1.3弧度制-高一数学同步课件+练习（北师大版2019必修第二册）

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第一章 三角函数
3 弧度制
高中/数学/北师大版（2019）/必修第二册
温故而知新:
1、角度制的定义将圆周360等分，每一等分的弧所对的圆心角为1度.这种用度做单位来度量角的制度叫角度制。
2、弧长公式及扇形面积公式
1.角度制的定义规定周角的 为1度的角，这种用度作单位来度量角的制度叫角度制.
2.弧长公式及扇形面积公式
在角度制下，当把两个角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来困难．那么我们能否重新选择角单位，使运算与常规的十进制加减法一样去做呢？
新课导入
1、在同一个圆中，圆心角的大小与它所对的 弧长一一对应.
因此，可用半径度量弧长的方法定义角的大小.
2、当半径不同时，同样大的圆心角所对的弧 长不相等.
探究问题
观察下表， 思考同样的圆心角所对的弧长与半径有怎样的关系？
得出结论：当圆的半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数。我们称这个常数为该角的弧度数。
探究问题
探究点1 弧度制的有关概念
在以单位长为半径的圆中,单位长度的弧所对的圆心角为__________，它的单位符号是rad,读作弧度.
设弧AB的长为l，若l=r，
则∠AOB= 1弧度.
1弧度
1弧度的角
课堂探究
则∠AOB= 2 弧度
2π弧度
若l=2r，
若l=2 π r，
2弧度
若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则∠AOB的弧度数的绝对值是
即∠AOB =
-3弧度.
-3弧度
-
思考：通过上面的实例我们能得到什么结论？提示：圆心角∠AOB的弧度数的绝对值等于它所对的弧的长与半径长的比.
一般地，任一正角的弧度数都是一个_____；任一负角的弧度数都是一个_____；零角的弧度数是__.这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制.
正数
负数
0
总结：不同的角，其弧度数一定不相同.因此可用角的弧度数来度量角的大小.这种度量方法有效地把角度单位与长度单位统一起来.弧度制确立了角的弧度数与实数间的一一对应关系，
正实数
零
负实数
对应角的弧度数
探究点2 弧度制与角度制的换算
因为周角的弧度数是2 π，而在角度制下它是360°，所以
由180°=πrad还可得
1°= —— rad ≈ 0．017 45 rad.
180
π
1rad =（——）°≈ 57．30°=57°18′.
π
180
把角度换成弧度
把弧度换成角度
例1 把45化成弧度
方法：用互化公式先约分
练 习
（1） 把 67°30′化成弧度。
解：
解：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度≠1º；
角度制与弧度制的比较
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。
角度制与弧度制的比较
写出一些特殊角的弧度数
注: 1.用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二字或“rad” 通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。 2.用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式, 如无特别要求，不用将π化成小数。
练 习
终边相同的角
（1）用角度表示
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
它们构成一个集合：
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}直角： {θ|θ=90°}钝角： {θ|90°＜θ＜180°}平角： {θ|θ=180°}0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}小于90°角：{θ|θ＜90°}
例3：请用弧度制表示下列角度所在区间。
弧长公式及扇形面积公式
圆的弧长公式及扇形面积公式
L =︱α ︱r
(1). 弧长公式：
答：弯道处弧AB的长约为47米
　　变式1．已知扇形的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。
解：设扇形的半径为r，弧长为，则有
　　变式2. 已知扇形周长为10cm，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数
∴r25r+6=0
　　解：设扇形圆心角的弧度数为　　　(0＜＜2)半径为r，弧长为，则有
1. （1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)； （2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
所以112º30′≈112.5×0.0175≈1.969rad.
课堂小练
3. 填写下表：
0
π
2π
5. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为 ，面积为2R2的扇形的中心角等于 弧度。
所以 α=4.
6.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。
解：－1825º=－5×360º－25º，
所以与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角是－25º.
7. 已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.
所以扇形的中心角是2(π－1) rad.
小 结

π =180°
1rad=
57°18′，
1°=
rad=0.01745 rad
成功的花，人们只惊慕她现时的明艳！然而当初它的芽儿，浸透了奋斗的泪泉，洒遍了牺牲的血雨。
谢谢观看