北师大版 (2019)必修 第二册第一章 三角函数3 弧度制本节综合与测试免费同步测试题

第一章　三角函数

§3　弧度制

基础过关练

题组一　角度与弧度的互化

1.(2019安徽合肥一中高一上学期期末)-300°化为弧度是　(　　)

A.- B.- C.- D.-

2.(2020重庆巴蜀中学高二下学期期中)下列结论不正确的是(　　)

A. rad=60° B.10°= rad

C.36°= rad D. rad=158°

3.(2019北京四中高二上学期期中)将-化成α+k·360°(-360°≤α<0°,k∈Z)的形式为(　　)

A.-2×360°-15° B.-3×360°+45°

C.-2×360°-45° D.-2×360°-75°

4.(2020陕西宝鸡中学高一下学期期末)将下列角按要求转化.

(1)把112°30'化成弧度;

(2)把-化成度.

题组二　弧度制与终边相同的角

5.(2020重庆第一中学高一上学期期中)集合A=αα=kπ+,k∈Z与集合B=α,k∈Z的关系是(　　)

A.A=B B.A⊆B

C.B⊆A D.以上都不对

6.(2020广东省实验中学期末)把下列各角化成2kπ+α (0≤α<2π,k∈Z)的形式,并指出是第几象限角:

(1)-1 500°;(2);(3)-4.

7.(2019中国人民大学附属中学高一上学期期末)用弧度制表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界,如图所示).

题组三　弧度制的应用

8.(2018四川成都外国语学校高一上学期期末)一个半径为2 cm的扇形的面积为8 cm2,则这个扇形的中心角的弧度数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

9.(2018辽宁鞍山一中高一上期末)设一扇形的弧长为4 cm,面积为4 cm2,则这个扇形的圆心角的弧度数是　　　　. 

10.(2018山西晋城第一中学高一上期末)已知扇形弧长为π cm的弧所对的圆心角为,则该扇形的面积为　　　　cm2. 

11.(2020吉林延边二中高三上学期期中)扇形的周长是16,圆心角是2 rad,则扇形的面积是　　　　. 

12.(2020河南郑州外国语学校期末)一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数.

能力提升练

题组一　弧度制与终边相同的角

1.(2020湖南师范大学附中期末,)若α与β关于y轴对称,则(　　)

A.α+β=+kπ(k∈Z) B.α+β=2kπ+(k∈Z)

C.α+β=2kπ(k∈Z) D.α+β=2kπ+π(k∈Z)

2.(2020四川成都树德中学高二下学期期末,)把-表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ的值是(　　)

A.- B.- C. D.

题组二　弧度制的综合应用

3.(2020安徽合肥六中期末,)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一《方田》记载:“今有宛田,下周六步,径四步,问为田几何?”译成现代汉语的意思为:有一块扇形的田,弧长6步,其所在圆的直径是4步,问这块田的面积是多少平方步?(　　)

A.12 B.9 C.6 D.3

4.(2020陕西西安高新第一中学高二期中,)已知圆O与直线l相切于点A,点P,Q同时从点A出发,P沿直线l匀速向右运动,Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动,当点Q运动到如图所示的位置时,点P也停止运动,连接OQ,OP,则阴影部分的面积S1,S2的大小关系是(　　)

A.S1≥S2

B.S1≤S2

C.S1=S2

D.先S1<S2,再S1=S2,最后S1>S2

5.(2020安徽太和一中期末,)已知一扇形的面积是8 cm2,周长是12 cm,则该扇形的圆心角α(0<α<2π)的弧度数是　　　　. 

6.(2020华中师大附中高二期中,)在Rt△ABO中挖去以点O为圆心,OB为半径的扇形BOC(如图),使得扇形BOC的面积是Rt△ABO面积的一半.设∠AOB=α rad,则的值为　　　　. 

7.(2020上海建平中学高一下期中,)若扇形的圆心角为,则扇形的内切圆的面积与扇形的面积之比为　　　　. 

8.(2019山东省实验中学期末,)如图,动点P,Q从点A(4,0)出发,沿圆周运动,点P按逆时针方向每秒钟转弧度,点Q按顺时针方向每秒钟转弧度,求P,Q第一次相遇时所用的时间及P,Q点各自走过的弧长.

9.(2020浙江杭州学军中学高二下期中,)已知半径为10的圆O中,弦AB的长为10.求锐角α(∠AOB)所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.

答案全解全析

§3　弧度制

基础过关练

1.B 2.D 3.C 5.A 8.D

1.B　-300°=-300×π/180=-5π/3,故选B.

2.D　7π/8=7π/8×180°/π=157.5°,故选D.

