数学选择性必修 第二册4.2.1 随机变量及其与事件的联系练习

【优编】4.2.1 随机变量及其与事件的联系-2作业练习

一．单项选择

1．已知随机变量有三个不同的取值，其分布列如下表，则的最大值为（    ）

A． B．6 C． D．

2．设a，b为正数，已知随机变量X的分布列如下表格，则（    ）

A．有最大值，有最大值 B．有最大值，无最大值

C．无最大值，有最大值 D．无最大值，无最大值

3．设随机变量的概率为分布列如下表，则（    ）

A． B． C． D．

4．已知随机变量的取值为.若，，则(    )

A． B． C． D．

5．若随机变量X的分布列为

则a的值为（    ）

A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4

6．若随机变量的分布列如下：

则（    ）

A．0.8 B．0.5 C．0.3 D．0.2

7．设随机变量，满足：，，若，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

8．信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（    ）

A．若n=1，则H(X)=0

B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大

C．若，则H(X)随着n的增大而增大

D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)

9．用1．2．3．4．5．6中的两个数分别作为对数的底数和真数，则得到的不同的对数值共有（    ）

A．30个 B．15个 C．20个 D．21个

10．随机变量的分布列如下表所示，若，则(    )

A．4 B．5 C．6 D．7

11．已知离散型随机变量X的分布列为（     ）

则D(X)的最大值是（    ）

A． B． C． D．

12．设随机变量ξ的分布列为P(ξ=i)=a,i=1,2,3,则a的值为（     ）

A．1 B．

C． D．

13．已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（    ）

A． B．

C． D．

14．已知随机变量的分布列如下：

则当在内増大吋（    ）

A．増大 B．減小 C．先増大后減小 D．先減小后増大

15．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（     ）

A． B．

C． D．1

16．随机变量，的分布列如下表，其中，则(    )

A． B．

C． D．无法判断与的大小关系

17．随机变量的分布列如下：

其中a，b，c成等差数列，则（    ）

A．与n有关，有最大值 B．与n有关，有最小值

C．与n无关，有最大值 D．与n无关，有最小值

18．已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】利用分布列的性质求出m，然后求得期望的表达式，利用函数的导数求解最值.

详解：因为，

所以，

所以，

所以，

令，

解得，

当时，，当时，，

所以当，取得最大值为：.

故选：D

【点睛】

本题主要考查离散型随机变量的分布列以及导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

2．【答案】C

【解析】先根据期望和方差的公式，计算出和，然后再分析最大值即可.

详解：由题意易知，，，

，

因为，所以无最大值，

，

当时，有最大值.

故选：C.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

3．【答案】A

【解析】根据概率之和等于1得出的值，再求，即可得出答案.

详解：

由，解得或

故选：A

【点睛】

本题主要考查了离散型随机变量分布列的性质的应用以及求概率，属于基础题.

4．【答案】C

【解析】设，根据，列方程求出，进而求出，即可比较大小.

【详解】

设，

则，则，

解得，，

则，

故，

故选：C.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列．数学期望．方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

5．【答案】B

【解析】根据概率之和为1，列出方程求解，即可得出结果.

详解：由题意可得，，解得.

故选：B.

【点睛】

本题主要考查由离散型随机变量的分布列求参数，属于基础题型.

6．【答案】B

【解析】，由随机变量的分布列能求出结果．

详解：解：由随机变量的分布列知：

．

故选：．

【点睛】

本题考查概率的求法，考查随机变量的分布列的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．

7．【答案】A

【解析】由题意可得：，

解得：，则：。

本题选择A选项.

8．【答案】AC

【解析】对于A选项，求得，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.

详解：对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.

对于B选项，若，则，，

所以，

当时，，

当时，，

两者相等，所以B选项错误.

对于C选项，若，则

，

则随着的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）.

.

由于，所以，所以，

所以，

所以，所以D选项错误.

故选：AC

【点睛】

本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析．思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.

9．【答案】D

【解析】先对真数为1和不为1讨论，再对底数，真数都不为1求解，然后求和.

详解：因为1只能作真数，从其余各数中任取一数为底数，对数值为0，有1个对数式，

从1除外的其余各数中任取两数，分别作为真数和底数，共能组成个对数式，且值不同，

所以共有个.

故选：D

【点睛】

本题主要考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

10．【答案】B

【解析】由于，利用随机变量的分布列列式，求出和，由此可求出，再由，即可求出结果.

详解：解：根据题意，可知：，则，

，即：，

解得：，，

，

则，

所以.

故选：B.

【点睛】

本题考查离散型随机变量的方差的求法，以及离散型随机变量的分布列．数学期望等知识，考查运算求解能力.

11．【答案】C

【解析】根据分布列中概率和为1可得的范围和的值，再求出的表达式，转化成求二次函数在闭区间的最值问题.

详解：，又，

，

，

对称轴为，，

故选：C.

【点睛】

本题考查标准差的最值求解，考查函数与方程思想．转化与化归思想，考查逻辑推理能力．运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.

12．【答案】C

【解析】利用离散型随机变量分布列的性质计算即可.

详解：∵设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝i）＝a？（）i，i＝1，2，3，

∴a＝1，

解得a＝．

故选C．

【点睛】

本题考查离散型随机变量分布列性质的运用，属于简单题．

13．【答案】D

【解析】根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.

【详解】

随机变量满足,,其中.

则随机变量的分布列为:

所以

随机变量,

所以当时,,当时,

所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):

则

当即,解得.所以A．B错误.

恒成立.

所以C错误,D正确

故选:D

【点睛】

本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.

14．【答案】C

【解析】由随机变量的分布列得：，解得，，可得．，利用二次函数的单调性即可得出．

详解：解：由随机变量的分布列得：

，解得，，

，．

，

所以时单调递增，时单调递减，

故选：C．

【点睛】

本题考查了随机变量的分布列期望与方差．二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

15．【答案】C

【解析】根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果

【详解】

由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，

它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，

即P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，

于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝

故选C

【点睛】

本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．

16．【答案】B

【解析】利用方差的概念判断，即数据越集中方差越小，或利用方差的定义直接求解进行比较即可.

详解：法1.利用方差的概念，易知随机变量的分布比随机变量的分布集中，故；

法2. ；，故.

故选：B

此题考查方差的大小比较，属于基础题.

17．【答案】C

【解析】求出的表达式，分析其与的关系，求最值即可．

详解：依题意，，，所以，

．

，

所以，，

所以与无关，且当时，有最大值．

故选：．

【点睛】

本题考查离散型随机变量的方差，二次函数的最值等，考查公式的应用能力与字母运算能力．本题属于中档题．

18．【答案】C

【解析】根据两点分布得，与条件联立解得结果.

详解：因为的分布列服从两点分布，所以，

因为，所以

故选：C

【点睛】

本题考查两点分布，考查基本分析求解能力，属基础题.