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高中数学1.1 集合的概念图片课件ppt
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这是一份高中数学1.1 集合的概念图片课件ppt，共47页。PPT课件主要包含了目标认知，组成的总体，a∈A，a不是集合A的元素，a∉A，确定性，互异性，花括号“”，x∈APx，探究点一集合的意义等内容，欢迎下载使用。
康托尔是19世纪末20世纪初德国的伟大数学家,集合论的创立者,是数学史上最富有想象力、最具有争议的人物之一.19世纪末,他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统,从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责,然而数学的发展最终证明康托尔是正确的.他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造,集合概念大大扩充了数学的研究领域,给数学结构提供了一个基础,集合论不仅影响了现代数学,也深深影响了现代哲学和逻辑.
1.元素与集合的概念:一般地,我们把研究对象统称为 ,把一些元素 叫作集合,简称为集. 2.集合相等:只要构成两个集合的 是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
知识点一 元素与集合的概念
3.符号表示:常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.4.元素与集合的关系:如果a是集合A的元素,就说a 集合A,记作 ;如果 ,就说a不属于集合A,记作 .
6.集合中元素的三个特性为: 、 、无序性.
5.常用数集及其记法:
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)中国著名的科学家可以组成一个集合.( )(2) 2022年参加北京冬奥会短道速滑的运动员可以组成一个集合.( )
[解析] “中国著名的科学家”是不确定的,不能组成集合.
[解析] “2022年参加北京冬奥会短道速滑的运动员”是确定的,有一个明确的标准,可以组成集合.
(3)不超过2019的非负数可以组成一个集合.( )
[解析]任给一个实数x,可以明确地判断x是不是“不超过2019的非负数”,即“0≤x≤2019”与“x<0或x>2019”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过2019的非负数”能组成一个集合.
2.某中学2021级高一年级8个班组成一个集合A.(1)高一(2)班、高二(8)班是集合A中的元素吗?(2)若a∈A,b∈A,则元素a,b有什么关系?为什么?
解:(1) 因为集合A是由2021级高一年级8个班组成的,所以高一(2)班是集合A中的元素,高二(8)班不是集合A中的元素.(2) a,b是高一年级8个班中两个不同的班.因为集合A中的元素具有互异性,所以a与b是不同的班.
知识点二 集合的表示法
1.列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用 括起来表示集合的方法叫作列举法(注意元素间要用“,”隔开,如{-1,0,1,2}). 2.描述法:设A是一个集合,把集合A中所有具有 特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ,这种表示集合的方法称为描述法.描述法也可以写成 或 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x-1)(x+2)=0的实数根组成的集合只能用列举法表示为{1,-2}.( )(2)由抛物线y=x2+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2+4,x∈N}.( )
[解析]方程(x-1)(x+2)=0的实数根为-2,1,可以用列举法表示为{-2,1},还可以用描述法表示为{x|(x-1)(x+2)=0},所以(1)错误.
[解析]由抛物线y=x2+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2+4,x∈N},(2)正确.
2.(1)集合{x∈R|-1
1.集合概念的疑难点(1)对于集合我们一定要从整体的角度来看待它;(2)构成集合的对象必须是确定的且不同的;(3)元素与集合的关系是“属于”或“不属于”关系.
2.集合的表示法中的问题(1){ }表示“所有的”“全体的”,不能省略,表示集合时,在花括号内不能再写上“全体、所有的”等词语.如实数集可以写成{实数},而不能写成{实数集}或{全体实数};另外,集合中的元素之间用“,”隔开,而不能用“、”,{1,2,3}不能写成{1、2、3}.(2)用列举法表示集合时,不考虑元素的顺序;某些集合用描述法表示时,形式不是唯一的.(3)一个集合用什么方法表示,由集合元素的特点而定.
例1 (1)下列各项中,不可以组成集合的是( )A.所有的正数B.方程x2=1的实数根C.接近于0的数D.不等于0的偶数
[解析]集合中的元素需满足三个要素:确定性、互异性、无序性.“接近于0的数”是不确定的,故接近于0的数不能组成集合,故选C.
