数学必修 第二册2 直观图学案设计

5.2　直观图

课前篇·自主学习预案

1.斜二测画法的步骤

(1)画轴：_________________________________________________________________.

(2)画线：_________________________________________________________________.

(3)取长度：_______________________________________________________________.

斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：___________________________________.

2.空间几何体直观图的画法步骤

(1)画轴：_________________________________________________________________.

(2)画平面：_______________________________________________________________.

(3)取长度：_______________________________________________________________.

(4)成图处理：_____________________________________________________________.

答案：1.(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面

(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段

(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半 

横不变，纵折半，平行位置不改变

2.(1)与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴

(2)平面xOy表示水平平面，平面yOz和xOz表示竖直平面

(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变

(4)成图后，去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线

课堂篇·研习讨论导案

研习1 　平面图形直观图的画法

[典例1]　(1)(2020·冀州高一检测)利用斜二测画法得到：

①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．以上结论中正确的是(　　)

A．①②  　　　　　　　　　B．①

C．③④    D．①②③④

(2)斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________．

(3)用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图．

[自主记]

(1)[答案]　A

(2)[答案]　(4,2)

[解析]　在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′，即(4,2).

(3)[解]　第一步：如图①所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，过点O与y轴垂直的是x轴，分别过B，E作BG∥y轴，EH∥y轴，与x轴分别交于点G，H.画对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

第二步：如图②所示，以点O′为中点，在x′轴上取G′H′＝GH，分别过G′，H′在x′轴的上方作G′B′∥y′轴使G′B′＝GB，作H′E′∥y′轴使H′E′＝HE，在y′轴的点O′上方取O′A′＝OA，在y′轴的点O′下方取O′F′＝OF，并且以点F′为中点，画C′D′∥x′轴，且使C′D′＝CD.

第三步：连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，所得五边形A′B′C′D′E′就是五边形ABCDE的直观图，如图③所示．

    ①　　    　  　　　②　    　　　　③

[巧归纳]　直观图中应遵循的基本原则

(1)用斜二测画法画平面图形的直观图时，图形中平行于x轴、y轴的线段在直观图中应分别画成平行于x′轴、y′轴的线段．

(2)平行于x轴的线段在直观图中长度保持不变，平行于y轴的线段长度变为原来的.

研习2　空间图形直观图的画法

[典例2]　画出一个上、下底面边长分别为1,2，高为2的正三棱台的直观图．

[自主记]

[解]　(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝.连接BC，CA，则△ABC为正三棱台的下底面的直观图．

(3)画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.

(4)连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的部分画成虚线，则三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图，如图②.

① ②

[巧归纳]　画空间几何体的直观图的三个原则

(1)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，一般坐标原点建在图形的对称中心处．

(2)要先画出底面的直观图，然后再画出其余各面．

(3)与z轴平行的线段在直观图中应与z′轴平行且长度保持不变．

研习3  直观图的还原与计算问题

[典例3]　如图是四边形的直观图，该直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，∠B′＝∠C′＝45°，求原四边形的面积.

[解]　取B′C′所在直线为x′轴，因为∠A′B′C′＝45°，所以取B′A′所在直线为y′轴，过点D′作D′E′∥A′B′，D′E′交B′C′于E′，则B′E′＝A′D′＝1，又因为梯形为等腰梯形，所以△E′D′C′为等腰直角三角形，所以E′C′＝.再建立一个直角坐标系xBy，如图所示．

在x轴上截取线段BC＝B′C′＝1＋，在y轴上截取线段BA＝2B′A′＝2，过A作AD∥BC，截取AD＝A′D′＝1.连接CD，则四边形ABCD就是四边形A′B′C′D′的实际图形．四边形ABCD为直角梯形，上底AD＝1，下底BC＝1＋，高AB＝2，所以四边形ABCD的面积S＝AB·(AD＋BC)＝×2×(1＋1＋)＝2＋.

[延伸探究]1.(变换条件)若本例条件“直观图”改为“实际图形”，其他条件不变，求直观图的面积．

2.(变换条件)若将本例条件“该直观图为腰和上底长均为1的等腰梯形，∠B′＝∠C′＝45°”改为“该直观图中A′B′＝A′D′＝1，且A′B′⊥B′C′，∠C′＝45°”，求原四边形的周长．

[自主记]

1.解：以B′C′为x轴，点B′为原点建立如图①所示的坐标系．

①　　　　　　　　　②

因为上底及腰长均为1，且∠B′＝∠C′＝45°.

