北师大版高中数学必修第二册1-3弧度制学案
展开1.3 弧度制
新课程标准 | 学业水平要求 |
1.了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能够熟练地在角度制和弧度制之间进行换算. | 1.能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数．(数学抽象) 2．会用弧度解决一些实际问题(弧长公式和面积公式的应用)．(数学运算) |
课前篇·自主学习预案
1.弧度制
(1)角度制与弧度制的定义
角度制 | 用________作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定1度的角等于周角的 |
弧度制 | 在单位圆中，把长度等于________的弧所对的________叫作1弧度的角，用符号________表示，读作________．以________作为单位来度量角的方法，叫作弧度制 |
(2)角的弧度数的计算
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么|α|＝.
2.角度制与弧度制的换算
(1)常见角度与弧度互化公式如下：
角度化弧度 | 弧度化角度 |
360°＝2π rad | 2π rad＝360° |
180°＝π rad | π rad＝180° |
续表
角度化弧度 | 弧度化角度 |
1°＝ rad≈0.017 45 rad | 1 rad＝°≈57.30° |
(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：
3.扇形的弧长及面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
度量单位类别 | α为角度制 | A为弧度制 |
扇形的弧长 | l＝ | l＝________________ |
扇形的面积 | S＝ | S＝l·R＝|α|·R2 |
答案：1.(1)度 1 圆心角 rad 弧度 弧度
3.|α|·R
课堂篇·研习讨论导案
研习1 角度制和弧度制的概念及其转换
[典例1] (1)下列命题中，正确的命题是________．
①1°的角是周角的，1 rad的角是周角的；
②1 rad的角等于1度的角；
③180°的角一定等于π rad的角；
④“度”和“弧度”是度量角的两种单位．
(2)①把－157°30′化成弧度；
②把π化成度．
[自主记]
(1)[思路思拨] 从两种度量制的定义上，把握解题角度，从弧度制和角度制的定义出发解题．
[答案] ①③④
[解析] 对于④，“度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，故④正确；对于①，因为1°＝，1＝，所以①正确；对于③，由弧度制规定知π rad＝180°，故③正确.
(2)[解] ①－157°30′＝－157.5°，
由于180°＝π，有1°＝ rad，
所以－157.5°＝－157.5×＝－π，
即－157°30′＝－π rad.
②由于π＝180°，有1 rad＝°，
所以π＝π×°＝72°，即π＝72°.
[巧归纳] 1.角度制与弧度制换算的要点
2.角度制与弧度制换算时应注意的三个问题
(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度(rad)”可以省略不写；如果以度(°)为单位表示角的大小时，度(°)不能省略不写．
(2)度化为弧度时，应先将分、秒化为度，再化为弧度．
(3)有些角的弧度数是π的整数倍时，如无特别要求，不必把π化成小数．
[练习1] (1)把112°30′化成弧度；
(2)把－化成度．
解：(1)112°30′＝°＝×＝.
(2)－＝－°＝－75°.
研习2 用弧度数表示角的应用
[典例2] (1)与角终边相同的角是( )
A. B．2kπ－(k∈Z)
C.2kπ－(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)
(2)用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合．(不包括边界，如图)
[自主记]
(1)[答案] C
[解析] 由2kπ－＝2kπ－4π＋＝(2k－4)π＋，
所以角2kπ－(k∈Z)的终边与相同，故选C.
(2)
[分析] 利用终边相同的角将区域用不等式组的形式表示．
区域角的表示
[解] 如题图①，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z)．
∴阴影部分内的角的集合为
.
如题图②，以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z)．不防设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝，
M2＝.
∴阴影部分所表示的集合为
M1∪M2＝2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.
[巧归纳] 1.用弧度数表示象限角
象限角 | 集合表示 |
第一象限 | |
第二象限 | |
第三象限 | |
第四象限 |
2.弧度制下与角α终边相同的角的表示
在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．
3.弧度制下，终边落在坐标轴上的角的集合表示
终边的位置 | 集合表示 |
x轴正半轴 | {α|α＝2kπ，k∈Z} |
x轴负半轴 | {α|α＝2kπ＋π，k∈Z} |
y轴正半轴 | |
y轴负半轴 | |
x轴 | {α|α＝kπ，k∈Z} |
y轴 | |
坐标轴 |
[练习2] 1.将－1 500°表示成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出它是第几象限角．
解：－1 500°＝－1 500×＝－＝－10π＋.
∵是第四象限角，∴－1 500°是第四象限角．
2.用弧度制表示终边落在如图阴影部分的角β的集合．
解：由图知阴影部分所在区域的边界角的集合为
与，
所以所求角β的集合为
.
研习3 扇形弧长与面积公式的应用
[典例3] 已知扇形的圆心角为弧度，半径为2，则扇形的面积是( )
A. B. C．2π D.
[自主记]
[答案] D
[解析] 由l＝r·α＝2×＝，所以扇形的面积S＝lr＝··2＝，故选D.
[巧归纳] 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列式求解是解决此类问题的关键．有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径r的函数，转化为r的二次函数求最值问题．
其步骤为：
(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2(0<α<2π)和S＝lr(这里α必须是弧度制下的角)．
(2)分析题目中的已知量和待求量，灵活选择公式．
(3)根据条件列方程(组)求解.
[练习3] 已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S，则l＋2r＝40，
∴l＝40－2r(0<r<20)．
∴S＝lr＝×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.
∴当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，此时θ＝＝＝2(rad)．
达标篇·课堂速测演习
1.化为α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A.＝＋5π B.＝＋4π
C.＝－＋6π D.＝＋3π
答案：B
解析：＝π＝π＋4π.
2.扇形的半径变为原来的2倍，弧长也增加到原来的2倍，则 ( )
A.扇形的面积不变
B.扇形的圆心角不变
C.扇形的面积增大到原来的2倍
D.扇形的圆心角增大到原来的2倍
答案：B
解析：α＝＝＝α，故圆心角不变.
3.如图所示，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝，则劣弧的长为________．
答案：
解析：连接AO，OB，
因为∠ACB＝，
所以∠AOB＝.
又OA＝OB，所以△AOB为等边三角形，
故圆O的半径r＝AB＝4，劣弧的长为×4＝.
4.扇形AOB的周长为10 cm，
(1)若这个扇形的面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数；
(2)求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长．
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S.
(1)依题意有
由①，得l＝10－2r，代入②，得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.
当r＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad，舍去；
当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝＝(rad)．
(2)由l＋2r＝10，得l＝10－2r，
S＝lr＝(10－2r)·r＝5r－r2
＝－2＋(0<r<5)．
当r＝时，S取得最大值，这时l＝10－2×＝5，
∴θ＝＝＝2(rad)．
[误区警示] 角的度量单位不统一及角的大小
不清楚致误 [示例] 用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．
[错解] (1)330°＋2kπ<θ<75°＋2kπ(k∈Z)，
(2)225°＋2kπ<θ<135°＋2kπ(k∈Z)．
[错因分析] 在用角度或弧度表示角时，不要混用；此外，对于区域角，要注意旋转方向，并注意把结果写成集合的形式.
[正解] (1)∵330°的终边也可看作－30°的终边，
∴－30°＝－，75°＝，
∴.
(2)∵225°的终边也可看作－135°的终边，
∴－135°＝－，135°＝，
∴.
[点评] 一定要使用统一的角的度量单位，另外要弄清角的大小，不要出现矛盾不等式.
