高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第2课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质第2课时学案，共7页。

楼房的采光率有一种简单的计算方法：设楼房的建筑面积为a，窗口的面积和为b，则楼房的采光率为eq \f(b,a)(其中a>b>0)．
问题：显而易见，如果增加窗口的面积，楼房的采光将变好，那么如何用不等式来表示这个事实呢？(不妨设增加的窗口面积为m，其中m>0)
知识点1 等式的基本性质
(1)性质1 如果a＝b，那么b＝a；
(2)性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
(3)性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c；
(4)性质4 如果a＝b，那么ac＝bc；
(5)性质5 如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
知识点2 不等式的基本性质
(1)对称性：a＞b⇔b＜a.
(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.
(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.
(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.
(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.
(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．
1.在(2)中，若两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，则等号无法传递；
2．在(4)中，要特别注意“乘数c”的符号；
3．在(6)中，不但要求两个不等式同向，而且要求a，b，c，d均大于0，否则结论不一定成立；
4．在(7)中，若忽略n∈N，n≥2，则有可能得出错误的结论．
1.若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
[提示] a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立．
2.若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？
[提示] 不一定．如a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2.
1.思考辨析(正确的画√，错误的画×)
(1)在一个不等式的两边同乘一个非零实数，不等式仍然成立．( )
(2)同向不等式具有可加性和可乘性．( )
(3)若两个数的比值大于1，则分子上的数就大于分母上的数．( )
(4)当x>－3时，一定有eq \f(1,x)<－eq \f(1,3).( )
(5)若a>b，则eq \f(1,a)[答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)×
2.若a>b，则下列各式正确的是( )
A．a－2>b－2B．2－a>2－b
C．－2a>－2bD．a2>b2
A [∵a>b，∴a－2>b－2，故选A.]
类型1 利用不等式性质判断命题真假
【例1】 对于实数a，b，c，下列命题中为真命题的是( )
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＞b＞0，则eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)
C．若a＜b＜0，则eq \f(b,a)＞eq \f(a,b)
D．若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0
D [法一：∵c2≥0，∴c＝0时，
有ac2＝bc2，故A为假命题；
由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq \f(a,ab)＞eq \f(b,ab)⇒eq \f(1,b)＞eq \f(1,a)，
故B为假命题；
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0⇒－a＞－b＞0))⇒eq \f(a,b)＞eq \f(b,a)，
故C为假命题；
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞b⇒b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))⇒ab＜0.
∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．
法二：特殊值排除法．
取c＝0，则ac2＝bc2，故A错．
取a＝2，b＝1，则eq \f(1,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(1,b)＝1，有eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)，故B错．
取a＝－2，b＝－1，
则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，eq \f(a,b)＝2，有eq \f(b,a)＜eq \f(a,b)，故C错．]
利用不等式性质判断命题真假的注意点
(1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．
(2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．(多选)若eq \f(1,a)A．|a|>|b| B．bC．a＋bBCD [∵eq \f(1,a)∴|b|>|a|，a＋b故选BCD.]
类型2 利用不等式性质证明简单不等式
【例2】 若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.
∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.
两边同乘以eq \f(1,a－c2b－d2)，
得eq \f(1,a－c2)＜eq \f(1,b－d2).
又e＜0，∴eq \f(e,a－c2)＞eq \f(e,b－d2).
本例条件不变的情况下，求证：eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
[证明] ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.
∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，
∴0＜eq \f(1,a－c)＜eq \f(1,b－d)，
又∵e＜0，∴eq \f(e,a－c)＞eq \f(e,b－d).
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．
(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．已知a>b，e>f，c>0，求证：f－ac[证明] ∵a>b，c>0，∴ac>bc.
又∵e>f，∴e＋ac>f＋bc，
∴e－bc>f－ac，即f－ac 类型3 不等式性质的应用
【例3】 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求a－b与eq \f(a,b)的取值范围．
结合字母a，b的组合形式，思考应用不等式基本性质的哪一条解决问题．
[解] 因为1＜a＜4,2＜b＜8，
所以－8＜－b＜－2.
所以1－8＜a－b＜4－2，
即－7＜a－b＜2.
又因为eq \f(1,8)＜eq \f(1,b)＜eq \f(1,2)，所以eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜eq \f(4,2)＝2，
即eq \f(1,8)＜eq \f(a,b)＜2.
求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不可减，可乘不可除．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．已知－2(1)a＋b；
(2)2a－3b.
[解] (1)－1(2)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②
由①＋②得，－10<2a－3b≤3.
1．(多选)若a＞b，c＞d，则下列不等关系中一定成立的是( )
A．a＋c＞b＋d B．a＋d＞b＋c
C．a－c＞b－cD．a－c＜a－d
[答案] ACD
2．与a>b等价的不等式是( )
A．|a|>|b|B．a2>b2
C.eq \f(a,b)>1D．a3>b3
D [可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A、B正确而不满足a>b.再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满足a>b，故选D.]
3．设xA．x2ax>a2
C．x2a2>ax
B [∵xa2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.故选B.]
4．设x>1，－1x>－y>y [∵－1∴x>－y>y.]
5．已知60{x－y|27由28回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．等式的性质有哪些？
[提示] (1)如果a＝b，那么b＝a.
(2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.
(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c.
(4)如果a＝b，那么ac＝bc.
(5)如果a＝b，c≠0，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c).
2．两个不同向不等式的两边可以分别相除吗？
[提示] 不可以．两个不同向不等式的两边不能分别相除，在需要商时，可利用不等式性质转化为同向不等式相乘．
3．对不等式变形时，要注意什么？
[提示] 对不等式的每一次变形，都要有相应的性质为依据，否则，变形就是错误的．
学 习 任 务
核 心 素 养
1.掌握等式和不等式的基本性质．(重点)
2．运用不等式的性质解决有关问题．(难点)
1.通过学习不等式的性质，培养学生数学抽象素养．
2．借助不等式的性质解决相关问题，提升数学运算素养.