作A′E′⊥B′C′，D′F′⊥B′C′，

则B′E′＝F′C′＝＝A′E′＝D′F′.

又E′F′＝1，所以B′C′＝＋1.

作出其直观图，如图②所示．

则AE＝DF＝，∠AEF＝45°，

过A作AG⊥BC于G.

则AG＝，

所以四边形ABCD的面积

S＝AG·(AD＋BC)＝××(1＋1＋)

＝×(2＋)＝＋.

2.解：因为A′B′⊥B′C′且A′B′＝A′D′＝1，连接B′D′，则∠D′B′C＝45°，如图①所示，取B′D′为y′轴，B′C′为x′轴，作D′E′⊥B′C′，又∠C′＝45°，故B′E′＝E′C′＝D′E′＝1，B′D′＝.

① ②

作出实际图形ABCD，如图②所示．则在原四边形中，BD＝2，BC＝2，AD＝1，在Rt△BCD和Rt△ABD中，由勾股定理，得DC＝2，AB＝3，所以原四边形的周长为1＋3＋2＋2＝6＋2.

达标篇·课堂速测演习

1.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成(　　)

A．平行于z′轴且大小为10 cm

B．平行于z′轴且大小为5 cm

C．与z′轴成45°且大小为10 cm

D.与z′轴成45°且大小为5 cm

答案：A　

解析：平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.

2. 如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积为(　　)

A．14    B．10

C．28    D．14

答案：C　

解析：∵A′D′∥y′轴，

A′B′∥C′D′，A′B′≠C′D′，

∴原图形是一个直角梯形．

又A′D′＝4，

∴原直角梯形的上、下底及高分别是2,5,8，故其面积为S＝×(2＋5)×8＝28.

3.利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的(　　)

答案：C　

解析：正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，故选C．

4.已知等边三角形ABC的边长为a，那么等边三角形ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　　)

A．a2       B．a2

C．a2   D．a2

答案：D　

解析：S′＝S＝a2.

5.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为________．

答案：36　

解析：在直观图中，设B′C′与y轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.

6.一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原平面图形的面积为________．

答案：2＋　

解析：过A作AE⊥BC，垂足为E.

∵DC⊥BC且AD∥BC，

∴ADCE是矩形，∴EC＝AD＝1.

由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1知BE＝，

∴原平面图形是梯形且上、下两底边长分别为1和1＋，高为2，

∴原平面图形的面积为××2＝2＋.

7.如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．

解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图②所示．

①　　　　　　　　　②

[误区警示]　直观图还原平面图形时易发生的错误

[示例]　已知△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积．

[错解]　如图①(正解中)，

解法一：S△ABC＝B′C′·A′O′＝a2.

解法二：∵O′A′＝a，∠A′M′B′＝45°，

∴A′M′＝a，∴ S△ABC＝a×a＝a2.

[错因分析]　错解中的解法一，误把A′O′作为△ABC的高，属于不理解画法，思维混乱．

错解中的解法二，虽然计算出了A′M′，但忽略△ABC的高AM＝2A′M′，属不能正确变换或粗心马虎所致.

[正解]　平面直观图及实际图形分别如图①和②.

取B′C′所在直线为x′轴，以过B′C′的中点O′且与x′轴正方向成45°角的直线为y′轴．过点A′作A′N′∥O′x′，

交y′轴于点N′，过点A′作A′M′∥O′y′，交x′轴于M′点，连接O′A′.

在Rt△A′O′M′中，∵O′A′＝a，∠A′M′O′＝45°，

∴M′O′＝O′A′＝a，故A′M′＝a.

∴O′N′＝a.

在平面直角坐标系中，在x轴上点O左、右两侧分别取点B，C，使OB＝OC＝，在x轴上点O左侧取点M，使OM＝a，在y轴上点O上方取点N，使ON＝a，分别过M，N作y轴、x轴的平行线相交于点A，连接AB，AC，则△ABC即为原图形．

显然S△ABC＝a·a＝a2.

[防范措施]　1.理解平面图形直观图的画法，能正确地进行平面图形与直观图的相互转换，特别是y′轴上或与y′轴平行的线段还原到平面图形时才与x轴垂直，但长度需加倍．

2.S直观图＝S平面图形.