高中北师大版 (2019)第六章 立体几何初步5 垂直关系5.2 平面与平面垂直练习题

【特供】5.2 平面与平面垂直-1练习

一．填空题

1．如图，正三棱柱中，，若二面角的大小为，则点到直线距离为______.

2．在四面体中，，当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________.

3．正方体棱长为3，点在边上，且满足，动点在正方体表面上运动，并且总保持，则动点的轨迹的周长为______．

4．在四棱锥中，底面为正方形，底面，且．为棱上的动点，若的最小值为，则______．

5．长方体的八个顶点均在同一个球面上，，则两点间的球面距离为______．

6．正方体中，异面直线与所成角的大小为________.

7．已知点是边长为1的等边三角形所在平面外一点，且，则点到平面的距离是________________；

8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑中，平面，且有，，，点是上的一个动点，则的面积的最小值为________.

9．正四棱柱的底面边长，若直线与底面所成的角的大小为，则正四棱柱的侧面积为________

10．已知等边的边长为，，分别为，的中点，将沿折起得到四棱锥.点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为______.

11．如图，平面，为正方形，且，，分别是线段，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．

12．如图，天花板上悬挂着灯管，，灯线，为了提高灯管高度，将灯管绕过中点的铅垂线旋转，则该灯管升高了______.

13．在三棱锥中，是边长为4的正三角形，，平面分别与，，，交于，，，且，分别是，的中点，如果直线平面，那么四边形的面积为______．

14．已知正方体的棱长为1，则平面和平面的距离为________.

15．《九章算术》中称四个面均为直角三角形的四面体为鳖臑，如图所示，若四面体为鳖臑，且平面，，则与平面所成角大小为________（结果用反三角函数值表示）

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据二面角的定义，找到二面角的平面角，即可求解.

【详解】

由为正三棱柱可知，为正三角形，且,取的中点为，连接,所以,所以即为二面角的平面角，所以，在中，所以点到直线距离为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查二面角的平面角的作法，考查作图能力与运算求解能力，属于基础题.

2．【答案】；

【解析】先利用勾股定得出是以为斜边的直角三角形，求得其外接圆的直径，再由平面时，四面体的体积取得最大值，求得外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解．

【详解】

由题意，可知，则,

所以是以为斜边的直角三角形，且该三角形的外接圆的直径为，

当平面时，四面体的体积取得最大值，

此时外接球的直径为,

所以四面体的外接球的表面积为．

【点睛】

本题主要考查了球的表面积的计算，以及球的组合体的性质的应用，其中解答中选择合适的几何模型，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．

3．【答案】

【解析】在棱上分别取点，使得，得到点的轨迹为，即可求得轨迹的周长，得到答案.

【详解】

由题意，在正方体中，可得平面，

在棱上分别取点，使得，

分别连接，则，

所以平面平面，所以平面，

即点的轨迹为等边，

又由正方体的棱长为3，所以,

所以，所以的周长为，

即点的轨迹的周长为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了正方体的几何性质的应用，以及线面垂直关系的应用，其中解答中熟练应用正方体的结构特征，得到点的运动轨迹是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.

4．【答案】3

【解析】由,可得平面,则将沿棱翻折至与底面共面，点在AB的延长线上，则问题转化为上的动点到定点，的距离和的最小值，显然当三点共线时最小，即可计算求解.

【详解】

易证平面，则，将沿棱翻折至与底面共面，如图所示．设，则，当，，三点共线时，取得最小值，故，解得，则．

【点睛】

几何体中，最短路径问题通常将曲面展开，研究两点连线最短的问题，从而将曲面的最短路径问题转化为平面最短路径问题.

5．【答案】

【解析】先计算球半径为，再计算夹角为，利用球面距离公式计算得到答案.

【详解】

如图所示：

设球心为，在中：则

球面距离为：

故答案为：

【点睛】

本题考查了外接球问题，计算球半径是解题的关键.

6．【答案】

【解析】画出空间几何体,根据线面关系即可求得异面直线与所成角的大小.

【详解】

根据题意,画出空间几何体如下图所示:

连接

则由为正方体可知

所以平面

又因为

所以,即异面直线与所成角的大小为

故答案为:

【点睛】

本题考查了空间几何体中异面直线的夹角,先观察位置关系,再通过证明垂直等也是求得角度的一种方法,属于基础题.

