1.3弧度制-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】（北师大2019版第二册）

1.3弧度制【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【培优题】

一、单选题

1．已知扇形周长为2，则扇形面积最大时扇形的圆心角为（    ）

A． B．60° C．1 D．2

【答案】D

【分析】

根据扇形的周长列出扇形弧长和半径的关系式，再将扇形面积的表达式转化为关于半径的二次函数形式，由此确定出扇形面积最大时的半径和弧长，则圆心角可求.

【详解】

设扇形的弧长为，面积为，半径为，圆心角为，

根据条件可知：，所以，

所以当时，有最大值，此时，所以，

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：解答本题的关键是熟练掌握扇形的弧长公式和面积公式，同时在利用二次函数分析最值的问题上值得注意.

2．已知在扇形AOB中，，弦AB的长为2，则该扇形的周长为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

由已知条件求出，再求出弧的长，即可求解扇形的周长，得到答案.

【详解】

如图所示，因为，且，所以，即，

由弧长公式，可得弧的长为，

所以扇形的周长为.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中作出图形，求得扇形所在圆的半径，准确利用扇形的弧长公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3．已知扇形AOB的半径为r，弧长为l，且，若扇形AOB的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（    ）

A． B．或2 C．1 D．或1

【答案】D

【分析】

根据弧长公式及扇形的面积公式得到方程组，计算可得.

【详解】

解：由题意得解得或故或.

故选：D

【点睛】

本题考查弧长公式及扇形的面积公式的应用，属于基础题.

4．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积(弦矢+矢).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为，弦长等于的弧田.按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得弧田面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

首先根据图形计算出矢，弦，再带入弧田面积公式即可.

【详解】

如图所示：

因为，，为等边三角形.

所以，矢，弦.

.

故选：C

【点睛】

本题主要考查扇形面积公式，同时考查学生对题意的理解，属于中档题.

5．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以、、为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线（又称莱洛三角形），下列关于曲线的描述中，正确的有（    ）

（1）曲线不是等宽曲线；（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长；

（3）曲线是等宽曲线且宽为弧的长；（4）在曲线和圆的宽相等，则它们的周长相等；

（5）若曲线和圆的宽相等，则它们的面积相等．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】

若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，根据定义逐项判断即可得出结论.

【详解】

若曲线和圆的宽相等，设曲线的宽为，则圆的半径为，

（1）根据定义，可以得曲线是等宽曲线，错误；

（2）曲线是等宽曲线且宽为线段的长，正确；

（3）根据（2）得（3）错误；

（4）曲线的周长为，圆的周长为，故它们的周长相等，正确；

（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为，

正三角形的面积，则一个弓形面积，

则整个区域的面积为，而圆的面积为，不相等，故错误；

综上，正确的有2个，

故选：B.

【点睛】

本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键．

6．中心角为60°的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为 （ ）

A．2 B． C．1 D．

【答案】A

【分析】

利用弧长公式求出扇形半径，设出圆的半径，利用直角三角形的性质列方程求解即可.

【详解】

，，

【点睛】

在解决弧长、面积及弓形面积时要注意合理应用圆心角所在的三角形,弧度制下弧长扇形面积.

7．将分针拨慢分钟，则分钟转过的弧度数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

分析：利用分针转一周为60分钟，转过的角度为，得到10分针是一周的六分之一，进而可得答案．

详解：分针转一周为60分钟，转过的角度为
将分针拨慢是逆时针旋转
∴钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为

故选C．

点睛：本题考查弧度的定义，一周对的角是弧度．考查逆时针旋转得到的角是正角，属于基础题．

8．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积(弦矢矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是（    ）()

A．6平方米 B．9平方米 C．12平方米 D．15平方米

【答案】B

【分析】

根据已知求出矢，弦，再利用已知公式求解.

【详解】

由题意可得：，，

在中，可得：，，，

可得：矢，

由，

可得：弦，

所以：弧田面积（弦矢矢平方米．

故选：B

【点睛】

方法点睛：有关扇形的计算，一般是利用弧长公式、扇形面积公式及直角三角函数求解.

9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》[三三]:“今有宛田,下周三十步,径十六步,问为田几何?”其意为:“有一块扇形的田,弧长30步,其所在圆的直径是十六步,问这块田的面积是多少(平方步)?”,该问题的答案应为(    )

A．120 B．240 C．360 D．480

【答案】A

【分析】

由扇形的半径和弧长可以计算出圆心角，利用面积公式计算即可.

【详解】

由题可知，该扇形的半径，弧长，

则由弧长公式可得扇形圆心角的弧度数为：

，则由扇形的面积公式可得：

.

故选：A.

【点睛】

本题考查扇形的弧长公式，以及面积公式.

10．如图所示，用两种方案将一块顶角为，腰长为的等腰三角形钢板裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为，周长分别为，则（  ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】

根据弧长公式和扇形面积求解.

【详解】

为顶角为，腰长为2的等腰三角形，

，

方案一中扇形的周长 ，方案二中扇形的周长，

方案一中扇形的面积，方案二中扇形的面积，

所以，.

故选A.

【点睛】

本题考查弧长公式，扇形面积公式.

二、多选题

11．（多选）下列转化结果正确的是（    ）

A．化成弧度是 B．化成角度是

C．化成弧度是 D．化成角度是

【答案】ABD

【分析】

根据弧度与角度的转化,化简即可判断选项.

【详解】

对于A,,正确;     对于B,,正确;

对于C,,错误;   对于D,,正确.

