高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.3 诱导公式与对称学案

1.4.3　诱导公式与对称

1.4.4　诱导公式与旋转

课前篇·自主学习预案

1.诱导公式(－α，π±α)的推导

在直角坐标系中

α与－α角的终边关于________对称；

α与π＋α的终边关于________对称；

α与π－α的终边关于________对称．

2.诱导公式的推导

①－α的终边与α的终边关于直线________对称．

②公式

用－α代替α并用前面公式

答案：1.x轴　原点　y轴

2.①y＝x

课堂篇·研习讨论导案

研习1　运用诱导公式解决正弦函数、余弦函数的求值问题　　　　　　　　　　　　　　　　　

[典例1]　求下列各三角函数的值：

(1)sin(－1 665°)；(2)cos.

解题探究

1.sin(－α)与sin α有什么关系？

2.cos(－α)与cos α有什么关系？

[自主记]

[分析]　用诱导公式化角：大化小，负化正，最终化为锐角的三角函数并求值．

[解]　(1)解法一：sin(－1 665°)＝－sin 1 665°

＝－sin(225°＋4×360°)

＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)

＝sin 45°＝.

解法二：sin(－1 665°)＝sin(135°－5×360°)

＝sin 135°＝sin(180°－45°)

＝sin 45°＝.

(2)解法一：cos＝cos

＝cos＝cos＝cos

＝－cos＝－.

解法二：cos＝cos

＝cos＝cos＝－cos

＝－.

解题探究：1.sin(－α)＝－sin α.

2.cos(－α)＝cos α.

[巧归纳]　应用诱导公式把任意角化为[0,2π)内的角的步骤

(1)利用诱导公式(1.9)，先把负角化为正角．

(2)利用诱导公式(1.8)，把大于或等于2π的角转化为[0,2π)内的角.

[练习1]　求下列各三角函数的值：

(1)cos(－1 560°)；

(2)sin；

(3)cos；

(4)sin 840°.

解：(1)原式＝cos 1 560°＝cos(360°×4＋120°)

＝cos 120°＝cos(90°＋30°)

＝－sin 30°＝－.

(2)原式＝－sin＝－sin

＝sin＝1.

(3)原式＝cos ＝cos＝cos＝－.

(4)解法一：sin 840°＝sin(720°＋120°)＝sin 120°

＝sin(30°＋90°)＝cos 30°＝.

解法二：sin 840°＝sin(720°＋120°)

＝sin 120°＝sin(180°－60°)＝sin 60°＝.

研习2运用诱导公式解决正弦、余弦函数式的化简与证明

[典例2]　已知sin(α－π)＝2cos(2π－α)，

求证：＝－.

[自主记]

[分析]　用诱导公式化简已知条件后，再找关系．

[证明]　∵sin(α－π)＝2cos(2π－α)，

∴－sin α＝2cos α，∴sin α＝－2cos α.

左边＝

＝

＝＝－＝右边．

∴原式得证．

[巧归纳]　三角恒等式的证明问题

三角恒等式的证明实质是弄清楚等式两边的差异，有目的地化简．

(1)证明三角恒等式的基本原则：由繁到简．

(2)常用方法：从左向右证；从右向左证；左、右两边同时证．

(3)常用技巧：整体代换、“1”的代换等.

[练习2]　化简：cos＋cos(n∈Z)．

解：原式＝cos＋cos.

(1)当n为奇数时，即n＝2k＋1(k∈Z)时，

原式＝cos＋cos＝－cos－cos

＝－2cos；

(2)当n为偶数时，即n＝2k(k∈Z)时，

原式＝cos＋cos

＝cos＋cos

＝2cos.

故原式＝

[易错误区]　对诱导公式记忆不准确致误

[典例]　化简：＝________.

[答案]　－

[解析]　原式＝＝＝－.

[误区警示]

[防范措施]

1.公式的记忆

在三角函数这一部分公式比较多，尤其在诱导公式这一部分，所以对公式要记忆准确，如本例中sin(4π－α)＝sin(－α)，cos(－α)＝cos α.

2.口诀的记忆

“函数名不变，符号看象限”是对诱导公式(1.8)、(1.9)的总结，因公式多，记忆有可能有偏差，需要记住公式及其含义，如本例中cos(－α)的化简，若α为锐角，－α在第四象限，第四象限余弦为正，故cos(－α)＝cos α.

[类题试解]　若cos(α－π)＝－，求

的值．

解：原式＝

＝

＝

＝－.

∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－，

∴cos α＝.

∴α为第一象限角或第四象限角．

当α为第一象限角时，cos α＝，

sin α＝＝.

∴＝，∴原式＝－.

当α为第四象限角时，cos α＝，

sin α＝－＝－，

∴＝－，∴原式＝.

综上，原式＝±.

[规律指津]

1.掌握诱导公式要注意两点

(1)公式中的角α可以是任意角．

(2)在使用诱导公式时，一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似kπ±α(k∈Z)的形式时，需要对k的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负．

2.利用诱导公式求三角函数值，“符号看象限”看的应该是诱导公式中，把α看成锐角时原函数值的符号，而不是α函数值的符号，例如sin(2π－α)＝－sin α，当α∈时，易错误地认为sin(2π－α)＝sin α.

3.在利用2kπ＋α(k∈Z)，(2k＋1)π＋α(k∈Z)与α的三角函数关系式时，其中的k为整数，但在解决nπ＋α(n∈Z)时，往往出现将n与2k或2k＋1等同的错误，其实此处要利用诱导公式，就要对n进行奇偶分类，以进一步确定三角函数值的符号．

达标篇·课堂速测演习

1.若对任何k∈Z，都有sin(α＋kπ)＝cos(α＋π＋kπ)，其中0<α<π，则角α的值是(　　)

A.   B.

C.   D．－

答案：C　

解析：∵sin(α＋kπ)＝cos(α＋π＋kπ)

＝cos[π＋(α＋kπ)]＝－cos(α＋kπ)，

当k＝2n，n∈Z时，有

sin(2nπ＋α)＝－cos(2nπ＋α)，

即有sin α＝－cos α，

验证选项知α＝符合．

当k＝2n＋1，n∈Z时，有

sin[(2n＋1)π＋α]＝－cos[(2n＋1)π＋α]，

即sin(π＋α)＝－cos(π＋α)，

即－sin α＝cos α，

验证选项知α＝符合．故应选C.

2.函数y＝－2cos x，x∈的值域为________．

答案：[－2,1]　

解析：由单位圆可知y＝cos x在x＝0处取最大值1，在x＝处取最小值－，即－≤cos x≤1，∴－2≤－2cos x≤1.

3.已知角α的终边上一点P(3a,4a)(a<0)，则cos(540°－α)的值是________．

答案：　

解析：∵x＝3a，y＝4a，且a<0，

∴r＝＝5|a|＝－5a，

∴cos α＝＝－.

∴cos(540°－α)＝cos[360°＋(180°－α)]

＝cos(180°－α)＝－cos α＝.

4.已知＝a，

求证：＝.

证明：∵＝a，

∴sin＝a·cos.

左边＝

＝

＝

＝＝右边．

∴等式成立．