高中北师大版 (2019)5.2 平面与平面垂直授课课件ppt

6.5．2　平面与平面垂直

[教材要点]

要点一　二面角

　作二面角的平面角的方法

方法一(定义法)　在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角α ­ a ­ β的平面角．

方法二(垂面法)　过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α ­ l ­ β的平面角．

方法三(垂线法)　过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠AFE为二面角A ­ BC ­ D的平面角．

要点二　平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．记作________．

要点三　平面与平面垂直的性质

要点四　平面与平面垂直的判定

　(1)由该定理可知要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证明线面垂直．

(2)两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，也是找出一个平面的垂面的依据．例如，建筑工人在砌墙时，常用一端系有铅锤的线来检查所砌的墙面是否和水平面垂直，实际上，就是依据这个原理．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)已知一条直线垂直于某一个平面，则过该直线的任意一个平面与该平面都垂直．(　　)

(2)两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直．(　　)

(3)如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.(　　)

(4)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ.(　　)

2．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　)

A．平面ABC⊥平面ADC  B．平面ABC⊥平面ADB

C．平面ABC⊥平面DBC  D．平面ADC⊥平面DBC

3．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)

A．m⊥n，m∥α，n∥β  B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α

C．m∥n，n⊥β，m⊂α  D．m∥n，m⊥α，n⊥β

4．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有________对．

题型一　平面与平面垂直的性质定理的应用——师生共研

例1　如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1，

求证：CF⊥平面BDE.

方法归纳

(1)两个平面垂直的性质定理可作为判定线面垂直的依据．当已知两个平面垂直时，可在一个平面内作交线的垂线，即是另一平面的垂线．

(2)证明线面垂直的常用方法：

①线面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理；③a∥b，b⊥α⇒a⊥α.

跟踪训练1　在三棱锥P ­ ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：BC⊥AB.

题型二　平面与平面垂直的判定定理的应用——微点探究

微点1　利用面面垂直的定义证明

例2　如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD.

证明：平面ACD⊥平面ABC.

方法归纳

证明二面角的平面角为直角的判定方法

(1)找出两相交平面的平面角；

(2)证明这个平面角是直角；

(3)根据定义，这两个相交平面互相垂直．

微点2　利用面面垂直的判定定理证明

欲证平面EBD⊥平面ABCD，只需在平面EBD内找到一条直线垂直于平面ABCD，可考虑直线EF.例3　如图，在四棱锥S ­ ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD.

方法归纳

利用判定定理证明面面垂直的一般方法：先从已知条件的直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则需通过作辅助线来解决．

跟踪训练2　如图，三棱柱ABC ­ A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．

证明：平面BDC1⊥平面BDC.

题型三　求二面角——师生共研

例4　

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在平面，C是圆周上不同于A、B的一点，且AB＝2，PA＝BC＝1.

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)求二面角P­BC­A的大小．

变式探究　本例条件不变，试求二面角C­PA­B的大小．

方法归纳

(1)求二面角大小的关键是先找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，最后利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为：作角证明计算．

(2)要在适当位置作出二面角的平面角，就要注意观察二面角两个面的特点，如是否为等腰三角形等．

易错辨析　平面与平面垂直的条件把握不准确致误

例5　[多选题]已知两个平面垂直，则下列说法中正确的有(　　)

A．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线

B．一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线

C．经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直

D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

解析：

如图所示，在正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，对于A，AD1⊂平面AA1D1D，BD⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，且夹角为60°，故A错误；B正确；对于C，A1A⊥平面ABCD，A1A⊂平面A1ABB1，所以平面A1ABB1⊥平面ABCD，C正确；对于D，过平面AA1D1D内的点D1，作D1C，因为AD⊥平面D1DCC1，D1C⊂平面D1DCC1，所以AD⊥D1C，但D1C不垂直于平面ABCD，故D错误．故选BC.

答案：BC

易错警示

5．2　平面与平面垂直

新知初探·课前预习

要点一

两　两个半平面　棱　面　[0°，180°]

要点二

直二面角　α⊥β

要点三

交线　垂直　a⊂α　a⊥l　线面

要点四

垂线　l⊂α

[基础自测]

1．(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2．解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，

所以AD⊥平面DBC.

又因为AD⊂平面ADC，

所以平面ADC⊥平面DBC.

故选D.

答案：D

3.

解析：取正方体ABCD ­ A1B1C1D1，连接AC，A1C1，把AD所在直线看作直线m，BB1所在直线看作直线n，把平面BB1C1C作为平面α，平面AA1C1C作为平面β.对于A虽满足m⊥n，m∥α，n∥β，但α不垂直于β，从而否定A.类似地可否定B和D.

答案：C

4．解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对．

答案：5

题型探究·课堂解透

题型一

例1　证明：如图，设AC∩BD＝G，连接EG，FG.

由AB＝易知CG＝1，则EF＝CG＝CE.

又EF∥CG，所以四边形CEFG为菱形，所以CF⊥EG.

因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.

又平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，

所以BD⊥平面ACEF，CF⊂平面ACEF，

所以BD⊥CF.

又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.

跟踪训练1　

证明：如图所示，在平面PAB内作AD⊥PB于点D.

∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，

∴AD⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.

∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.

又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.

题型二

例2　证明：

由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD.

又△ACD是直角三角形，所以∠ADC＝90°.

如图，取AC的中点O，连接DO，BO，则DO⊥AC，DO＝AO.

又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，

所以∠DOB为二面角D ­ AC ­ B的平面角．

在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，

又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°.

所以平面ACD⊥平面ABC.

例3　证明：如图，连接AC，与BD交于点F，连接EF.

∵F为▱ABCD的对角线AC与BD的交点，∴F为AC的中点．

∵E为SA的中点，∴EF为△SAC的中位线，

∴EF∥SC.

∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.

又∵EF⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.

跟踪训练2　证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.

又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.

由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C.所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.

题型三

例4　解析：(1)证明：∵A，B，C在⊙O上，

∴⊙O所在平面可记为平面ABC，

∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC.

∵C在圆周上，且异于A、B两点，AB是⊙O的直径

∴BC⊥AC.

又AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.

又BC⊂平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC.

(2)由(1)知，BC⊥平面PAC，∵PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC，

又∵AC⊥BC，∴∠PCA为二面角P ­ BC ­ A的平面角．

在Rt△PAC中，PA＝1，AC＝，∠PAC＝90°，

∴tan∠PCA＝，∴∠PCA＝30°，

所以二面角P ­ BC ­ A的大小是30°.

变式探究　解析：∵PA⊥平面ABC.

∴PA⊥AC，PA⊥AB，

∴∠CAB即为二面角C ­ PA ­ B的平面角，

在Rt△ACB中，易知AB＝2，BC＝1，∴AC＝.

∴sin∠BAC＝，

∴∠BAC＝30°，

∴二面角C ­ PA ­ B的大小为30°.