高中数学第六章 立体几何初步5 垂直关系5.1 直线与平面垂直练习

这是一份高中数学第六章 立体几何初步5 垂直关系5.1 直线与平面垂直练习，共19页。试卷主要包含了1　直线与平面垂直等内容，欢迎下载使用。


第六章　立体几何初步

§5　垂直关系
5.1　直线与平面垂直
基础过关练
题组一　直线与平面垂直的性质与判定
1.m,n是空间两条不同的直线,α,β是空间两个不同的平面,下面有四种说法:
①m⊥α,n∥β,α∥β⇒m⊥n;
②m⊥n,α∥β,m⊥α⇒n∥β;
③m⊥n,α∥β,m∥α⇒n⊥β;
④m⊥α,m∥n,α∥β⇒n⊥β.
其中正确说法的个数是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 B.2 C.3 D.4
2.(2020湖北武汉二中高一下期末)如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在的平面,那么MA与BD的位置关系是(　　)

A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
3.(2020四川德阳一中高一下期末)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(　　)
A.AC B.BD C.A1D D.A1A
4.(2020山西太原一中高一下期末)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为BC、CD的中点,H是EF的中点.现沿AE、AF、EF把这个正方形折成一个几何体,使B、C、D三点重合于点G,则下列结论中成立的是(　　)

A.AG⊥平面EFG B.AH⊥平面EFG
C.GF⊥平面AEF D.GH⊥平面AEF
5.下列说法正确的有　　　　(填序号). 
①垂直于同一个平面的两条直线平行;
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直;
③若l与平面α不垂直,则平面α内一定没有直线与l垂直.
6.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA⊥平面ABCD,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.求证:AE⊥SB.


题组二　直线与平面所成的角
7.(2020湖南湘潭高一下期末)如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的投影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是(　　)

A.60° B.45° C.30° D.120°
8.(2020陕西西安工业大学附中高一下期末)从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,斜足分别为A,B,C,如果这些斜线与平面成等角,有如下结论:
①△ABC是正三角形;②垂足是△ABC的内心;
③垂足是△ABC的外心;④垂足是△ABC的垂心.
其中正确结论的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
9.(2020广西桂林一中高一下期末)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AD的中点,F是BB1的中点,则直线EF与平面ABCD所成的角的正切值为　　　　. 





10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知AA1=2AB,求CD与平面BDC1所成的角的正弦值.















能力提升练
题组一　直线与平面垂直的性质与判定
1.(2019河北唐山高二上期末考试,)如图,在以下四个正方体中,直线AB与平面CDE垂直的是(　　)


　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.①② B.②④
C.①③ D.②③
2.(多选)()如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB的中点,则下列结论正确的有　(　　)

A.BC⊥平面PAB B.AD⊥PC
C.AD⊥平面PBC D.PB⊥平面ADC
3.()已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行四边形ABCD一定是　　　　. 
4.(2018安徽萧县一中高一期中,)如图所示,将平面四边形ABCD沿对角线BD折成空间四边形,当平面四边形ABCD满足　　　　时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.(填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能情况) 

5.(2020吉林长春一中高一调研,) 如图,在直三棱柱A1B1C1-ABC中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=2,D是A1B1的中点.
(1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;
(2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.





题组二　直线与平面所成的角
6.()把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点的棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为(　　)
A.90° B.60°
C.45° D.30°
7.(2020广东惠州高一期中,)如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是(　　)

A.AC⊥SB
B.AB∥平面SCD
C.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
8.(2019天津耀华中学高一上期中检测,)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则AB1与平面ABC1D1所成的角的正弦值为(　　)
A.255 B.25
C.105 D.12
9.(2019河北唐山高二上期末,)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=a,求直线PB与平面PCD所成的角的大小.










题组三　直线与平面垂直的综合应用
10.(2020四川成都实验中学高二下期中,)设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列说法正确的是(　　)
A.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
B.若l⊥m,m⊂α,则l⊥α
C.若l∥α,m⊂α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
11.(2020重庆涪陵高一下期末,)三棱柱A1B1C1-ABC中,侧棱AA1垂直于底面A1B1C1,底面A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是(　　)

①CC1与B1E是异面直线;
②AE与B1C1是异面直线,且AE⊥B1C1;
③AC⊥平面ABB1A1;
④A1C1∥平面AB1E.
A.② B.①③ C.①④ D.②④
12.(2020湖北黄冈中学高一下期中,)如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是(　　)

A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定
13.(2020山东青岛二中高二下期末,)如图,AB为☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.
(1)求证:AN⊥平面PBM;
(2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证:NQ⊥PB.












14.(2020北京石景山高一下期末,)如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点.
(1)求证:BM∥平面PAD;
(2)在平面PAD内是否存在一点N,使MN⊥平面PBD?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由.









