北师大版 (2019)必修 第二册1 周期变化学案设计

第一章　三角函数

1．1　周期变化

课前篇·自主学习预案

1.周期现象

(1)以相同________重复出现的变化叫作周期现象．

(2)要判断一种现象是否为周期现象，关键是看每隔相同间隔，这种变化是否会________，若重复出现，则为周期现象；否则不是周期现象．

2．周期函数

(1)一般地，对于函数y＝f(x)，x∈D，如果存在一个非零常数T，使得对于任意的x∈D，都有________且满足f(x＋T)＝________，那么函数y＝f(x)，x∈D称作周期函数，非零常数T称作这个函数的周期．

(2)如果在周期函数y＝f(x)，x∈D的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就称作函数y＝f(x)，x∈D的最小正周期．如果不加特别说明，本书所指周期均为函数的最小正周期．

答案：1.(1)间隔　(2)重复出现

2．(1)x＋T∈D　f(x)

课堂篇·研习讨论导案

研习1  生活中的周期现象(直观想象)

[典例1]　(1)我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号，2016年是猴年，那么1949年是(　　)

A．牛年  B．虎年  C．兔年  D．龙年

(2)如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期(　　)

A．五  B．六  C．日  D．一

(3)受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

根据规定，当海浪高度不低于1米时才对冲浪爱好者开放，判断一天内对冲浪爱好者能开放几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？

[自主记]

(1)[答案]　A

(2)[答案]　C

[解]　由题中表可知，潮汐呈周期性变化，所以一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．

[巧归纳]　判断生活问题的周期现象的依据是周期变化的特征，即每次都以相同的间隔(比如时间间隔或长度间隔)出现，且现象是无差别的重复出现.

研习2   周期函数(数学抽象)

角度1　利用函数图象判断

[典例2]　下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　)

[自主记]

[答案]　D

[变式探究]

在如图所示的y＝f(x)的图象中，若f(0.005)＝3，则f(0.025)＝________.

答案：3　

解析：由图象知周期为0.02，所以f(0.025)＝f(0.005＋0.02)＝f(0.005)＝3.

角度2　利用周期定义判断

[典例3]　已知定义在N上的函数f(n)满足：f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)．

(1)求证：f(n)是周期函数，并求出其周期；

(2)若f(1)＝1，f(2)＝3，求f(2 012)的值．

[自主记]

[解]　(1)因为f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)，

所以f(n＋3)＝f(n＋2)－f(n＋1)

＝[f(n＋1)－f(n)]－f(n＋1)＝－f(n)，

所以f(n＋6)＝－f(n＋3)＝－[－f(n)]＝f(n)．

所以f(n)是周期函数，周期为6.

(2)因为f(n)是周期为6的函数，且f(1)＝1，f(2)＝3，

所以f(2 012)＝f(335×6＋2)＝f(2)＝3.

[巧归纳]　1.观察函数图象判断周期性，关键是观察图象是否是周而复始重复出现．

2．用定义法判断周期性，关键是证明对于任意的x∈D，都有x＋T∈D且满足f(x＋T)＝f(x)．

[练习1]　1.如图是一向右传播的光波在某一时刻各点的位置图，经过周期后，甲点和乙点的位置将分别移到________点和________点．

答案：丁　戊

2．如图是一个单摆振动的函数图象，根据图象，回答下面问题：

(1)单摆的振动函数图象是周期变化吗？

(2)若是周期变化，其振动的周期是多少？

(3)单摆离开平衡位置的最大距离是多少？

解：(1)观察图象可知，图象从t＝0.8 s开始重复，所以单摆的振动是周期变化；

(2)振动的周期为0.8 s；

(3)由图象知最高点和最低点偏离t轴的距离相等且等于0.5 cm，所以单摆离开平衡位置的最大距离是0.5 cm.

3．根据周期性的定义，请回答以下问题：

(1)函数f(x)＝x2满足f(－3＋6)＝f(－3)，这个函数是不是以6为周期的周期函数？

(2)函数f(x)＝(－1)[x]是周期函数，且f＝f(0)，为什么不是它的周期？

解：(1)不是．因为f(x＋6)＝(x＋6)2＝f(x)不恒成立，所以f(x)不是以6为周期的周期函数；

(2)因为当x＝时，f＝(－1)0＝1，f＝f(1)＝(－1)1＝－1，所以f≠f，所以不是它的周期.

研习3   周期函数的应用(数学抽象、逻辑推理)

[典例4]　已知f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－1，则f(4.5)的值为(　　)

A．2  B．－1  C．－  D．1

[自主记]

[答案]　D

[巧归纳]　确定好周期函数中重复出现的“最小正周期”，就可以把问题转化到一个周期内来解决．

[练习2]　已知函数f(x)对任意实数x都满足f(x＋1)＝－f(x)，若f(1)＝1，则f(10)＝(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．2

答案：A

达标篇·课堂速测演习

1．下列是周期现象的为(　　)

①某交通路口的红绿灯每30秒转换一次；②某超市每天的营业额；③某地每年6月份的平均降雨量．

A．①③  B．②③  C．①  D．①②

答案：C　

2．把化成小数，小数点后第20位是(　　)

A．1  B．2  C．4  D．8

答案：C

3．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．

答案：红　

解析：周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．

4．设函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2，则f＝________.

答案：　

解析：因为f(x)是以2为最小正周期的周期函数，所以f＝f＝f，又因为x∈[0,2]时，f(x)＝(x－1)2，所以f＝f＝2＝.

5．(教材二次开发：练习改编)已知周期函数y＝f(x)的图象如图所示，

(1)求函数的周期；

(2)画出函数y＝f(x＋1)的图象．

解：(1)T＝2.

(2)把y＝f(x)向左平移一个单位长度得y＝f(x＋1)的图象，即如图所示．