高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.1 随机变量及其与事件的联系习题

【优选】4.2.1 随机变量及其与事件的联系-4课堂练习

一．单项选择

1．

随机变量的概率分布规律为其中是常数，则的值为(   )

A．    B．    C．    D．

2．

随机变量的概率分布为，其中是常数，则（   ）

A．    B．    C．    D．

3．

设随机变量的分布列为，，则等于（   ）

A．                       B．                        C．                      D．

4．

已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a．b．c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　)

A．    B．    C．    D．

5．

如果随机变量，且， ，则等于（   ）

A．    B．    C．    D．

6．

设随机变量～B（2，p），η～B（3，p），若，则P（η≥2）的值为（ ）

A．    B．    C．    D．

7．

下列随机变量中，不是离散型随机变量的是(　　)

A．某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数X

B．某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化，该水位监测站所测水位H

C．从装有1红．3黄共4个球的口袋中，取出2个球，其中黄球的个数ξ

D．将一个骰子掷3次，3次出现的点数和X

8．

设，随机变量的分布列是则当在内增大时（    ）

A．减小    B．增大

C．先减小后增大    D．先增大后减小

9．

已知随机变量的分布列为， 则等于(    )

A．    B．    C．    D．

10．

随机变量服从二项分布～，且则等于（   ）

A．    B．    C．1    D．0

11．

从标1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为ξ，那么随机变量ξ可能取的值有        (　　)

A．17个    B．18个    C．19个    D．20个

12．

投掷均匀硬币一枚，随机变量为        (　　)

A．出现正面的次数    B．出现正面或反面的次数

C．掷硬币的次数    D．出现正．反面次数之和

13．在个排球中有个正品，个次品.从中抽取个，则正品数比次品数少的概率为（   ）

A．    B．    C．    D．

【题文】

所以

所以

所以选A

点睛：本题考查了离散型随机变量的分布列．均值与方差的求法，关键是清楚X的分布情况，依次求解，属于简单题。

14．

设离散型随机变量X的分布列为:

则下列各式中成立的是(　　)

A．P(X=1.5)=0    B．P(X>-1)=1    C．P(X<3)=1    D．P(X<0)=0

【题文】

则下列各式中成立的是(　　)

A．P(X=1.5)=0    B．P(X>-1)=1    C．P(X<3)=1    D．P(X<0)=0

【题文】

则下列各式中成立的是(　　)

A．P(X=1.5)=0    B．P(X>-1)=1    C．P(X<3)=1    D．P(X<0)=0

【题文】

则下列各式中成立的是(　　)

A．P(X=1.5)=0    B．P(X>-1)=1    C．P(X<3)=1    D．P(X<0)=0

【题文】

则下列各式中成立的是(　　)

A．P(X=1.5)=0    B．P(X>-1)=1    C．P(X<3)=1    D．P(X<0)=0

15．

小华与另外名同学进行“手心手背”游戏，规则是：人同时随机选择手心或手背其中一种手势，规定相同手势人数更多者每人得分，其余每人得分.现人共进行了次游戏，记小华次游戏得分之和为，则为（   ）

A．    B．    C．    D．

16．

袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量的数字期望是（    ）

A．    B．    C．    D．

17．

已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为，已知，且该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品率为（  ）

A．    B．    C．    D．

18．

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】由题意，由所有概率的和为可得， ，故选.

2．【答案】B

【解析】分析：由已知得可得a值，在求出期望算方差即可.

详解：因为随机变量的概率分布为，故得，故E（X）=,又，而,故= ，选B

点睛：考查分布列的性质和期望．方差的计算，熟悉公式即可，属于基础题.

3．【答案】C

【解析】

试题分析：因,故应选C.

考点：随机变量的概率公式及运用.

4．【答案】A

【解析】由于对称轴在轴左侧，故，故同号，基本事件有.的可能性有三种，，，.故期望值为.故选.

