北师大版高中数学必修第二册6-6-1柱、锥、台的侧面展开与面积6-6-2　柱、锥、台的体积学案

5.6　简单几何体的再认识

5.6.1　柱、锥、台的侧面展开与面积

5.6.2　柱、锥、台的体积

知识点1　柱、锥、台的侧面展开与面积

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积与表面积

(1)圆柱的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是矩形．如图：

圆柱的侧面积和表面积公式：S圆柱侧＝________，

S表面积＝S圆柱侧＋2S底面积＝________.

(2)圆锥的底面半径为r，母线长为l，侧面展开图是扇形．如图：

圆锥的侧面积和表面积公式：S圆锥侧＝________，

S表面积＝S圆锥侧＋S底面积＝________.

(3)圆台的上底面半径为r1，下底面半径为r2，母线长为l，侧面展开图是扇环．如图：

圆台的侧面积和表面积公式：S圆台侧＝________，

S表面积＝S圆台侧＋S上底面积＋S下底面积＝________.

2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积与表面积

(1)直棱柱的底面周长为c，高为h.直棱柱的侧面展开图是一些矩形．如图：

直棱柱的侧面积和表面积公式：S直棱柱侧＝________，

S表面积＝S直棱柱侧＋2S底面积．

(2)正棱锥的底面周长为c，斜高为h′.正棱锥的侧面展开图是一些全等的三角形．如图：

正棱锥的侧面积和表面积公式：S正棱锥侧＝________，

S表面积＝S正棱锥侧＋S底面积．

(3)正棱台的上底面周长为c1，下底面周长为c2，斜高为h′.正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．如图：

正棱台的侧面积和表面积公式：S正梭台侧＝________，

S表面积＝S正棱台侧＋S上底面积＋S下底面积.

1.答案：(1)2πrl　2πrl＋2πr2　(2)πrl　πrl＋πr2

(3)π(r1＋r2)l　π(r1＋r2)l＋πr＋πr

2.答案：(1)ch　(2)ch′　(3)(c1＋c2)h′

知识点2　柱、锥、台的体积

1.棱柱和圆柱的体积

棱柱和圆柱的体积的计算公式：V柱体＝________.

其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．

特别地，V圆柱＝πr2h(r是圆柱的底面半径，h是圆柱的高)

2.棱锥和圆锥的体积

棱锥和圆锥的体积的计算公式：V锥体＝________.

其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

特别地，V圆锥＝πr2h(r是圆锥的底面半径，h是圆锥的高)

3.棱台和圆台的体积

棱台和圆台的体积的计算公式：

V台体＝________.

S上，S下分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．

特别地，V圆台＝________(r′，r分别是上、下底面半径，h是高).

答案：1.Sh　2.Sh

3.(S上＋S下＋)h　πh(r′2＋r′r＋r2)

研习1  柱体、锥体、台体的表面积

[典例1]　(1)一个几何体如图所示，则该几何体的表面积为(　　)

A．3π   B．4π 

C．2π＋4   D．3π＋4

(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)

A．81π   B．100π 

C．168π   D．169π

[自主记]

(1)[答案]　D

[解析]　该几何体为半圆柱．

表面积为2×2＋2××π×12＋π×1×2＝4＋3π.

(2)[答案]　C

[解析]　圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，则R＝8.

故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，

S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.

[巧归纳]　1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．

2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.

研习2  柱体、锥体、台体的体积

[典例2]　圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16π，则圆锥的体积是(　　)

A．   B．

C．64π   D．128π

[答案]　A

[延伸探究]将本例中的条件“侧面积是16π”改为“若其体积为π”，求该圆锥的侧面积．

[自主记]

解：设圆锥的底面半径为r，则高h＝r，母线l＝r.

由V圆锥＝πr2·h＝πr3＝π，

得r＝，母线l＝.

故S圆锥侧＝πrl＝×π＝3π.

