CAB所成角的正弦值为.[解题策略]　求直线与平面所成角的一般步骤(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.[练习2]　1.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)A．60°    B．45°  C．30°   D．120°答案：A2.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.答案：6　解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE.又因为AF＝DE，所以四边形ADEF是平行四边形．所以EF＝AD＝6.3.三棱锥S－ABC的所有棱长都相等且为a，求．SA与底面ABC所成角的余弦值．解：如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO，则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.因为SA＝SB＝SC＝a，所以△SOA≌△SOB≌△SOC，所以AO＝BO＝CO，所以O为△ABC的外心．因为△ABC为正三角形，所以O为△ABC的中心．因为SO⊥平面ABC，所以∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝×a＝a，所以cos∠SAO＝＝，所以SA与底面ABC所成角的余弦值为.达标篇·课堂速测演习　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)A．平行   B．相交  C．异面   D．垂直答案：A　2.在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为(　　)A．a   B．a  C．a   D．a答案：C　3.(教材二次开发：练习改编)直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　　)A．l和平面α平行   B．l和平面α垂直C．l在平面α内   D．不能确定答案：D4.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于________．答案：70°　解析：因为l∥m，所以直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，所以m与α所成的角为70°.5.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，证明：DE∥平面PAC．证明：因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA．又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC． [方法技巧]　分类讨论思想的应用[示例]　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由．[思路分析]　先证AQ⊥QD，由于BC边的长度是不确定的，在BC边上是否存在点Q，使AQ⊥QD与a有关，应对a进行分类讨论．[解析]　解法一：连接AQ，因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，所以PA⊥QD．又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ.所以AQ⊥QD．(1)当0<a<2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD<90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD．(2)当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥ QD．(3)当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点满足题意．解法二：如图所示，假如存在点Q，使PQ⊥QD．连接AQ，PA⊥平面AC，∴PA⊥QD，又QD⊥PQ，PQ∩PA＝P，∴QD⊥平面PAQ，∴QD⊥AQ.不妨设AQ＝x(x>0)，则AQ2＝x2，QD2＝QC2＋CD2＝(a－)2＋1，AD2＝a2，在Rt△AQD中，由勾股定理得x2＋(a－)2＋1＝a2.即x4－a2x2＋a2＝0.令t＝x2，则t2－a2t＋a2＝0，(*)∵a>0，∴t1t2＝a2>0，t1＋t2＝a2>0.方程(*)的判别式Δ＝a2(a2－4)．①当0<a<2时，Δ<0，方程(*)无正实根．②当a>2时，Δ>0，方程(*)有两个相异正实根．③当a＝2时，Δ＝0，方程(*)有两个相等的正实根．综上知，当0<a<2时，BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；当a＝2时，BC边上存在一点Q(即BC的中点)，使PQ⊥QD；当a>2时，BC边上存在两个点满足题意．[题后反思]　本题的解法一用到了分类讨论思想，借助以AD为直径的圆与BC的交点的个数推断点Q的存在，解法二则是从代数的角度来解决立体几何问题，是较好的题材．