高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.1 直线与平面平行学案
展开5.4 平行关系
5.4.1 直线与平面平行
新课程标准 | 学业水平要求 |
1.借助生活中的实物之间的位置关系,理解空间中直线与平面平行的位置关系. 2.掌握用几何图形、数学符号表示空间直线与平面平行的位置关系. | 1.理解并掌握直线与平面平行的性质定理及应用.(直观想象、逻辑推理) 2.理解并掌握直线与平面平行的判定定理,能利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行问题.(数学抽象、逻辑推理) 3.能用图形、文字、符号三种语言描述直线与平面平行的性质定理、判定定理,理解其地位与作用.(直观想象、逻辑推理) |
课前篇·自主学习预案 |
1.直线与平面平行的性质定理
文字叙述:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与________平行.
符号表示:l∥α,l⊂β,α∩β=a⇒l∥a.
图形表示:
2.直线与平面平行的判定定理
文字叙述:如果平面外一条直线与此平面内的一条直线________,那么该直线与此平面平行.
符号表示:l⊄α,a⊂α,且l∥a⇒l∥α.
图形表示:
作用:证明直线与平面平行.
答案:1.交线 2.平行
课堂篇·研习讨论导案 |
研习1 直线与平面平行性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)
[典例1] 1.设AB,BC,CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们的中点的平面和直线AC的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.AC在此平面内
2.已知两条相交直线a,b,a∥平面α,则b与α的位置关系是( )
A.b∥α B.b与α相交
C.b⊂α D.b∥α或b与α相交
3.如图所示,已知异面直线AB,CD都平行于平面α,且AB,CD在α的两侧,若AC,BD分别与α相交于M,N两点,求证:=.
[自主记]
1.[答案] A
2.[答案] D
3.[解] 如图所示,连接AD,交平面α于点P,连接PM,PN.
因为CD∥α,平面ACD∩α=PM,
所以CD∥PM,所以在△ACD中有=.
同理,在△DAB中,有=,所以=.
[巧归纳] 如果已知条件中给出线面平行或隐含线面平行,那么在解决问题的过程中,一定会用到线面平行的性质定理.在应用性质定理时,关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交,所得交线与已知直线平行.
研习2 直线与平面平行的判定(直观想象、逻辑推理)
[典例2] 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点,求证:EF∥平面AD1G.
四步 | 内容 |
理解 题意 | 条件:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是BC,CC1,BB1的中点. 结论:EF∥平面AD1G. |
思路 探求 | 证明直线和平面平行,必须在平面内找到一条直线和此直线平行,关键找平行线. |
书写 表达 | 连接BC1,则由E,F分别是BC,CC1的中点,知EF∥BC1. 又AB∥A1B1∥D1C1,且AB=A1B1=D1C1, 所以四边形ABC1D1是平行四边形, 所以BC1∥AD1,所以EF∥AD1. 又EF⊄平面AD1G,AD1⊂平面AD1G, 所以EF∥平面AD1G. 注意书写的规范性:在立体几何中的证明问题,需要特别注意符号语言的规范性,证明线面平行,条件一定要写全,不能有遗漏. |
题后 反思 | 证明线面平行的关键是找到线线平行. |
[巧归纳] 应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键,其常用方法有:
①空间直线平行关系的传递性法;
②三角形中位线法;
③平行四边形法;
④线段成比例法.
提醒:线面平行判定定理应用的误区
(1)条件罗列不全,最易忘记的条件是“直线在平面外”.
(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线.
[练习1] 在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,EH∥FG.求证:EH∥BD.
证明:因为EH∥FG,FG⊂平面BCD,EH⊄平面BCD,所以EH∥平面BCD.因为EH⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD.
研习3 线面平行性质定理与判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)
角度1 利用线面平行的性质定理和判定定理证明平行关系
[典例3] 求证:如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.
[自主记]
[证明]
已知直线a,l,平面α,β满足α∩β=l,a∥α,a∥β,求证:a∥l.
证明如下:如图所示,过a作平面γ交平面α于b,因为a∥α,所以a∥b.
同样过a作平面δ交平面β于c,因为a∥β,所以a∥c,则b∥c.
又因为b⊄β,c⊂β,所以b∥β.
又因为b⊂α,α∩β=l,所以b∥l.
又因为a∥b,所以a∥l.
[变式探究]
过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证:BB1∥EE1.
证明:如图所示,
因为CC1∥BB1,CC1⊄平面BEE1B1,BB1⊂平面BEE1B1,
所以CC1∥平面BEE1B1.
又因为平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1,
所以CC1∥EE1.由于CC1∥BB1,所以BB1∥EE1.
角度2 由平行关系进行相关的计算
[典例4] 如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,求PQ的长.
[自主记]
[解] 因为MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC=PQ,MN⊂平面PMN.
所以MN∥PQ,易知DP=DQ=,
故PQ==DP=a.
[巧归纳] 利用线面平行的判定和性质定理,可以完成线线平行与线面平行的相互转化.
[练习2] 1.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是AB的中点,点F在BC上,则BF等于多少时,EF∥平面A1C1D( )
A.1 B.
C. D.
答案:B
2.三棱锥S-ABC中,G为△ABC的重心,E在棱SA上,且AE=2ES,则EG与平面SBC的位置关系是________.
答案:平行
解析:如图,取BC中点F,连接SF.
因为G为△ABC的重心,
所以A,G,F共线且AG=2GF.
又因为AE=2ES,所以EG∥SF.
又SF⊂平面SBC,EG⊄平面SBC,所以EG∥平面SBC.
3.如图所示,在空间四边形ABCD中,AC,BD为其对角线,E,F,G,H分别为AC,BC,BD,AD上的点,若四边形EFGH为平行四边形,求证:AB∥平面EFGH.
证明:因为四边形EFGH为平行四边形,
所以EF∥GH.
因为GH⊂平面ABD,EF⊄平面ABD,
所以EF∥平面ABD.
因为EF⊂平面ABC,平面ABC∩平面ABD=AB,所以EF∥AB.
又因为AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,
所以AB∥平面EFGH.
达标篇·课堂速测演习 |
1.如果直线a∥平面α,那么直线a与平面α内的( )
A.唯一一条直线不相交
B.仅两条相交直线不相交
C.仅一组平行直线不相交
D.任意一条直线都不相交
答案:D
2.若直线l∥平面α,则过l作一组平面与α相交,记所得的交线分别为a,b,c,…,那么这些交线的位置关系为( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
答案:A
3.(教材二次开发:习题改编)已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论中正确的是( )
A.m∥α,m∥n⇒n∥α
B.m∥α,n∥α⇒m∥n
C.m∥α,m⊂β,α∩β=n⇒m∥n
D.m∥α,n⊂α⇒m∥n
答案:C
4.梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α的位置关系是________.
答案:CD∥α
解析:因为AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,
由线面平行的判定定理可得CD∥α.
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,连接AD,DC1,A1B,AC1,求证:A1B∥平面ADC1.
证明:如图,连接A1C,
设A1C∩AC1=O,连接OD.
由题意知,A1ACC1是平行四边形,所以O是A1C的中点,又D是CB的中点,
因此OD是△A1CB的中位线,即OD∥A1B.
又A1B⊄平面ADC1,OD⊂平面ADC1,
所以A1B∥平面ADC1.
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