[解析]D中的对象都是确定的,而且是不同的,因此D中对象可以组成集合.A中的“近似值”,B中的“学习好”,C中的“难题”标准不明确,不满足确定性,因此A,B,C中的对象都不能组成集合.
变式 (1)由所有能被3整除的数组成的集合为M,则下列数中一定是集合M的元素的是 .(填序号) ①能被2整除的数;②能被6整除的数;③能被-3整除的数;④能被5整除的数.
[解析] 能被2整除的数不一定能被3整除,能被6整除的数一定能被3整除,能被-3整除的数一定能被3整除,能被5整除的数不一定能被3整除,所以一定是集合M的元素的是②③.
(2)已知不等式3x+2>0的解集为M.①试判断元素-1,0与集合M的关系;②若a-1是集合M中的元素,求a的取值范围.
[素养小结](1)判断元素能否构成集合,关键是集合中元素的确定性,即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素,若标准明确则可以构成集合,否则不可以.(2)判断一个元素是否属于某一集合,就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足,就是“属于”关系;若不满足,就是“不属于”关系.特别注意,符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.
例3 已知集合A中含有三个元素x,x+1,1,集合B中含有三个元素x,x2+x,x2,且A与B中的元素相同,求实数x的值.
探究点二 集合中元素的特性
变式 (多选题)[2021·河北沧州一中高一月考] 已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2∈M,则满足条件的实数x可能为( )A.2B.-2C.-3D.1
[解析] 由题意得,2=3x2+3x-4或2=x2+x-4.若2=3x2+3x-4,即x2+x-2=0,则x=-2或x=1,当x=-2时,x2+x-4=-2,与集合中元素的互异性矛盾,舍去;当x=1时,x2+x-4=-2,与集合中元素的互异性矛盾,舍去.若2=x2+x-4,即x2+x-6=0,则x=2或x=-3,经验证x=2或x=-3为满足条件的实数x.故选AC.
[素养小结](1)对于求集合中字母参数的问题,常根据集合中元素的确定性得出字母的所有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验.(2)在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的标准要明确.
角度一 列举法表示集合[探索] 观察下列集合:(1)中国古代四大发明组成的集合;(2)20的所有正因数组成的集合.上述两个集合中的元素能一一列举出来吗?
解:能.(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药.(2)中的元素为1,2,4,5,10,20.
例4 用列举法表示下列集合.(1)15的正约数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
变式 (1)若集合A={(4,2),(1,3)},则集合A中元素的个数是( )A.1B.2C.3D.4
[解析] 集合A={(4,2),(1,3)}中有两个元素(4,2)和(1,3),故选B.
(2)定义集合A,B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},试用列举法表示出集合A*B.
解:当x1=1时,x2可以取1或2,则x1+x2=2或3;当x1=2时,x2可以取1或2,则x1+x2=3或4;当x1=3时,x2可以取1或2,则x1+x2=4或5.∴A*B={2,3,4,5}.
[素养小结]用列举法表示集合应注意的三点:(1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素;(2)集合中的元素一定要写全,但不能重复;(3)若集合中的元素是点时,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
角度二 描述法表示集合[探索] 观察下列集合:①不等式x-2≥3的解组成的集合;②函数y=x2-1的图像上的所有点组成的集合.(1)这两个集合能用列举法表示吗?(2)如何表示这两个集合?
解:(1)不能.(2)利用描述法.
例5 用描述法表示下列集合.(1)二次函数y=x2+1的函数值组成的集合A;(2)被3除余2的正整数组成的集合B;(3)正奇数组成的集合C.
解:(1) 函数值组成的集合就是y的取值集合,所以A={y|y=x2+1,x∈R}.(2) 设被3除余2的正整数为x,则x=3n+2,n∈N,所以B={x|x=3n+2,n∈N}.(3) 正奇数x可用式子x=2n-1,n∈N*表示,所以C={x|x=2n-1,n∈N*}.
变式 用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;(2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合.
解:(1) 用描述法表示为{x|2[素养小结](1)用描述法表示集合,应先弄清集合的属性,是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序实数对来代表其元素.(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时,要对新字母说明其含义或指出其取值范围.