故选ABD

【点睛】

本题考查了弧度与角度的转化,转化过程中注意进制和单位,属于基础题.

12．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；然后在黄金矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作弧；；如此继续下去，这些弧就连接成了斐波那契螺线.记弧，，的长度分别为，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】

设，则，再由圆弧分别求得，，，然后再逐项判断.

【详解】

不妨设，则，所以.

因为，所以.

同理可得，

所以，，，，所以A，B正确，C，D错误.

故选：AB

三、填空题

13．用长的铁丝围成一个扇形，则围成扇形的最大面积为______.

【答案】225；

【分析】

根据扇形面积公式和二次函数的性质，可以求得围成的扇形面积的最大值.

【详解】

设围成的扇形的半径为xcm,则弧长为cm，

则扇形的面积为： ，

当时，取得最大值，此时cm,

故答案为：225

【点睛】

本题考查扇形的面积的计算、二次函数的性质等知识，解题的关键是构建二次函数,利用二次函数的性质解决最值问题.

14．点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标为________．

【答案】

【分析】

根据题意，求出的大小，即得点的坐标．

【详解】

设点A(－1,0)，点P从(－1,0)出发，沿单位圆顺时针方向运动弧长到达点Q，则∠AOQ＝－2π＝ (O为坐标原点)，所以∠xOQ＝，cos＝，sin＝，所以点Q的坐标为.

【点睛】

本题考查了求单位圆上点的坐标的问题，是基础题．

15．如图，点是圆上的点，其中圆的半径为 且，则劣弧的长为______．

【答案】

【解析】

【分析】

根据圆的性质，可得圆心角等于圆周角的2倍，求得，再由弧长公式，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，根据圆的性质，可得圆心角等于圆周角的2倍，

因为，所以，又由弧长公式，可得弧长为.

故答案为.

【点睛】

本题主要考查了圆周角与圆心角的关系，以及弧长公式的应用，其中解答中熟记弧长公式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

16．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是________度，即________rad.如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为10.5cm，那么小轮周上一点每1s转过的弧长是________.

【答案】864           

【分析】

本题可以通过相互啮合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度，得到填空（1）答案，经换算得到其弧度，即得到填空（2）答案，再通过大轮的速，得到小轮的转速，从而求出小轮上每一点的转速，得到填空（3）答案，得到本题结论．

【详解】

∵相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，

∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，

∴小轮转动周，即，，

∴当大轮的转速为时，，小轮转速为 ，

∴小轮周上一点每1s转过的弧度数为：，

∵小轮的半径为10.5cm，

∴小轮周上一点每1s转过的弧长为：，

故答案为：864；；.

【点睛】

本题考查角度制与弧度制的互化，考查弧长公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.

四、解答题

17．已知角.

（1）将角改写成(，)的形式，并指出角是第几象限的角；

（2）在区间上找出与角终边相同的角.

【答案】（1），是第三象限角；（2）．

【分析】

（1）先把度数改写弧度，再改写成形式，并确定所在象限；

（2）解不等式可得结论．

【详解】

（1），是第三象限角，∴是第三象限角．

（2）由得，因为，∴，对应角依次为．

【点睛】

本题考查终边相同的角，解题关键是把解写出或，形式，考查角度与弧度的互化．属于基础题．

18．某飞轮直径为1.2m,每分钟按照逆时针方向旋转300圈,求

(1)飞轮每分钟转过的弧度数;(2)飞轮圆周上的一点每秒钟经过的弧长

【答案】（1）.（2）

【分析】

（1）根据圈旋转弧度乘以每1分转的圈数，进而可得转过的弧度数；

（2）求出每秒转过的弧度数，结合已知中的半径，然后利用弧长公式即可得出答案．

【详解】

解：（1）飞轮每转一圈是,每分钟转300圈,则转过的弧度数为.

（2）每秒转动（圈），则每秒转过的弧度数,

则弧长为.

【点睛】

本题考查了弧长公式，解题的关键是将实际问题转化成数学问题，此题比较简单，属于基础题．

19．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿．

（1）当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；

（2）当小轮的转速是时，大轮上每转过的弧长是，求大轮的半径．

【答案】（1）； （2）.

【解析】

【分析】

（1）设大轮的半径为，小轮的半径为，求得，再利用弧长公式，即可求解.

（2）由（1）和小轮的转速为，求得小轮转动的的弧长为，利用弧长公式，列出方程，即可求解.

【详解】

（1）由题意，相互啮合的两个齿轮，大轮有60齿，小轮有45齿

设大轮的半径为，小轮的半径为，则，即，即，

当小轮转动一周时，设大轮转动的弧度数为，则，

即，解得，即大轮转动的弧度数为.

（2）由（1）知，大轮的半径为，小轮的半径为，且，

因为小轮的转速为，当小轮转动时，小轮转过的弧度数为，

其转过的弧长为，

又由大轮上每转过的弧长是，所以，解得.

【点睛】

本题主要考查了扇形的弧长公式的实际应用，其中解答中正确理解题意，合理利用扇形的弧长公式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

20．已知扇形的圆心角是，半径为.

（1）若，求扇形的弧长.

（2）若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？

【答案】（1）；（2），扇形的面积取得最大值25.

【分析】

（1）根据弧长公式计算可得；

（2）根据扇形的弧长公式和面积公式可以直接求最值．

【详解】

解：（1），.

（2）由已知得，，所以，

所以当时，取得最大值25，此时，.

【点睛】

本题考查扇形的弧长公式和面积公式，属于中档题．