高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时学案设计

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第2课时　基本不等式的简单应用

【课中探究】

探究点一

例1　(1)B　(2)36　[解析] (1)(x+y)+=2++≥2+2=4,当且仅当x=y=1时等号成立,因为x,y>0,(x+y)+≥a恒成立,所以a≤4,即a的最大值为4.故选B.

(2)由基本不等式,得4x+≥2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,故=3,得a=36.

变式　解:由a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0,

因此,原不等式等价于+≥m,

要使原不等式恒成立,只需+的最小值不小于m.

因为+=+=2++≥2+2=4,

当且仅当=,即2b=a+c时,等号成立,

所以m≤4.

探究点二

例2　证明:(1)∵a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时取等号),b2+c2≥2bc(当且仅当b=c时取等号),c2+a2≥2ca(当且仅当a=c时取等号),

∴(a2+b2)+(b2+c2)+(c2+a2)≥2ab+2bc+2ca(当且仅当a=b=c时等号成立),

∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

(2)①++=++=2+,

∵a+b=1,a>0,b>0,

∴+=+=2++≥2+2=4当且仅当a=b=时等号成立,

∴++≥8.

②方法一:∵a>0,b>0,a+b=1,

∴1+=1+=2+.

同理,1+=2+,

∴1+1+=2+2+=5+2+≥5+4=9当且仅当a=b=时等号成立.

∴1+1+≥9.

方法二:1+1+=1+++,

由①知,++≥8,故1+1+=1+++≥9.

变式　证明:因为abc=1,所以++==++,又a+b+c=≥++,当且仅当a=b=c=1时取等号,

所以++≤a+b+c.

探究点三

例3　解:(1)根据题意可得AB=2OA=2=2 cm,

∴y=2x,0<x<40.

(2)y2=4x2(1600-x2)≤4×2=16002,当且仅当x=20时取等号,即y≤1600,

∴截取AD=20 cm时,才能使矩形材料ABCD的面积最大,最大面积为1600 cm2.

变式　解:(1)由题意可知,该单位每月每吨二氧化碳的平均处理成本为=x+-200(元),400≤x≤600,

由基本不等式可得≥2-200=200,

当且仅当x=,即x=400时,等号成立,

因此,该企业每月二氧化碳的处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.

(2)令w=100x-x2-200x+80 000=-x2+300x-80 000=-(x-300)2-35 000,

∵400≤x≤600,w=-(x-300)2-35 000的图像开口向下,

∴当x=400时,w取得最大值,

最大值为-40 000.

故该企业每月不能获利,国家至少需要补贴40 000元才能使该企业不亏损.

【课堂评价】

1.A　[解析] ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab,即ab≤,故选A.

2.B　[解析] 由x+y=4,得=1,∴+=(x+y)+=2++≥×(2+2)=1,当且仅当x=y=2时,等号成立.故选B.

3.B　[解析] a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2·2=当且仅当a=b=时取等号.a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab.∵0<a<b且a+b=1,∴a<.故a2+b2的值最大.

4.A　[解析] 由题意知,(1+P)2=(1+P1)(1+P2),∴1+P=≤=1+,当且仅当P1=P2时等号成立,∴P≤,∴在P1+P2为定值的情况下,P的最大值为.故选A.

5.56　[解析] 设阴影部分的长为x dm,则宽为 dm,设四周空白部分的面积是y dm2.由题意,得y=(x+4)+2-72=8+2x+≥8+2×2=56,当且仅当x=,即x=12时等号成立.