1.列举法与描述法的选择当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时,常用列举法表示集合;当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时,常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集,也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1,3,5,7,9,…}.但值得注意的是,并不是每一个集合都可以用这两种方法表示出来.2.元素分析法集合离不开元素,分析元素是解决集合问题的核心,元素分析法就是抓住元素进行分析,即元素是什么?
例 分别指出下列集合中的元素:(1){x|y=x2-1,x∈R};(2){y|y=x2-1,x∈R};(3){(x,y)|y=x2-1,x∈R}.
解:(1)中的集合是由函数的自变量组成的;(2)中的集合是由函数的函数值组成的;(3)中的集合是由抛物线上的点组成的.
3.利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题集合与方程有着密切联系,利用集合中元素的特性,即元素的互异性,可以求出集合中的参数的值.
例 若集合A={-1,3},集合B={x|x2+ax+b=0},且A与B相等,求实数a,b的值.
4.常用列举法和描述法表示集合(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则.(2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.
1.若集合A只含有元素a(a≠0),则下列各式正确的是( )A.0∈A B.a∉A C.a∈AD.a=A
[解析] ∵A中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.
2.集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是 ( )A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
[解析] ∵x∈N,且x<5,∴x的值为0,1,2,3,4,故集合用列举法表示为{0,1,2,3,4}.
3.用描述法表示图1-1-1中阴影部分(包括边界)内的点的坐标的集合是( )A.{-2≤x≤0且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x<0或-2≤y≤0}
[解析] 由阴影知,-2≤x≤0且-2≤y≤0,∴{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}表示题图中阴影部分的点的坐标的集合,故选B.
4.(多选题)下列各对象中,能够组成一个集合的是( )A.函数y=2x(x∈{1,2,3})的函数值B.接近1的有理数C.河北省参加2021年高考报名的学生D.小于0的实数
[解析] 根据集合的概念可知“函数y=2x(x∈{1,2,3})的函数值”“河北省参加2021年高考报名的学生”“小于0的实数”能够组成一个集合.故选ACD.
康托尔是19世纪末20世纪初德国的伟大数学家,集合论的创立者,是数学史上最富有想象力、最具有争议的人物之一.19世纪末,他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统,从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责,然而数学的发展最终证明康托尔是正确的.他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造,集合概念大大扩充了数学的研究领域,给数学结构提供了一个基础,集合论不仅影响了现代数学,也深深影响了现代哲学和逻辑.
1.元素与集合的概念:一般地,我们把研究对象统称为 ,把一些元素 叫作集合,简称为集. 2.集合相等:只要构成两个集合的 是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
知识点一 元素与集合的概念
3.符号表示:常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.4.元素与集合的关系:如果a是集合A的元素,就说a 集合A,记作 ;如果 ,就说a不属于集合A,记作 .
6.集合中元素的三个特性为: 、 、无序性.
5.常用数集及其记法:
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)中国著名的科学家可以组成一个集合.( )(2) 2022年参加北京冬奥会短道速滑的运动员可以组成一个集合.( )
[解析] “中国著名的科学家”是不确定的,不能组成集合.
[解析] “2022年参加北京冬奥会短道速滑的运动员”是确定的,有一个明确的标准,可以组成集合.
(3)不超过2019的非负数可以组成一个集合.( )
[解析]任给一个实数x,可以明确地判断x是不是“不超过2019的非负数”,即“0≤x≤2019”与“x<0或x>2019”,两者必居其一,且仅居其一,故“不超过2019的非负数”能组成一个集合.
2.某中学2021级高一年级8个班组成一个集合A.(1)高一(2)班、高二(8)班是集合A中的元素吗?(2)若a∈A,b∈A,则元素a,b有什么关系?为什么?
解:(1) 因为集合A是由2021级高一年级8个班组成的,所以高一(2)班是集合A中的元素,高二(8)班不是集合A中的元素.(2) a,b是高一年级8个班中两个不同的班.因为集合A中的元素具有互异性,所以a与b是不同的班.
知识点二 集合的表示法
1.列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用 括起来表示集合的方法叫作列举法(注意元素间要用“,”隔开,如{-1,0,1,2}). 2.描述法:设A是一个集合,把集合A中所有具有 特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 ,这种表示集合的方法称为描述法.描述法也可以写成 或 .
