北师大版高中数学必修第二册1-2任意角学案

1．2　任意角

课前篇·自主学习预案

1．任意角

(1)角的概念

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

(2)角的分类

按旋转方向，角可以分为三类：

2.象限角

(1)象限角的概念

在平面直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

(2)象限角的集合表示

(3)轴线角的集合表示

续表

(4)终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．

　答案：1.(2)逆时针　顺时针

课堂篇·研习讨论导案

研习1  任意角的概念

[典例1]　用集合表示下列各角：

(1) 0°到90°的角；

(2)第一象限角；

(3)锐角；

(4)小于90°的角．

[自主记]

[分析]　准确掌握基本概念是解决问题的关键．

[解]　(1)0°到90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°}．

(2)第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}．

(3)锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}．

(4)小于90°的角的集合为{α|α＜90°}．

[巧归纳]　象限角的判定方法

(1)根据图象判定．因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．

(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．

[练习1]　下列命题正确的是(　　)

A．始边和终边相同的角一定相等

B．始边相同而终边不同的角一定不相等

C．小于90°的角一定是锐角

D．大于或等于0°而小于90°的角一定是锐角

答案：B　

解析：始边相同终边相同的角可以相差若干圈，旋转方向也可以不同，故A不正确；角的概念推广之后，角的范围已是全体实数，锐角不能再简述成“小于90°的角”了，而应表述成：大于0°而小于90°的角，故C，D也不正确．故应选B.

研习2  终边相同的角

[典例2]　(1)写出与15°角终边相同的角的集合；

(2)在(1)的集合中，将适合不等式－1 080°＜α＜360°的元素α求出来．

[自主记]

[分析]　由定义直接求出．

[解]　(1)与15°角终边相同的角的集合是

M＝{α|α＝k·360°＋15°，k∈Z}．

(2)在M中适合－1 080°＜α＜360°的元素是

取k＝－3时，－3×360°＋15°＝－1 065°；

取k＝－2时，－2×360°＋15°＝－705°；

取k＝－1时，－1×360°＋15°＝－345°；

取k＝0时，0×360°＋15°＝15°.

即元素－1 065°，－705°，－345°，15°为所求．

[巧归纳]　终边相同角常用的三个结论

(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．

(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．

(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．

[练习2]　写出与－75° 终边相同的角的集合，并将集合中大于－720°而小于720°的角求出来．

解：与－75°角终边相同的角的集合为A＝{α|α＝k·360°－75°，k∈Z}．在集合A中，令－720°＜k·360°－75°＜720°，解得－＜k＜，又因为k∈Z，所以k取－1,0,1,2，对应角分别为－435°，－75°，285°，645°.

研习3  区间角

[典例3]　若角α的终边落在y＝x(x≥0)与y＝－x(x≤0)所夹的小区域内，求角α的集合．

解题探究

1．终边落在y＝x与y＝－x的角怎么表示，终边在第几象限？

2．如何找出它们所夹的小区域？

[自主记]

[分析]　应先写出终边落在y＝x(x≥0)与y＝－x(x≤0)上的角的集合，再运用不等式写出所在小区域内的角的集合．

[解]　与y＝x(x≥0)终边相同的角的集合是{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}；

与y＝－x(x≤0)终边相同的角的集合是{α|α＝150°＋k·360°，k∈Z}．

所以所夹的小区域内角的集合是{α|30°＋k·360°＜α＜150°＋k·360°，k∈Z}．

解题探究1.终边落在y＝x的角可表示成30°＋k·360°，k∈Z，终边在第一象限．

终边落在y＝－x的角可表示成150°＋k·360°，k∈Z，终边在第二象限．

2．利用图象法找到小区域．

[巧归纳]　区间角的表示

区间角是指终边落在坐标系的某个区域内的角．其写法可分为三步：

(1)先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；

(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°到360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}；

(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．

[练习3]　如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合是(　　)

A．{α|－45°≤α≤120°}

B．{α|120°≤α≤315°}

C．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}

D．{α|k·360°＋120°≤α≤k·360°＋315°，k∈Z}

答案：C　

解析：与120°终边相同的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；

与－45°终边相同的角的集合是{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z}．

所以所夹的小区域内角的集合为{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}．故应选C.

研习4 已知α所在象限，判断2α，所在象限

[典例4]　已知α是第一象限角，试求所在的象限．

解题探究

α是第一象限的角，则α的范围如何表示？

[自主记]

[分析]　应先将α的取值范围表示成不等式的形式，再利用不等式的性质表示出的范围，通过分类讨论确定所在的象限．

[解]　∵α是第一象限角，

∴k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z.

∴k·180°＜＜45°＋k·180°，k∈Z.

