北师大版高中数学必修第二册6-4-2平面与平面平行学案

5.4.2　平面与平面平行新课程标准学业水平要求1.借助生活中的实物之间的位置关系，理解空间中平面与平面平行的位置关系．2．掌握用几何图形、数学符号表示空间平面与平面平行的位置关系.1.理解并掌握平面与平面平行的性质定理及应用．(直观想象、逻辑推理)2．理解并掌握平面与平面平行的判定定理，明确定理中“相交”两字的重要性，能利用平面与平面平行的判定定理证明面面平行问题．(数学抽象、逻辑推理)3．能用图形、文字、符号三种语言描述平面与平面平行的性质定理、判定定理，理解其地位与作用．(直观想象、逻辑推理) 课前篇·自主学习预案1.平面与平面平行的性质定理文字叙述：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面________，那么两条交线平行．符号表示：α∥β，α∩γ＝α，β∩γ＝b⇒a∥b.图形表示：作用：证明两直线平行．2.平面与平面平行的判定定理文字叙述：如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，α∥β，b∥β⇒α∥β.图形表示：作用：证明平面与平面平行．答案：1.相交2.相交直线课堂篇·研习讨论导案研习1  平面与平面平行性质定理的应用(直观想象、逻辑推理)　　　　　　　　　　　　　　　　　　[典例1]　1.已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是(　　)A．平行    B．相交C．异面    D．不确定2.已知平面α∥β，直线a⊂α，有下列命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直．其中真命题的序号是________．3.如图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．[自主记]1.[答案]　A　2.[答案]　②3.[解]　(1)因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ.则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，所以＝，所以＝，所以CD＝.所以PD＝PC＋CD＝.[巧归纳]　常用的面面平行的性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；(2)平行于同一个平面的两个平面平行；(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的线段长成比例；(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.研习3  平面与平面平行的判定(逻辑推理)[典例2]　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.四步内容理解题意条件：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点．结论：平面MNP∥平面A1BD.思路探求证明平面和平面平行，必须在平面内找到两条相交直线和此平面平行，要证两次线面平行，关键还是找平行线．书写表达【证明】如图所示，连接B1D1，B1C．因为P，N分别是D1C1，B1C1的中点，所以PN∥B1D1.又B1D1∥BD，所以PN∥BD.又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以PN∥平面A1BD.同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，所以平面MNP∥平面A1BD.注意书写的规范性：在立体几何的证明问题中，需要特别注意符号语言的规范性，证明面面平行，条件一定要写全，不能有遗漏，特别是相交这个条件．题后反思证明面面平行的关键是找到线线平行，还有注意“相交”.[巧归纳]　判定平面与平面平行的常用方法(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.[练习1]　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，所以平面DEF∥平面ABC．又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.研习3  面面平行的性质定理与判定定理的综合应用(直观想象、逻辑推理)角度1　利用面面平行的性质定理和判定定理证明平行关系[典例3]　如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A和D，C，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.[自主记][证明]　如图，过A作AE∥CD交平面α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC．因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC．则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC．因为α∥β，所以AC∥DE.又因为P，N分别为AE，CD的中点，所以PN∥DE.因为PN⊄平面α，DE⊂平面α，所以PN∥平面α.又因为M，P分别为AB，AE的中点，所以MP∥BE.又因为MP⊄平面α，BE⊂平面α，所以MP∥α.因为MP，PN⊂平面MPN，且MP∩PN＝P，所以平面MPN∥平面α.又因为MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.[变式探究]如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.解：(1)如图所示．连接AC，CD1，因为P，Q分别是AD1，AC的中点，所以PQ∥CD1.又因为PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a.(3)取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，B1D1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，因为FE1∩E1E＝E1，所以平面EE1F∥平面BB1D1D.又因为EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.角度2　线线平行与面面平行的综合问题[典例4]　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？[自主记][解]　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.连接PQ，因为Q为CC1的中点，P为D1D的中点，所以PQ∥DC．又DC∥AB，所以PQ∥AB且PQ＝AB，所以四边形ABQP为平行四边形，所以QB∥PA．又PA⊂平面PAO，QB⊄平面PAO，所以BQ∥平面PAO.连接BD，则O∈BD，又O为DB的中点，P为D1D的中点，所以PO∥D1B．PO⊂平面PAO，D1B⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO.又D1B∩BQ＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.[巧归纳]　1.面面平行的性质：两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，符号表示为α∥β，a⊂α⇒a∥β.这是证明线面平行的另一种方法．2.利用线面平行和面面平行的判定和性质定理，可以完成线线平行、线面平行和面面平行的相互转化.[练习2]　1.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．答案：　解析：由EF∥平面AB1C可知，EF∥AC，所以EF＝AC＝×＝×2＝.2.平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD相交于P，已知AP＝8，BP＝9，CD＝34，则CP＝________.答案：16或272　解析：当AB与CD交点P位于α，β之间时，如图．由题意知AC∥BD，＝＝.又CP＋PD＝CD＝34.所以CP＝16.当交点位于BA延长线上时，AC∥BD.所以＝＝，＝，CP＝272.3.如图，已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH.证明：如图，连接AC交BD于O，连接MO.因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点．又因为M是PC的中点，所以AP∥OM.因为OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，所以PA∥平面BMD.因为平面PAHG∩平面BMD＝GH.PA⊂平面PAHG，所以PA∥GH.达标篇·课堂速测演习1.能够判断两个平面α，β平行的条件是(　　)A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行B．夹在两个平面间的线段相等C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点D.平面α内的所有的点到平面β的距离都相等答案：D　2.(教材二次开发：习题改编)给出下列命题：①m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β　②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n　③α∥β，l⊂α⇒l∥β　④α内的任一直线都平行于β⇒α∥β其中正确的命题是(　　)A．①③    B．②④C．③④    D．②③答案：C3.六棱柱的两底面为α，β，且A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，AD∥BC，则AB与CD的位置关系是________．答案：平行　解析：因为AD∥BC，且平面ABCD∩α＝AB，平面ABCD∩β＝CD，又α∥β，所以AB∥CD.4.如图所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．证明：因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD.所以BC∥平面PAD.又因为BC⊂平面BCFE，平面BCFE∩平面PAD＝EF.所以BC∥EF.又因为EF≠BC．所以四边形BCFE是梯形．[方法技巧]　平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.[示例]　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是BC，CC1，C1D1，A1A的中点．求证：(1)BF∥HD1；(2)EG∥平面BB1D1D；(3)平面BDF∥平面B1D1H.[证明]　(1)如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，∴HD1∥MC1.又∵MC1∥BF，∴BF∥HD1.(2)取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE綊DC，又D1G綊DC，∴OE綊D1G，∴四边形OEGD1是平行四边形，∴GE∥D1O.又D1O⊂平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.(3)由(1)知D1H∥BF，又BD∥B1D1，B1D1，HD1⊂平面HB1D1，BF，BD⊂平面BDF，且B1D1∩HD1＝D1，DB∩BF＝B，∴平面BDF∥平面B1D1H.[题后反思]　1.在平面和平面平行的判定定理中，“两条相交直线”中的“相交”两个字不能忽略，否则结论不一定成立．2.若由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线，有时候第三个平面需要作出来．