【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程(x-1)(x+2)=0的实数根组成的集合只能用列举法表示为{1,-2}.( )(2)由抛物线y=x2+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2+4,x∈N}.( )
[解析]方程(x-1)(x+2)=0的实数根为-2,1,可以用列举法表示为{-2,1},还可以用描述法表示为{x|(x-1)(x+2)=0},所以(1)错误.
[解析]由抛物线y=x2+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合用描述法表示为{(x,y)|y=x2+4,x∈N},(2)正确.
2.(1)集合{x∈R|-1
1.集合概念的疑难点(1)对于集合我们一定要从整体的角度来看待它;(2)构成集合的对象必须是确定的且不同的;(3)元素与集合的关系是“属于”或“不属于”关系.
2.集合的表示法中的问题(1){ }表示“所有的”“全体的”,不能省略,表示集合时,在花括号内不能再写上“全体、所有的”等词语.如实数集可以写成{实数},而不能写成{实数集}或{全体实数};另外,集合中的元素之间用“,”隔开,而不能用“、”,{1,2,3}不能写成{1、2、3}.(2)用列举法表示集合时,不考虑元素的顺序;某些集合用描述法表示时,形式不是唯一的.(3)一个集合用什么方法表示,由集合元素的特点而定.
例1 (1)下列各项中,不可以组成集合的是( )A.所有的正数B.方程x2=1的实数根C.接近于0的数D.不等于0的偶数
[解析]集合中的元素需满足三个要素:确定性、互异性、无序性.“接近于0的数”是不确定的,故接近于0的数不能组成集合,故选C.
[解析]D中的对象都是确定的,而且是不同的,因此D中对象可以组成集合.A中的“近似值”,B中的“学习好”,C中的“难题”标准不明确,不满足确定性,因此A,B,C中的对象都不能组成集合.
变式 (1)由所有能被3整除的数组成的集合为M,则下列数中一定是集合M的元素的是 .(填序号) ①能被2整除的数;②能被6整除的数;③能被-3整除的数;④能被5整除的数.
[解析] 能被2整除的数不一定能被3整除,能被6整除的数一定能被3整除,能被-3整除的数一定能被3整除,能被5整除的数不一定能被3整除,所以一定是集合M的元素的是②③.
(2)已知不等式3x+2>0的解集为M.①试判断元素-1,0与集合M的关系;②若a-1是集合M中的元素,求a的取值范围.
[素养小结](1)判断元素能否构成集合,关键是集合中元素的确定性,即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素,若标准明确则可以构成集合,否则不可以.(2)判断一个元素是否属于某一集合,就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足,就是“属于”关系;若不满足,就是“不属于”关系.特别注意,符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.
例3 已知集合A中含有三个元素x,x+1,1,集合B中含有三个元素x,x2+x,x2,且A与B中的元素相同,求实数x的值.
探究点二 集合中元素的特性
变式 (多选题)[2021·河北沧州一中高一月考] 已知集合M={-2,3x2+3x-4,x2+x-4},若2∈M,则满足条件的实数x可能为( )A.2B.-2C.-3D.1
[解析] 由题意得,2=3x2+3x-4或2=x2+x-4.若2=3x2+3x-4,即x2+x-2=0,则x=-2或x=1,当x=-2时,x2+x-4=-2,与集合中元素的互异性矛盾,舍去;当x=1时,x2+x-4=-2,与集合中元素的互异性矛盾,舍去.若2=x2+x-4,即x2+x-6=0,则x=2或x=-3,经验证x=2或x=-3为满足条件的实数x.故选AC.
[素养小结](1)对于求集合中字母参数的问题,常根据集合中元素的确定性得出字母的所有可能取值,再利用集合中元素的互异性进行检验.(2)在利用集合中元素的特性解题时常用分类讨论思想,注意分类的标准要明确.
角度一 列举法表示集合[探索] 观察下列集合:(1)中国古代四大发明组成的集合;(2)20的所有正因数组成的集合.上述两个集合中的元素能一一列举出来吗?
解:能.(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药.(2)中的元素为1,2,4,5,10,20.
例4 用列举法表示下列集合.(1)15的正约数组成的集合;(2)方程x2=x的所有实数解组成的集合;(3)直线y=x与y=2x-1的交点组成的集合.
