高中数学第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.1 随机变量及其与事件的联系导学案

这是一份高中数学第四章 概率与统计4.2 随机变量4.2.1 随机变量及其与事件的联系导学案，共8页。学案主要包含了补偿训练，思路导引等内容，欢迎下载使用。


1．随机变量的概念
随机变量与随机试验的结果的关系是怎样的？
提示：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果，试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是试验结果所对应的数．
2．随机变量与事件的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是任意实数，那么X＝a，X≤b，X>b等都表示事件，而且：
(1)当a≠b时，事件X＝a与X＝b互斥；
(2)事件X≤a与X>a相互对立，因此
P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≤a)) ＋P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X>a)) ＝1.
若a，b都是任意实数，随机变量X提示：都表示事件，相互对立关系．
3．随机变量之间的关系
一般地，如果X是一个随机变量，a，b都是实数且a≠0，则Y＝aX＋b也是一个随机变量．由于X＝t的充要条件是Y＝at＋b，因此P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝t)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y＝at＋b)) ．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)随机变量的取值只能是有限个．( )
(2)试验之前不能判断离散型随机变量的所有值．( )
(3)随机变量是用来表示不同试验结果的量．( )
提示：(1)×.随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．
(2)×.试验之前可以判断离散型随机变量的所有值．
(3)√.
2．(教材二次开发：练习改编)在掷一枚质地均匀的骰子试验中，“出现的点数”是一个随机变量，它有________个取值( )
A．2 B．4 C．6 D．7
【解析】选C.因为掷一枚质地均匀的骰子试验中，所有可能结果有6个，故“出现的点数”这一随机变量的取值为6个．
3．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y( )
A．不一定是随机变量
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值
D．一定是离散型随机变量
【解析】选D.若X是离散型随机变量，根据随机变量之间的关系，则Y必是离散型随机变量．
类型一 随机变量的概念(数学抽象、逻辑推理)
1．投掷一枚1元硬币一次，随机变量为( )
A．掷硬币的次数
B．出现正面向上的次数
C．出现正面向上或反面向上的次数
D．出现正面向上与反面向上的次数之和
【解析】选B.投掷一枚1元硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1.而A项中掷硬币的次数就是1，不是随机变量；C项中的标准模糊不清；D项中出现正面向上和反面向上的次数的和必是1，对应的是必然事件，试验前便知是必然出现的结果，也不是随机变量．
2．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；
②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；
③测量一批电阻，阻值在950～1 200 Ω之间的记为X；
④一个在数轴上随机运动的质点，它离原点的距离记为X.
其中是离散型随机变量的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．①②④
【解析】选A.①②中变量X所有可能的取值是可以一一列举出来的，是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散型随机变量．
3．(多选题)下列随机变量是离散型随机变量的是( )
A．马六甲海峡某天经过的轮船数X
B．某超市5月某电话份每天的销售额X
C．某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ
D．江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ
【解析】选AB.A选项中轮船数X的取值可以一一列出，故X为离散型随机变量；B选项中某超市5月份每天销售额X可以一一列出，故为离散型随机变量；C选项中实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量；D选项中水位在(0，29]这一范围内变化，无法一一列出，故不是离散型随机变量．
离散型随机变量的特征
(1)可用数值表示；
(2)试验之前可以判断其出现的所有值；
(3)在试验之前不能确定取何值；
(4)试验结果能一一列出．
其中，前三项是随机变量的特征．
【补偿训练】
10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
【解析】选C.A中取到产品的件数是一个常量，不是变量，B，D也是一个定值．而C中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．
类型二 随机变量的取值及其表示的事件(逻辑推理、数据分析)
随机变量的取值与表示的事件
【典例】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
【思路导引】分析题意→写出X可能取的值→分别写出取值所表示的结果．
【解析】(1)X＝0表示取的5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
(2)X＝3表示取出的球编号为1，2，3.
X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4.
X＝5表示取出的球编号为
1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5.
1．在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？
【解析】ξ＝10表示取的5个球全是红球；
ξ＝7表示取1个白球，4个红球；
ξ＝4表示取2个白球，3个红球；
ξ＝1表示取3个白球，2个红球．
2．本例(2)中，“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答？
【解析】X可取1，2，3.
X＝3表示取出的3个球的编号为3，4，5；
X＝2表示取出的3个球的编号为2，3，4或2，3，5或2，4，5；X＝1表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或1，2，4或1，3，4或1，2，3.
求随机变量表示事件的概率
【典例】在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得0分，设一名同学回答这三个问题的总得分为X.
(1)求X的取值范围；
(2)若已知这名同学不得分的概率为0.06，能得满分的概率为0.43，求不得0分与不得满分的概率．
【思路导引】利用随机变量表示的事件与互斥事件的概率公式解决．
【解析】这名同学可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，200分，100分，0分．
(1)所以X的取值范围是{300，200，100，0}．
(2)因为事件X>0为“不得0分”，X<300为“不得满分”，所以X＝0与X>0是对立事件，X＝300与X<300是对立事件，
又P(X＝0)＝0.06，P(X＝300)＝0.43，
所以P(X>0)＝1－ P(X＝0)＝1－0.06＝0.94；
P(X<300)＝ 1－P(X＝300)＝1－0.43＝0.57.
