北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直学案

这是一份北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直学案，共9页。


[教材要点]
要点一 直线与平面垂直的定义
一般地，如果直线l与平面α内的________直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作________．直线l称为平面α的________，平面α称为直线l的________，它们唯一的公共点P称为________．
eq \x(状元随笔) 1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．
2．注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．
要点二 直线与平面垂直的性质
eq \x(状元随笔) 1.直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法．
2．定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系转化的依据．
要点三 直线到平面的距离
如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离．
要点四 直线与平面所成的角
eq \x(状元随笔) 把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．
要点五 直线与平面垂直的判定
eq \x(状元随笔) 1.该定理有五个条件：a ⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b这五个条件缺一不可．但对l⊥a，l⊥b在什么位置(过不过交点)、以什么方式(共面或异面)都不作要求，正是这种不作要求的“宽松”条件，使得证明直线与平面垂直的方法很灵活．
2．“两条相交直线”是定理的关键词，应用定理时不能忽略．例如：若一条直线与一个平面内的两条不相交的直线都垂直，则该直线与平面不一定垂直．
[教材答疑]
1．[教材P227思考交流]
两条异面直线不能垂直于同一平面．
假设两条异面直线都垂直于同一平面，那么这两条直线一定平行(直线与平面垂直的性质定理)，所以假设不成立，即两条异面直线不能垂直于同一个平面．
2．[教材P230思考交流]
(1)若三条共点的直线两两垂直，那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面垂直．(直线与平面垂直的判定定理)
(2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)直线l垂直于平面α内的两条直线，则直线l垂直于平面．( )
(2)如果一条直线与平面的垂线垂直，则该直线与这个平面平行．( )
(3)直线l垂直于平面α内的无数条直线，则直线l垂直于平面α.( )
(4)平面的斜线与平面所成的角的范围是0°≤θ≤90°.( )
2．在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1B1CD
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB
3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
4．直线n⊥平面α，n∥l，直线m⊂α，则l，m的位置关系是________．
题型一 直线与平面垂直的性质定理的应用——师生共研
例1 在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1.
方法归纳
线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：
(1)a∥b，b∥c⇒a∥c.
(2)a∥α，a⊂β，β∩α＝b⇒a∥b.
(3)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.
(4)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
跟踪训练1 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG.求证：BC∥FG.
题型二 直线与平面所成的角——师生共研
作线面角是解题的关键．取DC的中点F，证明EF∥B1C，因为B1C⊥平面ABC1D1，所以EF⊥平面ABC1D1，从而作出线面角．
例2 在棱长为1的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．
方法归纳
求直线与平面所成的角的步骤
(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；
(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；
(3)求：一般来说是借助三角形的相关知识求角．
跟踪训练2 如图，在四棱锥P ­ ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝eq \r(2)a.
(1)求证：PD⊥平面ABCD.
(2)求出直线PB与平面ABCD所成的角的正切值．
题型三 直线与平面垂直的判定定理的应用——微点探究
微点1 证明线面垂直
例3 如图所示，Rt△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．求证：直线SD⊥平面ABC.
变式探究 在本例中，其它条件不变，再加上“AB＝BC”，求BD与平面SAC的位置关系．
方法归纳
要抓住基本的平面图形的几何性质来实现垂直的探索，第一类是图形本身具备的垂直性质，如矩形、正方形、直角三角形、直角梯形等，第二类是由图形的伴随性质提供的垂直关系，如等腰三角形底边的三线合一、菱形的对角线等．
微点2 证明线线垂直
例4 如图，在四面体P ­ ABC中，已知BC＝6，PC＝10，PB＝2eq \r(34).F是线段PB上一点，CF＝eq \f(15,17)eq \r(34)，点E在线段AB上，且EF⊥PB.求证：PB⊥CE.
eq \x(状元随笔) 已知条件中对线面关系的描绘不多，但是给出了大量的数据信息，解题的关键是从这些数据中发现隐含的垂直关系，判断的工具一般是勾股定理的逆定理．
方法归纳
(1)直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：①平面内的两条相交直线；②都垂直．
(2)要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的．
跟踪训练3
如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
易错辨析 使用直线与平面垂直的判定定理时忽略条件致错
例5
如图，a∥b，点P在a，b所确定的平面γ外，PA⊥a，垂足为点A，AB⊥b，垂足为点B.求证：PB⊥b.
