北师大版 (2019)必修 第二册5.2 平面与平面垂直教课内容ppt课件

5.2　平面与平面垂直

课后篇巩固提升

基础达标练

1.过平面α外两点且垂直于平面α的平面(　　)

A.有且只有一个 B.有一个或两个

C.有且仅有两个 D.有一个或无数个

答案D

2.下列命题中正确的是(　　)

A.平面α和β分别过两条互相垂直的直线,则α⊥β

B.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条平行直线,则α⊥β

C.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线,则α⊥β

D.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β

解析当平面α和β分别过两条互相垂直且异面的直线时,平面α和β有可能平行,故A错;由平面与平面垂直的判定定理知,B,D错,C正确.

答案C

3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成三棱锥A-BCD,则在三棱锥A-BCD中,下列结论正确的是(　　)

A.平面ABD⊥平面ABC

B.平面ADC⊥平面BDC

C.平面ABC⊥平面BDC

D.平面ADC⊥平面ABC

解析由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,

又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,

所以CD⊥平面ABD,

从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC.

又AB⊂平面ABC,

所以平面ABC⊥平面ADC.

答案D

4.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,则CD=　　　　　. 

解析如

图,取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.

当平面ADB⊥平面ABC时,

因为平面ADB∩平面ABC=AB,

所以DE⊥平面ABC.

又CE⊂平面ABC,可知DE⊥CE.

由已知可得DE=,EC=1,

在Rt△DEC中,CD==2.

答案2

5.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求证:BC⊥AB.

证明如

图,在平面PAB内,作AD⊥PB于D.

因为平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB.

所以AD⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC,

所以AD⊥BC.

又因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,

所以PA⊥BC,

又因为PA∩AD=A,所以BC⊥平面PAB.

又AB⊂平面PAB,所以BC⊥AB.

能力提升练

1.(多选)在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论中正确的是(　　)

A.BC∥平面PDF 

B.DF⊥平面PAE

C.平面PDF⊥平面ABC 

D.平面PAE⊥平面ABC

解析如

图所示,因为BC∥DF,DF⊂平面PDF,BC⊄平面PDF,

所以BC∥平面PDF,所以A正确.

由BC⊥PE,BC⊥AE,AE∩PE=E,

所以BC⊥平面PAE,

所以DF⊥平面PAE,所以B正确.

因为BC⊂平面ABC,BC⊥平面PAE,

所以平面ABC⊥平面PAE,所以D正确.

答案ABD

2.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,则线段AN的长为　　　　　,线段MN的长为　　　　　. 

解析由

题意可知在△ADN中,∠ADN=90°,因此AN=;再取CD的中点G,连接MG,NG,因为ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MG⊥CD,MG=2,NG=.

因为平面ABCD⊥平面DCEF,且平面ABCD∩平面DCEF=CD,所以MG⊥平面DCEF,可得MG⊥NG,

所以MN=.

答案

3.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点.

(1)求证:BD⊥平面PAC;

(2)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE;

(3)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由.

(1)证明因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.

又因为底面ABCD为菱形,所以BD⊥AC.

所以BD⊥平面PAC.

(2)证明因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,

所以PA⊥AE.

因为底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,且E为CD的中点,所以AE⊥CD.

所以AB⊥AE.

所以AE⊥平面PAB.

所以平面PAB⊥平面PAE.

(3)解棱PB上存在点F,使得CF∥平面PAE.

取F为PB的中点,取G为PA的中点,连接CF,FG,EG.

则FG∥AB,且FG=AB.

因为底面ABCD为菱形,且E为CD的中点,所以CE∥AB,且CE=AB.

所以FG∥CE,且FG=CE.

所以四边形CEGF为平行四边形.所以CF∥EG.

因为CF⊄平面PAE,EG⊂平面PAE,

所以CF∥平面PAE.

素养培优练

图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.

(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;

(2)求图2中的四边形ACGD的面积.

(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.

由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,故AB⊥平面BCGE.

又因为AB⊂平面ABC,

所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.

因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,

故DE⊥CG.

由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.

因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.