5．【答案】C

【解析】依据贝努力分布的数学期望．方差的计算公式可得方程组： ，则，应选答案C。

点睛：贝努力分布是随机变量的概率分布中的重要分布，求解时充分借助题设条件和贝努力分布中数学期望和方差的计算公式，巧妙建立方程组，通过解方程组求出使得问题巧妙获解。

6．【答案】C

【解析】试题分析：由题给随机变量分布为二项分布，且它们的概率相同，

则；

考点：二项分布的应用。

7．【答案】B

【解析】水位在(0,18]内变化，不能一一举出，故不是离散型随机变量，故选B．

8．【答案】D

【解析】分析：求出随机变量ξ的分布列与方差，再讨论D（ξ）的单调情况．

详解：设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是

E（ξ）=0×+1×+2×=p+；

方差是D（ξ）= ×+×+ ×

=﹣p2+p+

∴p∈（0，）时，D（ξ）单调递增；

p∈（，1）时，D（ξ）单调递减；

∴D（ξ）先增大后减小．

故选：D．

点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合．枚举法．概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得.

9．【答案】D

【解析】∵， ，∴，故选D.

点睛：本题考查离散型随机变量的分布列的应用，考查互斥事件的概率，是一个比较简单的分布列问题，这种题目如果出现则是一个送分题目；根据随机变量的分布列，写出变量等于3，和变量等于4的概率，要求的概率包括两种情况这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果.

10．【答案】B

【解析】试题分析：因为随机变量服从二项分布，所以， ，则，解得。

考点：二项分布。

11．【答案】A

【解析】2支竹签上的数字是1~10中的两个，若其中一个为1，另一个可取2~10，相应X可取得3~11，同理一个为2，另一个可取3~10，相应X可取得5~12，以此类推，可看到X可取得3~19间的所有整数，共17个.

12．【答案】A

【解析】描述随机试验的随机变量有多种形式，不论选取哪一种形式，随机变量可以表示随机试验的所有可能结果，同时随机变量在选定标准之后，它是变化的.掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0，1，故选A；而B中标准模糊不清，C中掷硬币次数是确定的，都不是随机变量；D中对应的事件是必然事件.

答案：A

13．【答案】A

【解析】分析：根据分布列逐一分析每个选项即可得结果.

详解：由分布列可得 ,错； , 错； , 错；，故选A.

点睛：本题主要考查分布列的性质，属于简单题.分布列的主要性质为：所有随机变量对应概率的和为.

14．【答案】B

【解析】分析：首先确定获胜的概率值，然后结合分布列的特征近似相应的概率值，最后求解数学期望即可.

详解：设0表示手背，1表示手心，用5为的二进制数表示所有可能的结果，

其中第一位表示小华所出的手势，后四位表示其余四人的手势，

如下表所示，其中标记颜色的部分为小华获胜的结果.

由古典概型计算公式可知，每次比赛小华获胜的概率为，

可能的取值为，该分布列为超几何分布，

，，

，，

则数学期望：

.

本题选择B选项.

点睛：本题主要考查古典概型的计算，离散型随机变量的期望，超几何分布及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15．【答案】A

【解析】分析：X的可能取值为2，3，求出对应的概率，由此能求出随机变量X的数字期望E（X）．

详解：袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，取后不放回，直到取到有两种不同颜色的球时即终止，用X表示终止取球时所需的取球次数，则X的可能取值为2，3，，，∴随机变量X的数字期望E（X）是，故选A

点睛：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查互斥事件概率加法公式．相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

16．【答案】B

【解析】设10件产品中存在n件次品，从中抽取2件，其次品数为ξ，

由得，

化简得n2？10n+16=0，

解得n=2或n=8.

又该产品的次品率不超过40%，∴n？4，应取n=2，

∴这10件产品的次品率为=20%.故选B.

17．【答案】D

【解析】 根据分布列的性质可知，所有的概率和等于，而，

所以D选项不能作为随机变量的分布列的一组概率取值，故选D.