随机变量的取值及表示的事件问题的关注点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
(3)求概率的公式：互斥事件与对立事件的概率公式．
1．袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，写出所需要的取球次数；可能的取值及每个取值所表示的事件．
【解析】设所需的取球次数为X，则
X＝1，2，3，4，…，10，11，
X＝i表示前i－1次取到红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，…，11.
2．射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示，已知P(ξ＝0)＝0.3，求P(ξ＝1).
【解析】ξ可能取值为0，1，当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标，这两个事件是对立的，所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝0)＝0.7.
类型三 随机变量的之间的关系问题(逻辑推理、数学运算、数学建模)
【典例】某快餐店的小时工是按照这样的方式获得税前工资的：底薪1 000元，每工作一小时获得30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获得税前月工资为Y元．
(1)当X＝120时，求Y的值；
(2)写出X与Y之间的关系式；
(3)若P(X≤130)＝0.6，求P(Y>4 900)的值．
【思路导引】明确X与Y的含义及它们之间的关系．
【解析】(1)当X＝120时Y＝120×30＋1 000＝4 600.
(2)X与Y之间的关系式为Y＝30X＋1 000.
(3)X≤130⇔30X＋1 000≤4 900，
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤4 900)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≤130)) ＝0.6
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y>4 900)) ＝1－P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤4 900)) ＝1－0.6＝0.4.
两个随机变量关系问题的关注点
(1)衍生关系：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b∈R，a≠0)也是随机变量．
(2)相等关系：P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X＝t)) ＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y＝at＋b)) .
在本例已知条件下，若P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y>4 000)) ＝0.27，求P(X≤100)的值．
【解析】Y>4 000⇔30X＋1 000>4 000⇔X>100，
所以P(X>100)＝P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y>4 000)) ＝0.27，所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X≤100)) ＝1－P(X>100)＝1－0.27＝0.73.
一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，每抽到一个白球加5分，抽到白球的个数为X，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，最终得分为Y.
(1)求X的取值范围；
(2)求最终得分Y的可能取值；
(3)若P(X>2)＝ eq \f(1,12) ，求P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤16)) .
【解析】(1)由题意得，X可能的取值为0，1，2，3，
所以X的取值范围是{0，1，2，3}．
(2)由题意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值为0，1，2，3，所以Y对应的值为5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.即Y的可能取值为6，11，16，21.显然，Y为离散型随机变量．
(3)因为X>2，所以Y＝5X＋6>16，
所以P(Y>16)＝P(X>2)＝ eq \f(1,12) ，
所以P eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Y≤16)) ＝1－ P(Y>16)＝1－ eq \f(1,12) ＝ eq \f(11,12) .
1．下列变量中，不是随机变量的是( )
A．一射击手射击一次命中的环数
B．标准状态下，水沸腾时的温度
C．抛掷两颗骰子，所得点数之和
D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
【解析】选B.水沸腾时的温度是一个确定值，不是随机变量，其他都是随机变量．
2．已知随机变量Y＝2X，且P(X＝1)＝0.1，则P(Y＝2)＝( )
A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．无法确定
【解析】选A.因为随机变量Y＝2X，当X＝1时，Y＝2，所以P(Y＝2)＝ P(X＝1)＝0.1.
3．(教材二次开发：例题改编)抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ＝4表示的事件是( )
A．一枚是3点，一枚是1点
B．两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
【解析】选D.ξ＝4可能出现的结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．
4．一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6.现从中随机取出2个球，以X表示取出的球的最大号码，则“X＝6”表示的事件的样本点是______________________________________．
答案：(1，6)，(2，6)，(3，6)，(4，6)，(5，6)
5．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：
(1)抛掷甲、乙两枚质地均匀的骰子，所得点数之和Y.
(2)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X，所含红粉笔的支数Y.
(3)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，所含有次品的件数X.
【解析】(1)Y的可能取值为2，3，4，…，12，
若以(i，j)表示抛掷甲、乙两枚骰子后，骰子甲得i点且骰子乙得j点，则{Y＝2}表示(1，1)；{Y＝3}表示(1，2)，(2，1)；{Y＝4}表示(1，3)，(2，2)，(3，1)；…；{Y＝12}表示(6，6).
(2)X可取1，2，3.{X＝i}表示“取出i支白粉笔，3－i支红粉笔”，其中i＝1，2，3.Y可取0，1，2.{Y＝j}表示“取出j支红粉笔，3－j支白粉笔”，其中j＝0，1，2.
(3)随机变量X可能的取值为0，1，2，3，4.
{X＝i}表示“取出的4件产品中有i件次品”，
其中i＝0，1，2，3，4.概念
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，而且对于Ω中的每一个样本点，变量X都对应有唯一确定的实数值，就称X为一个随机变量．
表示
随机变量一般用大写英文字母X，Y，Z，…或小写希腊字母ξ，η，ζ，…表示．
取值
随机变量的取值由随机试验的结果决定．
取值
范围
随机变量所有可能的取值组成的集合，称为这个随机变量的取值范围．
分类
离散型随机变量
随机变量的所有可能取值可以一一列举出来．
连续型随机变量
随机变量的取值范围包含一个区间，不能一一列举出来．