北师大版 (2019)必修 第二册3.2 半角公式导学案

3.3.2　半角公式

　半角公式

研习1  三角函数的求值问题

 [典例1]　(1)已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝，则cos的值为(　　)

A.   B. 

C．± D．±

(2)已知sin θ＝，且<θ<3π.求cos和tan的值．

[自主记]

(1)[分析]　判断所在的象限，结合倍角与半角的关系，利用公式化简求值．

[答案]　C

[解析]　∵θ为第二象限角，∴为第一、三象限角，

∴cos的值有两个．

由sin(π－θ)＝，可知sin θ＝，

∴cos θ＝－，∴2cos2＝，∴cos＝±.

(2)[分析]　结合角的范围先求出cos θ的取值，然后利用倍角公式进行合理变形，进而求出函数值．

[解]　∵sin θ＝，<θ<3π，

∴cos θ＝－＝－.

∵cos θ＝2cos2－1，∴cos2＝.

又<<，

∴cos＝－＝－＝－.

tan＝＝＝＝＝2.

[巧归纳]　对于给值求值问题，其关键是找出已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一般需适当变换已知式或变换所求式，建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应用．

使用半角公式时注意根号前的符号是由所在象限决定的，对于半角正切公式用有理表达式可省去符号判断过程．

[练习1]　已知sin α＝－且π<α<，求sin，cos，tan的值．

解：∵sin α＝－，π<α<，∴cos α＝－.

又<<，

∴sin＝＝＝，

cos＝－＝－＝－，

∴tan＝＝－4.

研习2  三角函数式的化简与证明

[典例2]　(1)化简·的结果为(　　)

A．tan α B．tan 2α  

C．1   D.

(2)求证：tan－tan＝.

[自主记]

(1)[分析]　利用倍角公式进行化简．

[答案]　B

[解析]　原式＝·＝tan 2α.

(2)[分析]　可以从左向右证明，从函数名称入手考虑，将函数名称统一为弦；也可以从右向左证明，从角入手考虑，注意到x＝－，2x＝＋，从消除等式两边角的差异入手考虑．

[证明]　证法一：tan－tan＝－

＝＝

＝＝

＝.

证法二：＝

＝＝－

＝tan－tan.

[巧归纳]　1.对于三角函数式的化简有下面的要求：

(1)能求出值的应求出值．

(2)使三角函数种数尽量少．

(3)使三角函数式中的项数尽量少．

(4)尽量使分母不含有三角函数．

(5)尽量使被开方数不含三角函数．

2．在三角恒等式的证明中，化繁为简是化简三角函数式的一般原则，按照目标确定化简思路，由复杂的一边化到简单的一边．如果两边都比较复杂，也可以采用左右归一的方法(即证明等号两侧都等于同一个式子)．

3．化简与证明的常用方法：

(1)“切”化“弦”．

(2)降幂或升幂．

(3)异角化同角，异次化同次，异名化同名．

[练习2]　1.化简：(0<θ<π)．

解：原式＝

＝＝－.

∵0<θ<π，∴0<<，

∴cos>0，∴原式＝－cos θ.

2．求证：＝sin 2α.

证明：证法一：左边＝

＝＝

＝cos αsincos＝sin αcos α＝sin 2α＝右边．

∴原式成立．

证法二：左边＝＝cos2α·

＝cos2αtanα＝cos αsin α＝sin 2α＝右边．

∴原式成立.

研习3  三角恒等变换的应用

[典例3]　已知函数f(x)＝sin2x＋asin xcos x－cos2x，且f＝1.

(1)求常数a的值及f(x)的最小值；

(2)当x∈时，求f(x)的单调增区间．

[自主记]

[分析]　(1)利用f＝1求得a，再将函数f(x)的解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式后求出最小值；

(2)利用(1)求出函数f(x)在R上的单调增区间，再与取交集．

[解]　(1)∵f＝1，

∴sin2＋asincos－cos2＝1，解得a＝2.

∴f(x)＝sin2x＋2sin xcos x－cos2x

＝sin 2x－cos 2x＝sin.

当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ－(k∈Z)时，sin有最小值－1，

则f(x)的最小值为－.

(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

整理，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

又x∈，则0≤x≤.

∴f(x)的单调增区间是.

[巧归纳]　对y＝asin ωx＋bcos ωx的性质的讨论，关键是利用三角函数的和、差、倍角公式化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式，然后借助于三角函数的图象及性质去研究f(x)的相应性质，解答过程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失误．

[练习3]　已知函数f(x)＝2cos2－sin x.

(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；

(2)若α为第二象限角，且f＝，求

的值．

解：(1)因为f(x)＝1＋cos x－sin x＝1＋2cos，

所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为[－1,3]．

(2)因为f＝，

所以1＋2cos α＝，即cos α＝－.

又因为α为第二象限角，所以sin α＝.

因为＝

＝＝，

所以原式＝＝＝.

1．若cos α＝，且α∈(0，π)，则cos＋sin＝(　　)

A.   B.

C.   D.

答案：B　

解析：∵cos α＝，且α∈(0，π)，∴∈.

∴cos＝＝＝＝，

sin＝＝＝.

∴cos＋sin＝＋＝.

2．已知sin θ＋cos θ＝，且≤θ≤，则cos 2θ＝________.

答案：－　

解析：∵sin θ＋cos θ＝，

∴(sin θ＋cos θ)2＝，即sin 2θ＝－，

又∵≤θ≤，∴π≤2θ≤.

∴cos 2θ＝－＝－＝－.

3．设α为锐角，若cos＝，则sin＝________.

答案：　

解析：∵α为锐角，cos＝，

∴sin＝，

sin＝2sincos＝，

cos＝2cos2－1＝，

∴sin＝sin

＝＝.

4．已知函数f(x)＝cos，x∈R.

(1)求f的值；

(2)若cos θ＝，θ∈，求f.

解：(1)f＝cos

＝cos＝cos ＝1.

(2)f＝cos

＝cos＝cos 2θ－sin 2θ.

因为cos θ＝，θ∈，所以sin θ＝－.

所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，

cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.

所以f＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝.

[误区警示]　忽略对参数的讨论致误

[示例]　若函数f(x)＝a＋b，当x∈[0，π]时，f(x)的值域是[3,4]，则a，b的值分别是________．

[错解]　

[错因分析]　本题容易不对a进行讨论，而是思维定式认为a是正数，导致漏解.

[答案]　或

[正解]　f(x)＝a＋b

＝asin＋a＋b，

　　x∈[0，π]时，sin∈.

当a>0时，f(x)∈[b，a＋a＋b]，

此时解得

当a<0时，f(x)∈[a＋a＋b，b]，

此时解得

综上可得，或

[题后反思]　应用倍角公式对已知函数式进行化简，进而讨论f(x)＝Asin(ωx＋φ)的值域，因为所给条件中没有对a与0的大小做出限定，因而需要分情况讨论，题中的错解原因是忽视了对参数a的讨论而导致了漏解.