北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直导学案及答案

5.5　垂直关系

5.5.1　直线与平面垂直

1.直线与平面垂直

(1)文字叙述：如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足．

(2)符号表示：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.

(3)图形表示：

2.直线与平面垂直的性质定理

(1)文字叙述：垂直于同一个平面的两条直线________．

(2)符号表示：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

(3)图形表示：

3.直线到平面的距离

如果一条直线与平面平行，那么这条直线上________到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离．

4.直线与平面所成的角

(1)定义：一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点A称为斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影．平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．

如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．

(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.

(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.

5.直线与平面垂直的判定定理

(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的________垂直，那么该直线与此平面垂直．

(2)图形表示：

(3)符号表示：

a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α.

答案：2.(1)平行

3.任意一点

5.(1)两条相交直线

研习1  直线与平面垂直的正确理解(直观想象、数学抽象)

[典例1]　1.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)

A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α

C．若l∥α，m⊂α，则l∥m

D．若l∥α，m∥α，则l∥m

2.从圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)

A．相交   B．平行

C．异面   D．相交或平行

3.下列命题中，正确的序号是________．

①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；

②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；

③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；

④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；

⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．

[自主记]

1.[答案]　B　

2.[答案]　B　

3.[答案]　④⑤

[巧归纳]　直线与平面垂直定义的“双向”作用

(1)证明线面垂直

若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直⇒线面垂直．

(2)证明线线垂直

若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直⇒线线垂直.

研习2  直线与平面垂直的性质定理和判定定理的应用(直观想象、逻辑推理)

[典例2]　如图所示，直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC．

[巧归纳]　线线垂直和线面垂直的相互转化

[练习1]　如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点，求证：DF∥平面ABC．

证明：取AB的中点G，连接FG，CG，可得FG∥AE，FG＝AE.因为CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，

所以CD∥AE.

又因为CD＝AE.所以FG∥CD，FG＝CD．

所以四边形CDFG是平行四边形，所以DF∥CG.

又因为CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，所以DF∥平面ABC．

研习3  线面垂直中的计算问题(直观想象、数学运算)

角度1　求距离

[典例3]　已知△ABC，AC＝BC＝1，AB＝，S是△ABC所在平面外一点，SA＝SB＝2，SC＝，点P是SC的中点，求点P到平面ABC的距离．

[自主记]

[解]　如图所示，连接PA，PB．易知△SAC，△ACB是直角三角形，所以SA⊥AC，BC⊥AC．

取AB，AC的中点E，F，连接PF，EF，PE，则EF∥BC，PF∥SA．所以EF⊥AC，PF⊥AC．

因为PF∩EF＝F，所以AC⊥平面PEF.又PE⊂平面PEF，所以PE⊥AC．易证△SAC≌△SBC．因为P是SC的中点，所以PA＝PB．而E是AB的中点，所以PE⊥AB．

因为AB∩AC＝A，所以PE⊥平面ABC．从而PE的长就是点P到平面ABC的距离．

在Rt△AEP中，AP＝SC＝，AE＝AB＝，

所以PE＝＝＝，

即点P到平面ABC的距离为.

[变式探究]

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，BB1＝2.

(1)求异面直线B1C1与A1C所成角的正切值；

(2)求直线B1C1与平面A1BC的距离．

解：(1)因为B1C1∥BC，所以∠A1CB(或其补角)是异直线B1C1与A1C所成角．

因为BC⊥AB，BC⊥BB1，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥A1B．

在Rt△A1BC中，tan∠A1CB＝＝＝，

所以异面直线B1C1与A1C所成角的正切值为.

(2)因为B1C1∥平面A1BC，所以B1C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离，设B1到平面A1BC的距离为d，因为VB1－A1BC＝VC－A1BB1，

所以S△A1BC×d＝S△A1BB1×BC，可得d＝，

直线B1C1与平面A1BC的距离为.