7．【答案】

【解析】由于，所以点在平面的射影为底面等边三角形的重心，设重心为点，所以，，在三角形求解。

【详解】

解：设等边三角形的重心为点，连接

因为且，

所以，平面

所以，

在等边中，

在中，。

【点睛】

点到面的距离常见解决方法是：1.找出点到面的距离对应线段；2.等体积法求解。

8．【答案】

【解析】作于,于,连接,由题意可得,,，易得平面,即,故求面积的最小值转化为求出的最小值即可.

【详解】

作图如下：

作于,

于,

连接,

在鳖臑中，

平面，

且有，

，

，

所以,

,

易得,

,

又,

故平面,

所以,

，

即,

所以.

设,

则,

因为,

所以,

当时,

最小为.

因为,

所以最小为时,

有最小值为.

故答案为:

【点睛】

本题重点考查线面垂直的判定与性质的灵活运用,通过作辅助线把求面积的最小值转化为求的最小值和得到等量关系是求解本题的关键;属于综合性强型试题.

9．【答案】32

【解析】根据线面垂直关系．线面角的定义可知，从而得到，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.

【详解】

四棱柱为正四棱柱

四边形为正方形，平面

直线与底面所成角为   

正四棱柱的侧面积：

故答案为：

【点睛】

本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题.

10．【答案】

【解析】折叠为空间立体图象，得出四棱锥的外接球的球心，求得四棱锥的外接球的半径，则，由此能求出四棱锥的体积的最大时，点到平面距离的最大值．

【详解】

由题意得，取的中点,

则是等腰梯形外接圆圆心，是的外心，

作平面，平面，

则是四棱锥的外接球的球心，且，

设四棱锥的外接球半径为，则，

，

所以当四棱锥的体积最大时，

点到平面距离的最大值．

【点睛】

本题主要考查了折叠问题与几何体的性质，同时考查了面面垂直．线面垂直的判定定理和性质定理的应用，以及点到平面距离的计算，对于立体几何问题中点到平面的距离常转化为几何体的高，构造方程方程求解，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题．

11．【答案】

【解析】作BD的平行线FG,即可证明 （或其补角）就是异面直线与所成的角，计算出EF,EG,FG的长度，在△EFG中，利用余弦定理即可求解.

【详解】

如图，取的中点，连接，，,则，通过异面直线所成角的性质可知 （或其补角）就是异面直线与所成的角．

设，则，同理可得．

又，所以在中，，

故异面直线与所成角的余弦值为．

【点睛】

用平移法求异面直线所成角的3个步骤

(1)一作：即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

(2)二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

12．【答案】10

【解析】先求出,然后在中根据勾股定理求，则即为灯管上升的高度.

【详解】

由题意可知，平面,,所以为正三角形，即,在中，,所以,故该灯管升高了10.

故答案为：10

【点睛】

本题主要考查立体几何知识在实际生活中的应用，关键是建立几何模型，考查空间想象能力与运算求解能力，属于中档题.

13．【答案】10

【解析】取的中点为，连接，可证，根据平面及为中点可证也为中点，从而四边形为矩形，最后根据题设中的数据可求矩形的面积.

【详解】

取的中点为，连接，因为，，

所以，同理，因为，

所以平面，因为平面，所以.

因为平面，平面平面，平面，

所以，因，故，同理.

所以，所以四边形为平行四边形.

又，故，故 ，所以四边形为矩形.

而，

所以矩形的面积为.

故答案为：10.

【点睛】

空间中线线平行的证明有如下方法：

（1）利用平面几何的知识，如果三角形的中位线．梯形的中位线．同一平面中两条直线平行的判定方法等；

（2）利用线面平行的性质定理；

（3）利用面面平行的性质定理；

（4）同垂直于一个平面的两条直线相互平行.

而线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.

14．【答案】1

【解析】由正方体的性质得AB为平面和平面的距离

【详解】

因为正方体的对面互相平行，AB均于平面和平面垂直，故AB为平面和平面的距离，即为1

故答案为：1.

【点睛】

本题考查正方体的基本性质，考查空间中线线．线面．面面间的位置关系等基础知识，是基础题．

15．【答案】

【解析】先由线面垂直判定定理，得到平面，推出为与平面所成角，再由题中数据，即可得出结果.

【详解】

因为平面，所以；

又四面体四个面均为直角三角形，，

所以，

又，平面，平面；

所以平面，所以，

因此为与平面所成角，

又，

所以，

因此与平面所成角大小为

【点睛】

本题主要考查直线与平面所成的角，根据线面角的定义找出线面角，即可求解，属于常考题型.