变式 (1)若集合A={(4,2),(1,3)},则集合A中元素的个数是( )A.1B.2C.3D.4
[解析] 集合A={(4,2),(1,3)}中有两个元素(4,2)和(1,3),故选B.
(2)定义集合A,B的一种运算:A*B={x|x=x1+x2,其中x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},试用列举法表示出集合A*B.
解:当x1=1时,x2可以取1或2,则x1+x2=2或3;当x1=2时,x2可以取1或2,则x1+x2=3或4;当x1=3时,x2可以取1或2,则x1+x2=4或5.∴A*B={2,3,4,5}.
[素养小结]用列举法表示集合应注意的三点:(1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素;(2)集合中的元素一定要写全,但不能重复;(3)若集合中的元素是点时,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
角度二 描述法表示集合[探索] 观察下列集合:①不等式x-2≥3的解组成的集合;②函数y=x2-1的图像上的所有点组成的集合.(1)这两个集合能用列举法表示吗?(2)如何表示这两个集合?
解:(1)不能.(2)利用描述法.
例5 用描述法表示下列集合.(1)二次函数y=x2+1的函数值组成的集合A;(2)被3除余2的正整数组成的集合B;(3)正奇数组成的集合C.
解:(1) 函数值组成的集合就是y的取值集合,所以A={y|y=x2+1,x∈R}.(2) 设被3除余2的正整数为x,则x=3n+2,n∈N,所以B={x|x=3n+2,n∈N}.(3) 正奇数x可用式子x=2n-1,n∈N*表示,所以C={x|x=2n-1,n∈N*}.
变式 用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合;(2)24的所有正因数组成的集合;(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合.
解:(1) 用描述法表示为{x|2
1.列举法与描述法的选择当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时,常用列举法表示集合;当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时,常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集,也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1,3,5,7,9,…}.但值得注意的是,并不是每一个集合都可以用这两种方法表示出来.2.元素分析法集合离不开元素,分析元素是解决集合问题的核心,元素分析法就是抓住元素进行分析,即元素是什么?
例 分别指出下列集合中的元素:(1){x|y=x2-1,x∈R};(2){y|y=x2-1,x∈R};(3){(x,y)|y=x2-1,x∈R}.
解:(1)中的集合是由函数的自变量组成的;(2)中的集合是由函数的函数值组成的;(3)中的集合是由抛物线上的点组成的.
3.利用集合中元素的特性解决与方程有关的问题集合与方程有着密切联系,利用集合中元素的特性,即元素的互异性,可以求出集合中的参数的值.
例 若集合A={-1,3},集合B={x|x2+ax+b=0},且A与B相等,求实数a,b的值.
4.常用列举法和描述法表示集合(1)根据要表示的集合元素的特点,选择适当方法表示集合,一般要符合最简原则.(2)一般情况下,元素个数无限的集合不宜用列举法表示,描述法既可以表示元素个数无限的集合,也可以表示元素个数有限的集合.
1.若集合A只含有元素a(a≠0),则下列各式正确的是( )A.0∈A B.a∉A C.a∈AD.a=A
[解析] ∵A中只有一个元素a,∴0∉A,a∈A,元素a与集合A的关系不应该用“=”,故选C.
2.集合{x∈N|x<5}的另一种表示方法是 ( )A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5} D.{1,2,3,4,5}
[解析] ∵x∈N,且x<5,∴x的值为0,1,2,3,4,故集合用列举法表示为{0,1,2,3,4}.
3.用描述法表示图1-1-1中阴影部分(包括边界)内的点的坐标的集合是( )A.{-2≤x≤0且-2≤y≤0}B.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}C.{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y<0}D.{(x,y)|-2≤x<0或-2≤y≤0}
[解析] 由阴影知,-2≤x≤0且-2≤y≤0,∴{(x,y)|-2≤x≤0且-2≤y≤0}表示题图中阴影部分的点的坐标的集合,故选B.
4.(多选题)下列各对象中,能够组成一个集合的是( )A.函数y=2x(x∈{1,2,3})的函数值B.接近1的有理数C.河北省参加2021年高考报名的学生D.小于0的实数
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