[巧归纳]　求解简单几何体体积的关键

(1)求解柱体的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高，对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面，将待求的量转化到轴截面内求．

(2)求解锥体体积的关键是明确锥体的底面是什么图形，特别是三棱锥，选取哪个三角形作为底面是解题的关键点．

(3)台体的体积计算既可以利用体积计算公式，也可以转化为两个锥体体积之差求解.

研习3  几何体体积的求法

(一)等积变换法

[典例3]　如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为________．

[自主记]

[答案]　

[解析]　V三棱锥A－DED1＝V三棱锥E－ADD1＝××1×1×1＝.

(二)分割法求体积

[典例4]　如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积．

[自主记]

[解]　如图，连接EB，EC，AC．

四棱锥E－ABCD的体积V四棱锥E－ABCD＝×42×3＝16.

∵AB＝2EF，EF∥AB，

∴S△EAB＝2S△BEF.

∴V三棱锥F－EBC＝V三棱锥C－EFB

＝V三棱锥C－ABE＝V三棱锥E－ABC

＝×V四棱锥E－ABCD＝4.

∴所求多面体的体积V＝V四棱锥E－ABCD＋V三棱锥F－EBC＝16＋4＝20.

(三)补形法求体积

[典例5]　已知四面体ABCD中，AB＝CD＝，BC＝AD＝2，BD＝AC＝5，求四面体ABCD的体积．

[自主记]

[解]　以四面体的各棱为面对角线还原为长方体，如图．

设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，

则解得

∴VD－ABE＝DE·S△ABE＝V长方体，

同理，VC－ABF＝VD－ACG＝VD－BCH＝V长方体，

∴V四面体ABCD＝V长方体－4×V长方体

＝V长方体＝×2×3×4＝8.

[巧归纳]　1.三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当作底面来处理，这一方法叫做体积转移法(或称等积法)．

2.当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，这时可通过分割或补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积.

1.若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)

A．1∶2   B．1∶

C．1∶   D．∶2

答案：C　

解析：设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，

∴其母线长l＝r.

∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2.则S底∶S侧＝1∶.

2.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　)

A．7   B．6 

C．5   D．3

答案：A　

解析：设圆台较小底面的半径为r，则另一底面半径为3r.由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.

3.如图，三棱柱ABC－A′B′C′的体积为1，则四棱锥C－AA′B′B的体积是(　　)

A．   B． 

C．   D．

答案：C　

解析：∵VC－A′B′C′＝V棱柱＝，

∴VC－AA′B′B＝1－＝.

4.正方体的表面积为96，则该正方体的体积为(　　)

A．48   B．64

C．16   D．96

答案：B　

解析：设正方体的棱长为a，则6a2＝96，

∴a＝4，故V＝a3＝43＝64.

5.用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，则所需纸的最小面积是________．

答案：8　

解析：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2，其面积为8.

①　　　　　　　　②

[方法技巧]　函数思想在求几何体面积及体积最值中的应用

在解决空间几何体的面积和体积最值问题时，通常利用表面积公式和体积公式建立关于某一变量的函数关系式，利用函数求最值的方法解决.

[示例]　在底面半径为R，高为h的圆锥内有一内接圆柱，求内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高，并求此时侧面积的最大值．

[思路点拨]　作出其轴截面图，如图所示，求出圆柱的侧面积关于高x的函数，然后求函数的最值.

[解析]　如图，

设圆柱的高为x，

其底面半径为r，则＝，

∴ r＝.

∴圆柱的侧面积

S侧＝2πrx＝·x(h－x)

＝－(x2－hx)

＝－

＝－2＋.

当x＝时，S侧最大值＝.

即内接圆柱的侧面积最大时圆柱的高为，

此时侧面积的最大值为πRh.

[题后反思]　1.旋转体常通过轴截面、侧面展开来解决问题．

2.几何体的面积(或体积)最值问题经常利用函数思想求解，而几何体表面积及截面长度最小值问题常转化为平面问题利用几何性质加以解决.