§5　垂直关系
5.1　直线与平面垂直
基础过关练
1.B
2.C
3.B
4.A
7.A
8.A





1.B　①正确,因为n∥β,α∥β,
所以n在α内或在α内有与n平行的直线,
又m⊥α,所以m⊥n;
②错误,α∥β,m⊥α⇒m⊥β,因为m⊥n,所以n∥β或n⊂β;
③错误,因为m⊥n,α∥β,m∥α,所以n⊂β或n∥β或n与β相交;
④正确,由m⊥α,α∥β,得m⊥β,因为m∥n,所以n⊥β.
2.C　因为四边形ABCD为菱形,所以DB⊥AC,又MC⊥平面ABCD,所以MC⊥BD.又AC∩MC=C,所以BD⊥平面ACM.又AM⊂平面AMC,所以BD⊥AM,又BD与AM不共面,所以MA与BD垂直但不相交.
3.B　如图所示,连接AC,BD,易知BD⊥AC,BD⊥A1A,又A1A∩AC=A,所以BD⊥平面ACC1A1.
因为CE⊂平面ACC1A1,所以BD⊥CE.

4.A　∵B、C、D重合于点G,∴AG⊥GF,AG⊥GE,GF∩GE=G,∴AG⊥平面EFG.
5.答案　①②
解析　显然①正确.由线面垂直的定义可得②正确.
如图,PO⊥α,l与平面α不垂直,但a⊂α,l⊥a,故③不正确.

6.证明　因为SA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以SA⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.
因为SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.
因为AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.
因为SC⊥平面AGFE,AE⊂平面AGFE,
所以SC⊥AE.
又因为BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC.
而SB⊂平面SBC,所以AE⊥SB.
7.A　由题图可知,∠ABO即为斜线段AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=12,即∠ABO=60°.
8.A　设平面ABC外一点P及其在该平面内的投影O,则PO⊥平面ABC.由已知可得△PAO,△PBO,△PCO全等,所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心,只有③正确.
9.答案　55
解析　连接EB,由BB1⊥平面ABCD知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中,BF=1,BE=5,则tan∠FEB=55.
10.解析　如图,设AA1=2AB=2,连接AC交BD于点O,连接OC1,A1C1,过点C作CH⊥OC1于点H,连接DH.

因为BD⊥AC,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,
所以BD⊥平面ACC1A1.
因为CH⊂平面ACC1A1,所以CH⊥BD.
又CH⊥OC1,OC1∩BD=O,OC1,BD⊂平面BDC1,所以CH⊥平面BDC1.
所以∠CDH即为CD与平面BDC1所成的角.
又OC1=CC12+OC2=22+222=322,
由等面积法,得12OC1·CH=12OC·CC1,解得CH=23,所以sin∠CDH=CHCD=23.
故CD与平面BDC1所成的角的正弦值为23.
能力提升练
1.B
2.ABC
6.C
7.D
8.B
10.A
11.A
12.C



1.B　对于①,由AB与CE所成的角的大小为45°,可得直线AB与平面CDE不垂直;
对于②,由AB⊥CE,AB⊥ED,且CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;
对于③,由AB与CE所成的角的大小为60°,可得直线AB与平面CDE不垂直;
对于④,连接AC,易得ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理,EC⊥AB,且ED∩EC=E,可得AB⊥平面CDE.故选B.
2.ABC　∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,
又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,
∴BC⊥平面PAB,故A正确;
由BC⊥平面PAB,得BC⊥AD,
∵PA=AB,D是PB的中点,∴AD⊥PB,
又PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,
∴AD⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,
∴AD⊥PC,故B,C正确;
由BC⊥平面PAB,得BC⊥PB,
因此PB与CD不垂直,
从而PB不与平面ADC垂直,D错误.
故选ABC.
3.答案　菱形
解析　如图,因为PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥PA,又BD⊥PC,PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC.又AC⊂平面PAC,所以BD⊥AC,所以平行四边形ABCD为菱形.

4.答案　AC⊥BD(答案不唯一)
解析　在平面四边形ABCD中,设AC与BD交于点E,假设AC⊥BD,则AE⊥BD,CE⊥BD.沿BD折叠后(如图),AE与BD,CE与BD依然垂直,所以BD⊥平面AEC,所以AC⊥BD.故当平面四边形ABCD满足AC⊥BD时,空间四边形中的两条对角线互相垂直.

5.解析　(1)证明:∵三棱柱A1B1C1-ABC是直三棱柱,∠ACB=90°,
∴A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°,
AA1⊥平面A1B1C1.
∵C1D⊂平面A1B1C1,∴AA1⊥C1D.
∵D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1B1.
又A1B1∩AA1=A1,
∴C1D⊥平面AA1B1B.
(2)当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.
证明:如图,作DE⊥AB1于点E,延长DE交BB1于点F,连接C1F.
由(1)知C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,∴C1D⊥AB1.
又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,
∴AB1⊥平面C1DF.
易知AA1=A1B1=2,
∴四边形AA1B1B为正方形.
又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,
∴F为BB1的中点.
∴当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.

