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    北师大版高中数学必修第二册6-4-1直线与平面平行学案
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    高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行学案

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    这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行学案,共9页。

    5.4 平行关系

    5.4.1 直线与平面平行

    新课程标准

    学业水平要求

    1.借助生活中的实物之间的位置关系,理解空间中直线与平面平行的位置关系.

    2.掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面平行的位置关系.

    1.理解并掌握直线与平面平行的性质定理及应用.(直观想象、逻辑推理)

    2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理,能利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行问题.(数学抽象、逻辑推理)

    3.能用图形、文字、符号三种语言描述直线与平面平行的性质定理、判定定理,理解其地位与作用.(直观想象、逻辑推理)

     

    课前篇·自主学习预案

    1.直线与平面平行的性质定理

    文字叙述:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与________平行.

    符号表示:lαlβαβala.

    图形表示:

    2.直线与平面平行的判定定理

    文字叙述:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线________,那么该直线与此平面平行.

    符号表示:lαaα,且lalα.

    图形表示:

    作用:证明直线与平面平行.

    答案:1.交线 2.平行

    课堂篇·研习讨论导案

    研习1  直线与平面平行性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)

    [典例1] 1.ABBCCD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是(  )

    A.平行    B.相交

    C.平行或相交    DAC在此平面内

    2.已知两条相交直线aba平面α,则bα的位置关系是(  )

    Abα    Bbα相交

    Cbα    Dbαbα相交

    3.如图所示,已知异面直线ABCD都平行于平面α,且ABCDα的两侧,若ACBD分别与α相交于MN两点,求证:.

    [自主记]

    1.[答案] A

    2.[答案] D

    3.[] 如图所示,连接AD,交平面α于点P,连接PMPN.

    因为CDα,平面ACDαPM

    所以CDPM,所以在ACD中有.

    同理,在DAB中,有,所以.

    [巧归纳] 如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行,那么在解决问题的过程中,一定会用到线面平行的性质定理.在应用性质定理时,关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线与已知直线平行.

    研习2  直线与平面平行的判定(直观想象、逻辑推理)

    [典例2] 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,EFG分别是BCCC1BB1的中点,求证:EF平面AD1G.

    四步

    内容

    理解

    题意

    条件:在正方体ABCDA1B1C1D1中,EFG分别是BCCC1BB1的中点.

    结论:EF平面AD1G.

    思路

    探求

    证明直线和平面平行,必须在平面内找到一条直线和此直线平行,关键找平行线.

    书写

    表达

    连接BC1,则由EF分别是BCCC1的中点,知EFBC1.

    ABA1B1D1C1,且ABA1B1D1C1

    所以四边形ABC1D1是平行四边形,

    所以BC1AD1,所以EFAD1.

    EF平面AD1GAD1平面AD1G

    所以EF平面AD1G.

    注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性,证明线面平行,条件一定要写全,不能有遗漏.

    题后

    反思

    证明线面平行的关键是找到线线平行.

    [巧归纳] 应用判定定理证明线面平行的步骤

    上面的第一步是证题的关键,其常用方法有:

    空间直线平行关系的传递性法;

    三角形中位线法;

    平行四边形法;

    线段成比例法.

    提醒:线面平行判定定理应用的误区

    (1)条件罗列不全,最易忘记的条件是直线在平面外

    (2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.

    [练习1] 在空间四边形ABCD中,EFGH分别是ABBCCDDA上的点,EHFG.求证:EHBD.

    证明:因为EHFGFG平面BCDEH平面BCD,所以EH平面BCD.因为EH平面ABD,平面ABD平面BCDBD,所以EHBD.

    研习3  线面平行性质定理与判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)

    角度1 利用线面平行的性质定理和判定定理证明平行关系

    [典例3] 求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.

    [自主记]

    [证明]

    已知直线al,平面αβ满足αβlaαaβ,求证:al.

    证明如下:如图所示,过a作平面γ交平面αb,因为aα,所以ab.

    同样过a作平面δ交平面βc,因为aβ,所以ac,则bc.

    又因为bβcβ,所以bβ.

    又因为bααβl,所以bl.

    又因为ab,所以al.

    [变式探究]

    过正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1EE1.求证:BB1EE1.

    证明:如图所示,

    因为CC1BB1CC1平面BEE1B1BB1平面BEE1B1

    所以CC1平面BEE1B1.

    又因为平面CEE1C1CC1且交平面BEE1B1EE1

    所以CC1EE1.由于CC1BB1,所以BB1EE1.

    角度2 由平行关系进行相关的计算

    [典例4] 如图所示,ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体,MN分别是下底面的棱A1B1B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP,过PMN的平面交上底面于PQQCD上,求PQ的长.

    [自主记]

    [] 因为MN平面AC,平面PMN平面ACPQMN平面PMN.

    所以MNPQ,易知DPDQ

    PQDPa.

    [巧归纳] 利用线面平行的判定和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化.

    [练习2] 1.正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1EAB的中点,点FBC上,则BF等于多少时,EF平面A1C1D(  )

    A1       B 

    C   D

    答案:B

    2.三棱锥SABC中,GABC的重心,E在棱SA上,且AE2ES,则EG与平面SBC的位置关系是________

    答案:平行 

    解析:如图,取BC中点F,连接SF.

    因为GABC的重心,

    所以AGF共线且AG2GF.

    又因为AE2ES,所以EGSF.

    SF平面SBCEG平面SBC,所以EG平面SBC

    3.如图所示,在空间四边形ABCD中,ACBD为其对角线,EFGH分别为ACBCBDAD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB平面EFGH.

    证明:因为四边形EFGH为平行四边形,

    所以EFGH.

    因为GH平面ABDEF平面ABD

    所以EF平面ABD.

    因为EF平面ABC,平面ABC平面ABDAB,所以EFAB

    又因为AB平面EFGHEF平面EFGH

    所以AB平面EFGH.

    达标篇·课堂速测演习

    1.如果直线a平面α,那么直线a与平面α内的(  )

    A.唯一一条直线不相交

    B.仅两条相交直线不相交

    C.仅一组平行直线不相交

    D.任意一条直线都不相交

    答案:D 

    2.若直线l平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为abc,那么这些交线的位置关系为(  )

    A.都平行

    B.都相交且一定交于同一点

    C.都相交但不一定交于同一点

    D.都平行或交于同一点

    答案:A 

    3.(教材二次开发:习题改编)已知mn为两条不同的直线,αβ为两个不同的平面,则下列结论中正确的是(  )

    Amαmnnα

    Bmαnαmn

    Cmαmβαβnmn

    D.mαnαmn

    答案:C

    4.梯形ABCD中,ABCDAB平面αCD平面α,则直线CD与平面α的位置关系是________

    答案:CDα 

    解析:因为ABCDAB平面αCD平面α

    由线面平行的判定定理可得CDα.

    5.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,DBC的中点,连接ADDC1A1BAC1,求证:A1B平面ADC1.

    证明:如图,连接A1C

    A1CAC1O,连接OD.

    由题意知,A1ACC1是平行四边形,所以OA1C的中点,又DCB的中点,

    因此ODA1CB的中位线,即ODA1B

    A1B平面ADC1OD平面ADC1

    所以A1B平面ADC1.

     

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