2021学年第一章 三角函数3 弧度制本节综合与测试随堂练习题

课后素养落实(三)　弧度制

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．－105°化弧度是(　　)

A．π    B．－π    C．－π    D．－π

B　[－105°＝－105×＝－π.]

2．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是(　　)

A．2kπ＋45°(k∈Z)    B．k·360°＋(k∈Z)

C．k·360°－315°(k∈Z)  D.kπ＋(k∈Z)

C　[与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，故选C.]

3．在半径为1的圆中，面积为1的扇形的圆心角的弧度数为(　　)

A．1       B．2         C．3        D．4

B　[由S＝α·r2，得1＝·α·12，∴α＝2.]

4．若2弧度的圆心角所对的弧长为4 cm，则这个圆心角所对的扇形面积是(　　)

A．4 cm2    B．2 cm2    C．4π cm2    D．2π cm2

A　[设扇形的半径为r，则由l＝|α|r，

得r＝＝2(cm)，∴S＝|α|r2＝×2×22＝4(cm2)，故选A.]

5．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为(　　)

A．π    B．π    C．π    D．π

A　[240°＝240×  rad＝ π rad，

∴弧长l＝|α|·r＝π×10＝π，故选A.]

二、填空题

6．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是________．

　[设三角形的三个内角的弧度数分别为4x，5x，6x，则有4x＋5x＋6x＝π，解得x＝，∴最大内角的弧度数为6x＝.]

7．如果一扇形的弧长变为原来的倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．

　[由于S＝lR，若l′＝l，R′＝R，则S′＝l′R′＝ × l× R＝S.]

8.若α＝2，则角α的终边所在的象限为________．

第二象限　[∵α＝2，∴<α<π，故α在第二象限．]

三、解答题

9．把下列角化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．

(1)－；(2)－1485°.

[解]　(1)－＝－8×2π＋，它是第二象限角．终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}．

(2)－1485°＝－5×360°＋315°＝－10π＋，它是第四象限角．终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}．

10．已知一个扇形的周长为a，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．

[解]　设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，面积为S.由已知，2r＋l＝a，即l＝a－2r.

∴S＝l·r＝(a－2r)·r＝－r2＋r

＝－＋.

∵r>0，l＝a－2r>0，∴0<r<，

∴当r＝时，Smax＝.此时，l＝a－2·＝，

∴α＝＝2.故当扇形的圆心角为2 rad时，扇形的面积最大，最大值为 ．

11．若角α与角x＋有相同的终边，角β与角x－有相同的终边，那么α与β间的关系为(　　)

A．α＋β＝0     B．α－β＝0

C．α＋β＝2kπ(k∈Z)   D．α－β＝＋2kπ(k∈Z)

D　[∵α＝x＋＋2k1π(k1∈Z)，β＝x－＋2k2π(k2∈Z)，∴α－β＝＋2(k1－k2)π(k1∈Z，k2∈Z).

∵k1∈Z，k2∈Z，∴k1－k2∈Z.

∴α－β＝＋2kπ(k∈Z).]

12.已知某机械采用齿轮传动，由主动轮M带着从动轮N转动(如图所示)，设主动轮M的直径为150 mm，从动轮N的直径为300 mm，若主动轮M顺时针旋转，则从动轮N逆时针旋转(　　)

A．    B．    C．    D．π

B　[设从动轮N逆时针旋转θ rad，由题意，知主动轮M与从动轮N转动的弧长相等，所以×＝×θ，解得θ＝，故选B.]

13．半径为1 cm，中心角为150°的角所对的弧长为________．

cm　[∵150°＝150×＝，∴l＝×1＝cm.]

14．已知圆的一段弧长等于该圆外切正三角形的边长，则这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为________；若圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么这段弧所对圆心角的弧度数的绝对值为________．

2　4　[设圆半径为r，这段弧所对圆心角的弧度数为θ，则圆外切正三角形的边长为2r，∴|θ|＝＝2；又圆内接正方形的边长为r，圆弧长为4r，∴|θ|＝＝4.]

15．如图，一长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)

[解]　在扇形ABA1中，圆心角恰为，弧长l1＝·AB＝·＝π(dm)，面积S1＝··AB2＝··4＝π(dm2).

在扇形A1CA2中，圆心角也为，弧长l2＝·A1C＝·1＝(dm)，面积S2＝··A1C2＝··12＝(dm2).

在扇形A2DA3中，圆心角为π－－＝，弧长l3＝·A2D＝·＝π(dm)，面积S3＝··A2D2＝··()2＝(dm2)，

综上，点A走过的路程长l＝l1＋l2＋l3＝π＋＋＝(dm)，点A走过的弧所在的扇形的总面积S＝S1＋S2＋S3＝π＋＋＝(dm2).