角度2　求直线与平面所成的角

[典例4]　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．

[解]　由题意知，AB是MB在平面ABC内的射影，所以MA⊥平面ABC，

所以MC在平面CAB内的射影为AC．

所以∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．

又因为在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，

所以MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.

在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.

在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.

即MC与平面CAB所成角的正弦值为.

[解题策略]　求直线与平面所成角的一般步骤

(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线．

(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角．

(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.

[练习2]　1.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是(　　)

A．60°    B．45° 

C．30°   D．120°

答案：A

2.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.

答案：6　

解析：因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，

所以AF∥DE.

又因为AF＝DE，所以四边形ADEF是平行四边形．

所以EF＝AD＝6.

3.三棱锥S－ABC的所有棱长都相等且为a，求．SA与底面ABC所成角的余弦值．

解：如图，过S作SO⊥平面ABC于点O，连接AO，BO，CO，则SO⊥AO，SO⊥BO，SO⊥CO.

因为SA＝SB＝SC＝a，

所以△SOA≌△SOB≌△SOC，所以AO＝BO＝CO，

所以O为△ABC的外心．因为△ABC为正三角形，所以O为△ABC的中心．因为SO⊥平面ABC，

所以∠SAO即为SA与平面ABC所成的角．

在Rt△SAO中，SA＝a，AO＝×a＝a，

所以cos∠SAO＝＝，

所以SA与底面ABC所成角的余弦值为.

1.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行   B．相交 

C．异面   D．垂直

答案：A　

2.在正三棱锥P－ABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为(　　)

A．a   B．a 

C．a   D．a

答案：C　

3.(教材二次开发：练习改编)直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　　)

A．l和平面α平行   B．l和平面α垂直

C．l在平面α内   D．不能确定

答案：D

4.直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于________．

答案：70°　

解析：因为l∥m，所以直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，

又直线l与平面α所成的角为70°，

所以m与α所成的角为70°.

5.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，证明：DE∥平面PAC．

证明：因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，

所以DE∥PA．又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，

所以DE∥平面PAC．

[方法技巧]　分类讨论思想的应用

[示例]　如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由．

[思路分析]　先证AQ⊥QD，由于BC边的长度是不确定的，在BC边上是否存在点Q，使AQ⊥QD与a有关，应对a进行分类讨论．

[解析]　解法一：连接AQ，因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，所以PA⊥QD．又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ.所以AQ⊥QD．

(1)当0<a<2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD<90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD．

(2)当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥ QD．

(3)当a>2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1，Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点满足题意．

解法二：如图所示，假如存在点Q，使PQ⊥QD．

连接AQ，PA⊥平面AC，

∴PA⊥QD，

又QD⊥PQ，PQ∩PA＝P，

∴QD⊥平面PAQ，

∴QD⊥AQ.

不妨设AQ＝x(x>0)，

则AQ2＝x2，QD2＝QC2＋CD2＝(a－)2＋1，AD2＝a2，

在Rt△AQD中，由勾股定理得x2＋(a－)2＋1＝a2.

即x4－a2x2＋a2＝0.

令t＝x2，则t2－a2t＋a2＝0，(*)

∵a>0，∴t1t2＝a2>0，t1＋t2＝a2>0.

方程(*)的判别式Δ＝a2(a2－4)．

①当0<a<2时，Δ<0，方程(*)无正实根．

②当a>2时，Δ>0，方程(*)有两个相异正实根．

③当a＝2时，Δ＝0，方程(*)有两个相等的正实根．

综上知，当0<a<2时，BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD；

当a＝2时，BC边上存在一点Q(即BC的中点)，使PQ⊥QD；

当a>2时，BC边上存在两个点满足题意．

[题后反思]　本题的解法一用到了分类讨论思想，借助以AD为直径的圆与BC的交点的个数推断点Q的存在，解法二则是从代数的角度来解决立体几何问题，是较好的题材．