北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化学案设计

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第一章　三角函数1．1　周期变化新课程标准学业水平要求1.了解周期现象．2．初步了解周期函数的概念.1.能判断简单的实际问题中的周期．(逻辑推理)2．能判断简单的函数的周期性．(数学抽象) 课前篇·自主学习预案1.周期现象(1)以相同________重复出现的变化叫作周期现象．(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔相同间隔，这种变化是否会________，若重复出现，则为周期现象；否则不是周期现象．2．周期函数(1)一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意的x∈D，都有________且满足f(x＋T)＝________，那么函数y＝f(x)，x∈D称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．(2)如果在周期函数y＝f(x)，x∈D的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)，x∈D的最小正周期．如果不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期．答案：1.(1)间隔　(2)重复出现2．(1)x＋T∈D　f(x)       课堂篇·研习讨论导案研习1  生活中的周期现象(直观想象)[典例1]　(1)我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号，2016年是猴年，那么1949年是(　　)A．牛年  B．虎年  C．兔年  D．龙年(2)如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期(　　)A．五  B．六  C．日  D．一(3)受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.51.01.5根据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？ [自主记](1)[答案]　A(2)[答案]　C[解]　由题中表可知，潮汐呈周期性变化，所以一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．[巧归纳]　判断生活问题的周期现象的依据是周期变化的特征，即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现，且现象是无差别的重复出现.研习2   周期函数(数学抽象)角度1　利用函数图象判断[典例2]　下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　)[自主记][答案]　D[变式探究]在如图所示的y＝f(x)的图象中，若f(0.005)＝3，则f(0.025)＝________.答案：3　解析：由图象知周期为0.02，所以f(0.025)＝f(0.005＋0.02)＝f(0.005)＝3.角度2　利用周期定义判断[典例3]　已知定义在N上的函数f(n)满足：f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)．(1)求证：f(n)是周期函数，并求出其周期；(2)若f(1)＝1，f(2)＝3，求f(2 012)的值．[自主记][解]　(1)因为f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)，所以f(n＋3)＝f(n＋2)－f(n＋1)＝[f(n＋1)－f(n)]－f(n＋1)＝－f(n)，所以f(n＋6)＝－f(n＋3)＝－[－f(n)]＝f(n)．所以f(n)是周期函数，周期为6.(2)因为f(n)是周期为6的函数，且f(1)＝1，f(2)＝3，所以f(2 012)＝f(335×6＋2)＝f(2)＝3.[巧归纳]　1.观察函数图象判断周期性，关键是观察图象是否是周而复始重复出现．2．用定义法判断周期性，关键是证明对于任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)．[练习1]　1.如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图，经过周期后，甲点和乙点的位置将分别移到________点和________点．答案：丁　戊2．如图是一个单摆振动的函数图象，根据图象，回答下面问题：(1)单摆的振动函数图象是周期变化吗？(2)若是周期变化，其振动的周期是多少？(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？解：(1)观察图象可知，图象从t＝0.8 s开始重复，所以单摆的振动是周期变化；(2)振动的周期为0.8 s；(3)由图象知最高点和最低点偏离t轴的距离相等且等于0.5 cm，所以单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.3．根据周期性的定义，请回答以下问题：(1)函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，这个函数是不是以6为周期的周期函数？(2)函数f(x)＝(－1)[x]是周期函数，且f＝f(0)，为什么不是它的周期？解：(1)不是．因为f(x＋6)＝(x＋6)2＝f(x)不恒成立，所以f(x)不是以6为周期的周期函数；(2)因为当x＝时，f＝(－1)0＝1，f＝f(1)＝(－1)1＝－1，所以f≠f，所以不是它的周期.研习3   周期函数的应用(数学抽象、逻辑推理)[典例4]　已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－1，则f(4.5)的值为(　　)A．2  B．－1  C．－  D．1[自主记][答案]　D[巧归纳]　确定好周期函数中重复出现的“最小正周期”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．[练习2]　已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x＋1)＝－f(x)，若f(1)＝1，则f(10)＝(　　)A．－1  B．0  C．1  D．2答案：A 达标篇·课堂速测演习1．下列是周期现象的为(　　)①某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；②某超市每天的营业额；③某地每年6月份的平均降雨量．A．①③  B．②③  C．①  D．①②答案：C　2．把化成小数，小数点后第20位是(　　)A．1  B．2  C．4  D．8答案：C3．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．答案：红　解析：周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．4．设函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2，则f＝________.答案：　解析：因为f(x)是以2为最小正周期的周期函数，所以f＝f＝f，又因为x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2，所以f＝f＝2＝.5．(教材二次开发：练习改编)已知周期函数y＝f(x)的图象如图所示，(1)求函数的周期；(2)画出函数y＝f(x＋1)的图象．解：(1)T＝2.(2)把y＝f(x)向左平移一个单位长度得y＝f(x＋1)的图象，即如图所示．