6.C　如图,当DO⊥平面ABC时,三棱锥D-ABC的体积最大.

易知∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角.
∵在Rt△DOB中,OD=OB,
∴直线BD和平面ABC所成的角的大小为45°.
7.D　A中结论正确,因为SD⊥平面ABCD,而AC⊂平面ABCD,所以AC⊥SD.又四边形ABCD为正方形,所以AC⊥BD,而BD∩SD=D,所以AC⊥平面SBD.所以AC⊥SB.
B中结论正确,因为AB∥CD,而CD⊂平面SCD,AB⊄平面SCD,所以AB∥平面SCD.
C中结论正确,设AC与BD的交点为O,连接SO,如图,则SA与平面SBD所成的角为∠ASO,SC与平面SBD所成的角为∠CSO,易知∠ASO=∠CSO,故SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角.
D中结论不正确,AB与SC所成的角是∠SCD,而DC与SA所成的角是∠SAB,易知∠SCD≠∠SAB.故所成的角不相等.

8.B　如图所示,作B1H⊥BC1于点H,连接AH,

∵AB⊥平面BCC1B1,B1H⊂平面BCC1B1,
∴AB⊥B1H.
又∵B1H⊥BC1,BC1∩AB=B,
∴B1H⊥平面ABC1D1,
∴AB1与平面ABC1D1所成的角为∠B1AH,
在Rt△BB1C1中,BB1=1,B1C1=2,
由等面积法得到B1H=25,AB1=5,
∴∠B1AH的正弦值为B1HAB1=25.故选B.
9.解析　将原棱锥补为正方体ABCD-PB1C1D1,如图所示,连接CB1,易知平面PCD即为平面PB1CD,作BF⊥CB1于点F.

∵CD⊥平面B1BCC1,∴CD⊥BF,
又CB1∩CD=C,∴BF⊥平面PB1CD.
连接PF,则∠BPF就是直线PB与平面PCD所成的角.
∵BB1=BC=AB=a,
∴BF=22a,PB=2a,∴sin∠BPF=12,∴∠BPF=30°.
∴直线PB与平面PCD所成的角的大小为30°.
10.A　选项A中,两条直线平行,其中一条直线垂直于一个平面,另一条直线必垂直于这个平面,故A正确;选项B中,直线和平面内一条直线垂直不足以判定这条直线和这个平面垂直,而是需要直线与平面内两条相交直线都垂直才能判定,故B错误;选项C中,直线与平面平行并不意味着这条直线和平面内任意一条直线都平行,故C错误;选项D中,两条直线分别和同一个平面平行,则这两条直线可能平行、相交或异面,故D错误.故选A.
11.A　对于①,CC1,B1E都在平面BB1C1C内,两直线必相交,故错误;对于②,AE,B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线,故AE与B1C1是异面直线,底面A1B1C1是正三角形,E是BC中点,所以AE⊥BC,所以AE⊥B1C1,故正确;对于③,上底面ABC是一个正三角形,不可能存在AC⊥平面ABB1A1,故错误;对于④,因为A1C1∥AC,AC∩平面AB1E=A,所以A1C1与平面AB1E不平行,故错误.
12.C　∵α∩β=l,∴l⊂α,又BA⊥α,∴BA⊥l.
同理BC⊥l.又BA∩BC=B,∴l⊥平面ABC.
∵AC⊂平面ABC,∴l⊥AC.
13.证明　(1)∵AB为☉O的直径,
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM,∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM=A,∴BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM,∴BM⊥AN.
又AN⊥PM,且BM∩PM=M,
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM,PB⊂平面PBM,∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB,AN∩AQ=A,
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ,
∴NQ⊥PB.
14.解析　(1)证明:取PD的中点E,连接EM,AE.

则EM∥CD且EM=12CD,
因为CD⊥AD,AB⊥AD,所以AB∥CD,
又AB=12CD,所以EM?AB.
所以四边形ABME是平行四边形,
所以BM∥AE.
因为AE⊂平面PAD,BM⊄平面PAD,
所以BM∥平面PAD.
(2)存在,点N为AE的中点.理由如下:
因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB.
又AB⊥AD,AD∩PA=A,
所以AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD.
因为PA=AD,E是PD的中点,所以PD⊥AE,又AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABME.
连接BE,作MN⊥BE,交AE于点N,则PD⊥MN,又PD∩BE=E,PD⊂平面PBD,BE⊂平面PDB,所以MN⊥平面PBD.易知△BME∽△MEN,而BM=AE=2,EM=12×CD=1,所以ENEM=EMMB,即EN=EM2MB=12=22.所以AN=22,即点N为AE的中点.