高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件练习

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

1.4.2　充要条件

1.C　[解析] 因为“三角形的三条边相等”⇒“三角形为等边三角形”, “三角形为等边三角形”⇒“三角形的三条边相等”,所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件.

2.B　[解析] “攻破楼兰”不一定“返回家乡”,但“返回家乡”一定有“攻破楼兰”,由充分条件和必要条件的定义可得“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件,故选B.

3.B　[解析] 若(x-1)(x+2)=0,则x=1或x=-2,充分性不成立;若x=1,则(x-1)(x+2)=0,必要性成立.故“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的必要不充分条件.故选B.

4.A　[解析] 若M⊆N,则m=1或m=3,即“m=3”是“M⊆N”的充分不必要条件,故选A.

5.C　[解析] A={x|-1<x<1},B={x|-a<x-b<a}={x|b-a<x<b+a}.因为“a=1”是“A∩B≠⌀”的充分条件,所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即-2<b<2.故选C.

6.C　[解析] 若φ(a,b)=0,则=a+b,可得ab=0,当a=0时,=b,所以b≥0;当b=0时,=a,所以a≥0.故a与b互补.若a与b互补,易得φ(a,b)=0.故“φ(a,b)=0”是“a与b互补”的充要条件,故选C.

7.ACD　[解析] 使ab>0成立的充要条件为a>0,b>0或a<0,b<0,故选项A,C,D符合题意,故选ACD.

8.ACD　[解析] x<-2⇒x2>4,x2>4⇒/ x<-2,故A正确.AB2+AC2=BC2⇒△ABC为直角三角形,反之,若△ABC为直角三角形,当B或C为直角时,不能推出AB2+AC2=BC2,故B错误.a2+b2≠0⇒a,b不全为0,a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故C正确.当x2为无理数时,x为无理数,反之不成立,故D正确.故选ACD.

9.a<3　[解析] ∵“x>3”是“x>a”的充分不必要条件,∴a<3.

10.①②③　[解析] 由①②③均可推出“两条直线平行”,由“两条直线平行”也可以推出①②③.由④不能推出“两条直线平行”.故填①②③.

11.②　[解析] 对于①,由x2-3x+2=0得(x-1)(x-2)=0,解得x=1或x=2,所以p是q的充要条件;对于②,由x2-1=0解得x=±1,所以p:x=±1,q:x=1,所以p是q的必要不充分条件;对于③,x>4且y>3⇒x+y>7,x+y>7⇒/ x>4且y>3,所以p是q的充分不必要条件.故答案为②.

12.3或4　[解析] 一元二次方程x2-4x+n=0有实数根⇔(-4)2-4n≥0⇔n≤4,又n∈N*,则n=4时,方程x2-4x+4=0有整数根2;n=3时,方程x2-4x+3=0有整数根1,3;n=2时,方程x2-4x+2=0无整数根;n=1时,方程x2-4x+1=0无整数根.所以n=3或n=4.

13.解:(1)x-3=0⇒(x-2)(x-3)=0,但(x-2)(x-3)=0⇒/ x-3=0,故p是q的充分不必要条件.

(2)两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,故p是q的必要不充分条件.

(3)由ax2+2x-1=0有两个不等的实数根,知Δ=22-4×a×(-1)>0且a≠0,得a>-1且a≠0,即p⇒q;

反之,当a=0时,方程ax2+2x-1=0只有一个实数根,

即q⇒/ p.故p是q的充分不必要条件.

(4)因为A∪B=A⇔A∩B=B,所以p是q的充要条件.

14.解:(1)因为“1∈B”是真命题,所以a<1<a+1,得0<a<1,即实数a的取值范围是0<a<1.

(2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,

所以B是A的真子集,则得-1≤a≤2,

即实数a的取值范围是-1≤a≤2.

15.A　[解析] 当a=0时,x=-,符合题意.当a≠0时,由方程ax2+2x+1=0有实根,得Δ=4-4a≥0,解得a≤1.若a=1,则方程x2+2x+1=0有且仅有一个实根x=-1,符合题意;若a<1且a≠0,方程有两个不等实根,设这两个实根分别为x1,x2,因为方程只有一个负实根,所以x1x2=<0,即a<0.综上,关于x的方程ax2+2x+1=0只有一个负实根的充要条件为{a|a≤0或a=1}.故选A.

16.C　[解析] 若整数a,b属于同一“类”,则整数a,b被6除所得余数相同,从而a-b被6除所得余数为0,反之也成立,故“整数a,b属于同一‘类’”是“a-b∈[0]”的充要条件.故选C.

17.证明:(1)充分性:如果a=b=c,那么(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,

∴a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,∴a2+b2+c2=ab+ac+bc.

(2)必要性:如果a2+b2+c2=ab+ac+bc,

那么a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,

∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,

∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b=c.

由(1)(2)知,a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c.