3.C　∵-17π/4=-π/4-4π,∴可表示为-45°-2×360°.

4.解析　(1)112°30'=112.5°= 225/2 °=225/2×π/180=5π/8.

(2)-7π/12=-7π/12×180"°" /π=-105°.

5.A　集合A与集合B都表示终边在y轴上的角,故选A.

6.解析　(1)∵-1 500°=-1 800°+300°=-5×360°+300°,

∴-1 500°可化成-10π+5π/3,是第四象限角.

(2)∵23π/6=2π+11π/6,

∴23π/6与11π/6的终边相同,是第四象限角.

(3)∵-4=-2π+(2π-4),π/2<2π-4<π,

∴-4与2π-4的终边相同,是第二象限角.

7.解析　(1)∵330°与-30°终边相同,且-30°=-π/6,75°=5π/12,∴所求角的集合为 α 2kπ-π/6≤α≤2kπ+5π/12,k∈Z .

(2)∵30°=π/6,90°=π/2,∴所求角的集合为 α|kπ+π/6┤≤α≤kπ+π/2,k∈Z .

8.D　设这个扇形的中心角的弧度数为θ,则1/2×22θ=8,解得θ=4.故选D.

9.答案　2

解析　因为扇形的弧长l为4 cm,面积S为4 cm2,

所以扇形的半径r满足1/2×4×r=4,

得r=2(cm),则扇形的圆心角的弧度数为2S/r^2 =2.

10.答案　2π

解析　∵弧长为π cm的弧所对的圆心角为π/4,∴半径r=π/(π/4)=4(cm),

∴该扇形面积S=1/2×π×4=2π(cm2).

11.答案　16

解析　设扇形的半径为R,面积为S,则弧长l=2R,∴16=l+2R=4R,∴R=4,∴S=1/2×2×4×4=16.

12.解析　设扇形的半径为R,弧长为l,则2R+l=4,∴l=4-2R,

根据扇形的面积公式S=1/2lR,

得1=1/2(4-2R)•R,

∴R=1,∴l=2,∴圆心角的弧度数α=l/R=2/1=2,

即扇形的圆心角的弧度数为2 rad.

能力提升练

1.D 2.A 3.C 4.C 

1.D　由α,β关于y轴对称,得β=2kπ+π-α(k∈Z),即α+β=2kπ+π(k∈Z).

2.A　∵-11π/4=-2π-3π/4,∴-11π/4与-3π/4是终边相同的角,且此时 -3π/4 =3π/4是最小的.

3.C　∵弧长6步,其所在圆的直径是4步,∴半径为2步,∴面积S=1/2×2×6=6(平方步).

4.C　∵圆O与直线l相切,

∴OA⊥AP,

∴S扇形AOQ=1/2•l⏜AQ•r=1/2•l⏜AQ•OA,S△AOP=1/2OA•AP,

易知l⏜AQ=AP,

∴S扇形AOQ=S△AOP,即S扇形AOQ-S扇形AOB=S△AOP-S扇形AOB,则S1=S2.故选C.

5.答案　4或1

解析　设该扇形的弧长为l,半径为r,由题知,{■(l+2r=12"," @1/2 lr=8"," )┤解得{■(l=8"," @r=2)┤或{■(l=4"," @r=4"," )┤故α=l/r=8/2=4或α=4/4=1.

6.答案　1/2

解析　设BO=a,AB=b,则Rt△ABO的面积为ab/2,扇形BOC的面积为a^2/2•α,则ab/4=a^2/2•α,故α=b/2a,因为tan α=b/a,所以α/tanα=1/2.

7.答案　2∶3

解析　设扇形的半径为R,内切圆半径为r,∵扇形的圆心角为π/3,

∴R-r=2r,∴3r=R,

∴扇形的面积=(60πR^2)/360=(πR^2)/6,

又内切圆面积为πr2,∴扇形的内切圆的面积与扇形的面积之比为2∶3.

8.解析　如图,设P,Q在C点第一次相遇,且所用的时间是t s,则t•π/3+t• -π/6 =2π,

所以t=4,即P,Q第一次相遇时所用的时间为4 s.

所以P点走过的弧长为4π/3×4=16π/3,Q点走过的弧长为2π/3×4=8π/3.

9.解析　由圆O的半径r=10=AB,知△AOB是等边三角形,

所以α=∠AOB=60°=π/3,

所以弧长l=α•r=π/3×10=10π/3,

所以S扇形=1/2lr=1/2×10π/3×10=50π/3,

又S△AOB=1/2×10×10×sin π/3=25√3,

所以S=S扇形-S△AOB=50π/3-25√3.