解析：因为PA⊥a，a∥b，所以PA⊥b.又AB⊥b，PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以b⊥平面PAB.
因为PB⊂平面PAB，所以PB⊥b.
易错警示
§5 垂直关系
5．1 直线与平面垂直
新知初探·课前预习
要点一
任何一条 l⊥α 垂线 垂面 垂足
要点二
平行 a∥b
要点四
投影 投影 ∠PAO
要点五
两条相交 a∩b＝A a⊂α b⊂α
[基础自测]
1．(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：由于易证BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.
答案：B
3．解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
答案：C
4．解析：由题意可知l⊥α，所以l⊥m.
答案：l⊥m
题型探究·课堂解透
题型一
例1 证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD.
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1.
又EF⊥A1D，A1D∩A1C1＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D ①.
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1.
∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1∩BB1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1.同理DC1⊥BD1.
又DC1∩A1C1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D ②.
由①②可知EF∥BD1.
跟踪训练1 证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC.
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又AD∩AE＝A，所以BC⊥平面ADE.
因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，
同理ED⊥FG，又ED∩AD＝D，
所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG.
题型二
例2 解析：
如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.
由ABCD ­ A1B1C1D1为正方体，易得B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1⊂平面ABC1D1，D1C1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵E，F分别为A1B1，CD的中点，∴EF∥B1C，∴EF⊥平面ABC1D1，即∠EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角．
在Rt△EOA中，EO＝eq \f(1,2)EF＝eq \f(1,2)B1C＝eq \f(\r(2),2)，
AE＝eq \r(A1E2＋AA\\al(2,1))＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋12)＝eq \f(\r(5),2)，
∴sin∠EAO＝eq \f(EO,AE)＝eq \f(\r(10),5).
∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为eq \f(\r(10),5).
跟踪训练2 解析：(1)证明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝eq \r(2)a，
∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC.
同理可证PD⊥AD.
∵AD，DC⊂平面ABCD，且AD∩DC＝D，
∴PD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，∴BD是PB在平面ABCD上的投影，
∴∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角．
∵BD＝eq \r(2)a，∴tan∠PBD＝eq \f(PD,BD)＝eq \f(a,\r(2)a)＝eq \f(\r(2),2).
题型三
例3 证明：∵SA＝SC，点D为斜边AC的中点，
∴SD⊥AC.
连接BD，在Rt△ABC中，则AD＝DC＝BD，
∴△ADS≌△BDS，
SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.
变式探究 解析：∵AB＝BC，点D为斜边AC的中点，
∴BD⊥AC.
又由本例知SD⊥平面ABC，∴SD⊥BD.
于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，
故BD⊥平面SAC.
例4 证明：在△PCB中，∵PC＝10，BC＝6，PB＝2eq \r(34)，CF＝eq \f(15,17)eq \r(34)，
∴PC2＋BC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，PC⊥BC，
又PC·BC＝PB·CF，∴PB⊥CF.
又EF⊥PB，EF∩CF＝F，
∴PB⊥平面CEF.
∵CE⊂平面CEF，
∴PB⊥CE.
跟踪训练3 证明：(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.
∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.
最新课标
借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直、平面与平面垂直的关系，归纳出判定定理和性质定理；能用已获得的言论证明直线与平面垂直、平面与平面垂直的简单命题.
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线________
符号语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(a⊥αb⊥α))⇒________
图形语言
作用
①线面垂直⇒线线平行；
②作平行线
直线与平面所成的角
定义
过斜线上斜足以外的一点向平面作垂线，过垂足和斜足的直线称为斜线在这个平面上的________，平面的一条斜线与它在平面上的________所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角．
范围
0°≤θ≤90°
画法
如图，________就是斜线AP与平面α所成的角
文字语言
如果一条直线与一个平面内的________直线垂直，那么该直线与此平面垂直．
图形语言
符号语言
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(l⊥al⊥b   ))⇒l⊥α
易错原因
纠错心得
没有正确使用直线与平面垂直的判定定理，忽略了“垂直于平面的两条相交直线”这一条件致错.
应用直线与平面垂直的判定定理时，要熟记定理的应用条件，不能忽略“两条相交直线”这一关键条件.