2020-2021学年6.4 平面向量的应用第2课时学案及答案

【新教材】 8.6.2 直线与平面垂直（人教A版）

第2课时 直线与平面垂直的性质

1．理解直线和平面垂直的性质定理并能运用其解决相关问题.

2．通过对空间距离的理解和应用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．

1.逻辑推理：探究归纳直线和平面垂直的性质定理，线线垂直与线面垂直转化；

2.数学运算：求空间点面、线面、面面距离.

3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.

重点：直线和平面垂直的性质定理.

难点：直线和平面垂直的性质定理的应用.

一、    预习导入

阅读课本153-155页，填写。

1、直线与平面平行的性质定理

常用结论:

(1)过一点有且仅有一条直线与已知平面垂直.

(2)已知若平面外的直线b与直线垂直，则.

(3)已知.

2、距离

(1)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条______________________________.

(2)平面与平面的距离：两个平面平行时，其中一个______________________________.

1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l⊥平面A1C1(l与棱不重合),则(　 　)

A.B1B⊥l       B.B1B∥l

C.B1B与l异面 D.B1B与l相交

2.已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列四个

命题:

①a∥b,a∥α⇒b∥α;

②a⊥b,a⊥α⇒b∥α;

③a∥α,β∥α⇒a∥β;

④a⊥α,β⊥α⇒a∥β.

其中不正确的有(　 　)

A.1个 B.2个 

C.3个 D.4个

3.如果直线l,m与平面α,β,γ之间满足:l=β∩γ,l∥α,m⊂α和m⊥γ,那么(　　)

A.α⊥γ且l⊥m       B.α⊥γ且m∥β

C.m∥β且l⊥m       D.α∥β且α⊥γ

4.线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________. 

题型一  直线与平面垂直的性质定理的应用

例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点, MN⊥平面A1DC.

求证：（1）MN∥AD1;

（2）M是AB的中点.

跟踪训练一

1、如图，已知平面α∩平面β=l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，B为垂足，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.

题型二  空间中的距离问题

例2 如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.若AE=A1E，AB=3，求四棱锥E-BB1C1C的体积.

跟踪训练二

1、如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥菱形ABCD所在的平面，∠ABC=60°，E是BC的中点，M是PD的中点.

(1)求证：AE⊥平面PAD.

(2)若AB=AP=2，求三棱锥P-ACM的体积.

1．直角三角形的斜边在平面内，顶点在平面外，则△ABC的两条直角边在平面内的射影与斜边组成的图形是（    ）．

A．一条线段 B．一个锐角三角形

C．一个钝角三角形 D．一条线段或一个钝角三角形

2．已知正方体中，，则点到平面的距离为（    ）

A．1 B． C． D．

3．如图所示，在斜三棱柱中，，则点在底面上的射影必在（    ）

A．直线上 B．直线上

C．直线上 D．内部

4．如图，设正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，分别为棱的中点，则的长为_______.

5．如图所示，已知所在的平面，是的直径，，是上一点，且，与所在的平面成角，是的中点，是的中点；

（1）求证：平面；

（2）求三棱锥-的体积．

答案

小试牛刀

1．B.

2．D.

3．A.

4. 4.

自主探究

例1 【答案】证明见解析

【解析】（1）因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AD1⊥A1D.

又因为CD⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.

因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.

又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.

(2)设AD1∩A1D=O,连接ON,在△A1DC中,

A1O=OD,A1N=NC.所以ONCDAB,即ON∥AM.

又因为MN∥OA,所以四边形AMNO为平行四边形,所以ON=AM.

因为ON=AB,所以AM=AB,即M是AB的中点.

跟踪训练一

1、【答案】证明见解析

【解析】因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.

又因为a⊥AB，AB∩EB=B，

所以a⊥平面ABE.

因为α∩β=l，所以l⊂α，l⊂β.

因为EA⊥α，EB⊥β，所以EA⊥l，EB⊥l.

又因为EA∩EB=E，

所以l⊥平面ABE.所以a∥l.

例2 【答案】18.

【解析】由长方体ABCD-A1B1C1D1，

可知B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，

所以B1C1⊥BE，因为BE⊥EC1，B1C1∩EC1=C1，

所以BE⊥平面EB1C1，所以∠BEB1=90°，

由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，

所以∠AEB=∠A1EB1=45°，所以AE=AB=3，AA1=2AE=6，

因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中，

AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，

所以E到平面BB1C1C的距离即为点A到平面BB1C1C的距离，AB=3，

所以四棱锥E-BB1C1C的体积V=×3×6×3=18.

跟踪训练二

1、【答案】(1)证明见解析，(2)

【解析】解析 (1)连接AC，因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，

所以△ABC为正三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，

因为AD∥BC，所以AE⊥AD，

因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，

所以PA⊥AE，又因为PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.

(2)因为AB=AP=2，则AD=2，AE=，

所以VP-ACM=VC-PAM= S△PAM·AE=

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1-3. DBA

4. .

5．【答案】（1）见解析； （2）.

【解析】（1）证明：∵是的直径，是上一点，

∴．

∵所在的平面，

∴．又分别是的中点，

∴EF//BC，∴，．

又，∴平面．

（2）由（1）知，且，，

∴．

∵所在的平面，

∴为与所在的平面所成的平面角，

∴，∴．

故．