高中北师大版 (2019)5.1 直线与平面垂直教课ppt课件

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5.1　直线与平面垂直
(1)文字叙述：如果直线l与平面α内的______一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足．(2)符号表示：任意a⊂α，都有l⊥a⇒l⊥α.(3)图形表示：
思考1：过一点有几条直线和平面垂直呢？提示：有且只有一条．
(1)文字叙述：垂直于同一个平面的两条直线______.(2)符号表示：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)图形表示：
直线与平面垂直的性质定理
思考2：两条异面直线能垂直于同一个平面吗？提示：不能，由线面垂直的性质定理可得．
如果一条直线与平面平行，那么这条直线上________到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离．
(1)定义：一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点A称为斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影．平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角．
如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是90°.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°.思考3：直线与平面所成的角范围是多少？提示：直线与平面所成的角θ的范围：0°≤θ≤90°.
(1)文字叙述：如果一条直线与一个平面内的_____________垂直，那么该直线与此平面垂直．(2)图形表示：
直线与平面垂直的判定定理
(3)符号表示：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α.思考4：过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直？提示：有且仅有一条．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．(　　)(2)若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线．(　　)(3)若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线．(　　)(4)到已知平面距离相等的两条直线平行．(　　)(5)斜线与平面所成的角为锐角．(　　)
[解析]　(2)因为梯形的两条腰所在的直线相交．(3)梯形的上下底边平行，所以直线和平面不一定垂直．(4)这两条直线可能平行、相交或异面．
2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC[解析]　由于OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，所以OA⊥平面OBC．
3．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(　　)A．(0°，90°)　　B．[0°，90°]C．(0°，90°]D．[0°，180°][解析]　由线面角的定义知B正确．4．设α表示平面，a，b表示直线．①a⊥α，a∥b⇒b⊥α；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a⊥α，b⊥α⇒a∥b.上述说法中正确的序号是______.[解析]　①正确；②中b与α可能平行，也可能在α内，故不正确；③易知正确．
5．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E、F分别是棱AB，BC的中点，O是AC、BD的交点，如图所示，则EF与平面BB1O的关系是______.
[解析]　EF与平面BB1O的关系，即EF与平面BB1D1D的关系．由已知可得EF⊥BD，EF⊥BB1，即可得EF⊥平面BB1D1D．
(1)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m
(3)下列命题中，正确的序号是______.①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条．
[解析]　(1)根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确．(2)A中n，α可能平行或n在平面α内；BC正确；D两直线m，n平行或异面．(3)当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确，故填④⑤.
[归纳提升]　直线与平面垂直定义的“双向”作用(1)证明线面垂直若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直⇒线面垂直．(2)证明线线垂直若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直⇒线线垂直．
【对点练习】❶　(1)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直的序号有(　　)A．①③　　　B．①②　　　C．②④　　　D．①④
(2)下列说法正确的有_____(填序号)．①垂直于同一条直线的两条直线平行；②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直．
[解析]　(1)三角形的两边，圆的两条直径一定是相交直线，而梯形的两边，正六边形的两条边不一定相交，所以保证直线与平面垂直的是①③.(2)因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确．由线面垂直的定义可得，②正确．因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确．如图，l与α不垂直，但a⊂α，l⊥a，故④不正确．
如图所示，ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G., 求证：AE⊥SB．
[证明]　因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC．因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.因为SC⊥平面AGEF，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC．而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB．
[归纳提升]　线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直，一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面，为此分析题设，观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面．(2)证明直线和平面垂直，就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线，这一点在解题时一定要体现出来．
【对点练习】❷　本例中“过A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G”改为“过A作AF⊥SC于点F，过点F作EF⊥SC交SB于点E”，结论不变，如何证明？[证明]　因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC．因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC．因为SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.又因为AF⊥SC于点F，EF⊥SC交SB于点E，所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.又因为BC∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC．而SB⊂平面SBC，所以AE⊥SB．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角．
[分析]　(1)求线面角的关键是找出直线在平面内的射影，为此须找出过直线上一点的平面的垂线．(2)过A1作平面BDD1B1的垂线，该垂线必与B1D1、BB1垂直，由正方体的特性知，直线A1C1满足要求．
[归纳提升]　求线面角的方法：(1)求直线和平面所成角的步骤：①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．(2)求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
【对点练习】❸　如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
[错因分析]　解答本题时只考虑A，B在平面同一侧的情况，没有考虑A，B在平面两侧的情况而出现漏解．
1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)A．平行　 　B．相交　 　C．异面　 　D．垂直[解析]　∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又∵m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．
2．已知l，m，n是三条不同的直线，α是一平面．下列命题中正确的个数为(　　)①若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n；③若l∥α，l⊥m，则m⊥α.A．1B．2C．3D．0[解析]　对于①，因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正确；对于②，因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正确；对于③，因为l∥α，l⊥m，所以m∥α或m⊂α或m⊥α或m与α斜交，即③错误．
3．a，b是异面直线，直线l⊥a，l⊥b，直线m⊥a，m⊥b，则l与m的位置关系是______.[解析]　由线面垂直的性质定理可得．
4．若构成教室墙角的三个墙面记为α，β，γ，交线记为BA，BC，BD，教室内一点P到三墙面α，β，γ的距离分别为3 m，4 m，1 m，则P与墙角B的距离为_____m.
5.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC．
[解析]　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因为SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．