北师大版高中数学必修第二册1-4-1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数意义学案

1.4　正弦函数和余弦函数的概念及其性质

1.4.1　单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数意义

课前篇·自主学习预案

1.单位圆

在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆．

2.正弦函数、余弦函数的定义

(1)定义：如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的纵坐标v是角α的正弦函数值，记作v＝________；点P的横坐标u是角α的余弦函数值，记作u＝________.

(2)对正弦函数、余弦函数定义的理解

①定义中，α是一个任意角，同时它也可以是一个实数(弧度数)．

②角α的终边与单位圆O交于点P(u，v)，实际上给出了两个对应关系，即

实数α(弧度)对应于点P的纵坐标v正弦

实数α(弧度)对应于点P的横坐标u余弦

③三角函数可以看成以实数为自变量，以单位圆上的点的坐标为函数值的函数．角与实数是一对一的．角和实数与三角函数值之间是多对一的，如图所示．

④sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，单独的“sin”“cos”是没有意义的．

3.正弦函数、余弦函数定义的拓展

任意角的正弦、余弦函数的定义，实际上，我们可以把定义进一步拓展，通过角的终边上任意一点的坐标来定义正弦、余弦函数．

设α是一个任意角，α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝>0)，如图

那么，比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝；比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝.

4.正弦函数、余弦函数的定义域和值域

正弦函数y＝sin x和余弦函数y＝cos x的定义域为全体实数，值域为[－1,1]．

　答案：2.(1)sin α　cos α

课堂篇·研习讨论导案

研习1　　求任意角的正弦函数值、余弦函数值　　　　　　　　　　　　　　

[典例1]　已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α的值．

解题探究

1.已知角α终边上一点P(x，y)，sin α，cos α怎样表示？

2.三角函数sin α，cos α怎样用定义求解？

[自主记]

[分析]　由三角函数定义直接求解．

[解]　根据任意角的三角函数的定义，应首先求出点P到原点的距离r，由于含有参数a，要注意分类讨论．

r＝＝5|a|.

若a＞0，r＝5a，角α在第二象限，则

sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－.

若a＜0，r＝－5a，角α在第四象限，则

sin α＝－，cos α＝.

解题探究：1.sin α＝，cos α＝.

2.sin α＝，cos α＝.

[巧归纳]　用定义求三角函数值

(1)若已知角α的终边是一点P(a，b)，可以用定义sin α＝，cos α＝直接写出三角函数的值．

(2)若已知角α的终边在某条直线上求角α的三角函数值时，先明确角α所在象限，再从角α终边上任取一点，注意这里点的坐标一定与所在象限对应，再利用定义写出所求三角函数的值.

[练习1]　已知角α的终边经过点P(－2,3)，试求α的正弦值、余弦值．

解：因为x＝－2，y＝3，所以r＝＝，所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－.

研习2  三角函数值的符号

[典例2]　给出下列三角函数值：

(1)sin 1 125°；(2)cos·sin；(3).

其中为正值的个数是(　　)

A.0  B．1  C．2  D．3

解题探究

1.正弦、余弦在各个象限的符号是怎样的？

2.确定三角函数值符号的思路是什么？

[自主记]

[分析]　判定三角函数值的符号应分两步：一是判定角所在的象限；二是判定这一象限内某三角函数的符号．

[答案]　D

[解]　1 125°＝1 080°＋45°，则1 125°是第一象限的角，所以sin 1 125°＞0；

因为＝2π＋，所以是第三象限角，

所以cos＜0，sin＜0，

故cos·sin＞0；

因为4弧度的角为第三象限角，所以sin 4＜0，cos 4＜0，

故＞0.

综合上述，(1)(2)(3)为正值．故应选D.

解题探究：1.正弦函数：一、二象限为正，三、四象限为负．

余弦函数：一、四象限为正，二、三象限为负.

2.首先判断角所在象限，再看在这一象限某三角函数值的正负．

[巧归纳]　三角函数值的符号是根据三角函数的定义，由各象限内的点的坐标的符号得出来的.

[练习2]　已知＞0，且sin α＋cos α＞0，那么角α是(　　)

A.第一象限角   B．第二象限角

C.第三象限角   D．第四象限角

答案：A　

解析：设P(x，y)是角α的终边上一点，它到原点的距离为r.由题意知＝＞0，sin α＋cos α＝＋＝＞0，而r＞0，所以x＞0，y＞0，即P点应在第一象限，于是角α是第一象限角．故应选A.

[易错误区]　忽视对参数的分类讨论致误

[典例]　已知角α的终边过点P(m，－3m)(m≠0)，求α的正弦值、余弦值．

[错解]　由题意，得|OP|＝＝m，

∴sin α＝＝－，

cos α＝＝.

[正解]　由题意，得|OP|＝＝|m|.

(1)当m＞0时，r＝|m|＝m，

则sin α＝＝－，cos α＝＝.

(2)当m＜0时，r＝|m|＝－m，

则sin α＝，cos α＝－.

[防范措施]

(1)含有参数的在化简过程中要注意符号．

(2)对参数要注意分类讨论，做到不重不漏．

(3)对三角函数的定义要把握准确，尤其是比值问题一定要记准分子分母所代表的量.

[类题试解]　已知角θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ的值．

解：∵r＝，cos θ＝，∴x＝.

又x≠0，则x＝±1.

又y＝3＞0，∴θ是第一或第二象限角．

∴sin θ＝.

[规律指津]

1.函数的定义域是函数概念的三要素之一，因此，对于正弦函数、余弦函数的定义域要给予足够的重视．确定三角函数定义域时，主要应抓住分母等于零时比值无意义这一关键．结合三角函数的定义，可以得到三角函数的定义域．

2.正弦函数值、余弦函数值的符号与角所在的象限有关，它可根据正弦函数、余弦函数的定义和各象限内的点的坐标符号推出．

　　　　　　　达标篇·课堂速测演习　　　

1.设角α的终边上有一点P(－5a,12a)(a≠0)，则2sin α＋cos α的值是(　　)

A.   B.或－

C.－   D．与a有关，但不能确定

答案：B　

解析：r＝＝13|a|(a≠0)．

当a>0时，r＝13a，sin α＝，cos α＝－，

∴2sin α＋cos α＝2×－＝；

当a<0时，r＝－13a，sin α＝－，cos α＝，

∴2sin α＋cos α＝2×＋＝－.

故应选B.

2.设α是第二象限角，且＝－cos，则角是(　　)

A.第一象限角  B．第二象限角

C.第三象限角  D．第四象限角

答案：C　

解析：∵2kπ＋<α<2kπ＋π(k∈Z)，

∴kπ＋<<kπ＋(k∈Z)，

∴可能是第一或第三象限角．

又∵＝－cos，即cos<0，

∴应是第三象限角．故应选C.

3.求下列函数的定义域：

(1)y＝；

(2)y＝＋.

解：(1)要使函数有意义，需≠0，

∴x≠kπ＋，且x≠kπ，k∈Z，

∴x≠(k∈Z)．

∴函数的定义域是.

(2)要使函数有意义，需

得

解之得2kπ＋≤x≤2kπ＋π(k∈Z)．

∴函数的定义域是.