当k＝2n，n∈Z时，

n·360°＜＜45°＋n·360°，n∈Z；

当k＝2n＋1，n∈Z时，

180°＋n·360°＜＜225°＋n·360°，n∈Z，

即当α是第一象限角时，位于第一、三象限．

解题探究：第一象限角的范围为k·360°＜α＜90°＋k·360°(k∈Z)．

[巧归纳]　等分象限角的规律

已知α是第m(m为一，二，三，四中一个)象限角，求是第几象限角，可先将每个象限分成n等份，然后从x轴正方向上第一个区域起，按逆时针方向顺次标上一，二，三，四，一，二，三，四……依次循环，直至填充所有区域，其中出现数字m的区域即为所在象限．

如所在象限的判断：若α为第四象限角，则应为第二、四象限角．如图①所示．

再如所在象限的判断：若α为第三象限角，则应在第一、三、四象限．如图②所示．

　 　　　   ①　　　　　　　　　　　　　　②

[练习4]　若α是第三象限角，问是第几象限角？2α的终边在哪里？

解：∵α是第三象限角，

∴k·360°＋180°＜α＜k·360°＋270°(k∈Z)，

∴k·180°＋90°＜＜k·180°＋135°(k∈Z)．

当k＝2n，n∈Z时，

n·360°＋90°＜＜n·360°＋135°(n∈Z)，

为第二象限的角；

当k＝2n－1，n∈Z时，

n·360°－90°＜＜n·360°－45°(n∈Z)，

是第四象限的角．

∴为第二或第四象限角．

又∵k·720°＋360°＜2α＜k·720°＋540°(k∈Z)，

∴2α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上．

[易错误区]　角的相关概念理解不正确致误

[典例]　下面说法中正确的序号是________．

(1)不相等的角，终边一定不相同；

(2)第一象限角必是锐角；

(3)锐角必是第一象限角；

(4)三角形的内角是第一象限角或第二象限角．

[答案]　(3)

[解析]　在(1)中，30°与390°有相同的终边，故(1)错；对于(2)，390°是第一象限角，但不是锐角，故(2)错；直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(4)错，锐角是大于0°小于90°的角，第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k· 360°＋90°，k∈Z}①，锐角一定在第一象限，故(3)正确.

[误区警示]

[防范措施]

1.强化概念学习

注重相关知识的辨析，正确理解概念间的区别和联系是处理该类问题的关键，如本例中的(2)(3)的区别和联系.

2.特殊类型的处理

在处理问题时，一些特殊类型有时会忽略，从而导致判断出错，如本例(4)中，三角形的内角往往只会想到锐角和钝角，从而得出角是第一象限角或第二象限角的错误结论.

[类题试解]　下列说法中正确的是(　　)

A.第一象限角一定不是负角

B.小于90°的角一定是锐角

C.钝角一定是第二象限角

D.终边相同的角一定相等

答案：C　

解析：第一象限的角也可以是负角，A错误；小于90°的角不一定是锐角，还可以是负角、零角，B错误；终边相同的角不一定相等，D错误.

[规律指津]

1.将角的概念推广后，要注意区分锐角与第一象限角，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，显然，锐角的集合仅是第一象限角集合的一个真子集．

2.对于象限界角，应分别搞清终边落在坐标轴的一个半轴上、终边落在x(或y)轴上，终边落在坐标轴上这三种情况的角的集合的表示．如：终边落在x轴的正半轴上的角的集合为{β|β＝k·360°，k∈Z}，终边落在x轴上的角的集合为{β|β＝k·180°，k∈Z}，终边落在坐标轴上的角的集合为{β|β＝k·90°，k∈Z}．

达标篇·课堂速测演习

1.A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B＝(　　)

A.{锐角}   B．{小于90°的角}

C.{第一象限的角}   D．以上都不对

答案：D　

解析：根据各种角的定义，A∩B中的元素应为小于90°的第一象限角，可能为锐角，也可能为负角.

2.若角α满足α＝45°＋k·180°，k∈Z，则角α的终边落在(　　)

A.第一或第三象限   B．第一或第二象限

C.第二或第四象限   D．第三或第四象限

答案：A　

解析：当k为奇数时，角α终边与225°角终边相同，在第三象限；当k为偶数时，角α与45°角终边相同，在第一象限.

3.集合M＝{α|α＝k·90°－54°，k∈Z}，N＝{β|－180°<β<180°}，则M∩N＝(　　)

A.{－54°，36°}

B.{－144°，126°}

C.{－144°，－54°，36°，126°}

D.{－144°，36°}

答案：C　

解析：对于α＝k·90°－54°(k∈Z)，

分别令k＝－1，则α＝－144°；

k＝0，则α＝－54°；

k＝1，则α＝36°；

k＝2，则α＝126°.

以上各角都符合题意，

即M∩N＝{－144°，－54°，36°，126°}．故应选C.

4.如图①，②，③所示，写出终边落在阴影处(包括边界)的角的集合．

解：由图①可知，角的集合为

{α|－40°＋k·360°≤α≤50°＋k·360°，k∈Z}．

由图②可知，角的集合为

{α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋2k·180°≤α≤90°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|45°＋(2k＋1)·180°≤α≤90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|45°＋n·180°≤α≤90°＋n·180°，n∈Z}．

由图③可知，角的集合为

{α|60°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}．