必修 第二册5.2 平面与平面垂直第1课时同步测试题

课后素养落实(四十九)　平面与平面垂直的性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是(　　)

A．60°　　　　 B．120°

C．60°或120°  D．不确定

C　[∵PE⊥α，PF⊥β，∴P，E，F三点确定的平面垂直于α和β.过点E作l的垂线，垂足为O，连接OF，易知l⊥OF且P，E，O，F四点共面，则∠FOE为二面角的平面角，如图1所示．

图1

此时，∠FOE＋∠EPF＝180°，所以二面角α­l­β的平面角为120°.

当点P的位置如图2所示时，

图2

此时∠FOE＝∠EPF，所以二面角α­l­β的平面角为60°.]

2.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是(　　)

A．EF⊥平面α

B．EF⊥平面β

C．PQ⊥GE

D．PQ⊥FH

B　[因为EG⊥平面α，PQ⊂平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ⊂平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.]

3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出如下命题，其中正确命题的个数为(　　)

①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；

②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；

③若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；

④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.

A．1     B．2

C．3     D．4

B　[根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中，α，β可能平行，也可能相交，不正确；③中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，只可能有m∥α，正确；④中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．综上，可知正确命题的个数为2，故选B.]

4．在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC，AD＝CD，则BD与CC1(　　)

A．平行     B．共面

C．垂直     D．不垂直

C　[如图所示，在四边形ABCD中，∵AB＝BC，AD＝CD.∴BD⊥AC.∵平面AA1C1C⊥平面ABCD，平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AA1C1C.又CC1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥CC1，故选C.]

5.如图，二面角α­l­β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是(　　)

A．     B．

C．     D．

B　[如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l，则∠ACO为二面角α－l－β的平面角，∠ABC为AB与l所成的角．

设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ.由图得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝.]

二、填空题

6.如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中：

(1)二面角D′­AB­D的大小为________．

(2)二面角A′­AB­D的大小为________．

(1)45°　(2)90°　[(1)在正方体ABCD­A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′­AB­D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′­AB­D的大小为45°.

(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′­AB­D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′­AB­D的大小为90°.]

7．已知三棱锥D­ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D­BC­A的大小为__________．

90°　[如图，由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.

取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角．

易得AE＝DE＝，又AD＝2，所以DE2＋AE2＝AD2，即∠DEA＝90°，即所求二面角的大小为90°.]

8.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，则cos α∶cos β＝________．

　[由题意，两个矩形的对角线长分别为5，2，所以cos α＝＝，cos β＝，所以cos α∶cos β＝∶2.]

三、解答题

9．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求二面角B­A1C1­B1的正切值．

[解]　如图，取A1C1的中点O，连接B1O，BO.

由题意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，

所以BO⊥A1C1，所以∠BOB1是二面角B­A1C1­B1的平面角．

因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1⊂平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.

设正方体的棱长为a，则OB1＝a，

在Rt△BB1O中，tan ∠BOB1＝＝＝，

所以二面角B­A1C1­B1的正切值为.

10.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上．

(1)当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；

(2)求证：PE⊥AC.

[证明]　(1)连接BD，交AC于点O，连接MO，

∵M为PD中点，O为BD中点，∴PB∥MO.

又∵MO⊂面ACM，PB⊄面ACM，∴PB∥面ACM.

(2)∵△PAB为正三角形，E为AB的中点，∴PE⊥AB.

又∵面PAB⊥面ABCD且相交于AB，

∴PE⊥面ABCD，又AC⊂面ABCD，∴PE⊥AC.

11.如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在(　　)

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

A　[在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴D在平面ABC内的射影H必在直线AB上．故选A.]

12．在三棱锥P­ABC中，PC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为(　　)

A．2     B．2

C．4     D．4

B　[如图，连接CM，则由题意PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝ ，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时CM有最小值，此时有CM＝4×＝2，所以PM的最小值为2.]

13.如图，直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为_______．

　[如图，连接BC，∵二角面α­l­β为直二面角，

AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β.

又BC⊂β，

∴AC⊥BC，

∴BC2＝AB2－AC2＝3，

又BD⊥CD，

∴CD＝＝.]

14.如图，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．

6　[∵CA＝CB，O为AB的中点，∴CO⊥AB.

又平面ABC⊥平面ABD，交线为AB，∴CO⊥平面ABD.

∵OD⊂平面ABD，∴CO⊥OD，∴△COD为直角三角形．

所以图中的直角三角形有△AOC，△COB，△ABC，△AOD，△BOD，△COD共6个．]

15.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC，且AC＝BC.

(1)求证：AM⊥平面EBC；

(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．

[解]　(1)证明：∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，

∴BC⊥平面ACDE.

又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.

∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.

又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.

(2)如图，取AB的中点F，连接CF，EF.

∵EA⊥AC，平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，

∴EA⊥平面ABC，∵CF⊂平面ABC，∴EA⊥CF.

又AC＝BC，∴CF⊥AB.

∵EA∩AB＝A，

∴CF⊥平面AEB，

∴∠CEF即为直线EC与平面ABE所成的角．

在Rt△CFE中，CF＝，FE＝，tan ∠CEF＝＝.