高中数学北师大版 (2019)必修 第二册5.1 直线与平面垂直第1课时巩固练习

课后素养落实(四十七)　直线与平面垂直的性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．空间中直线l和三角形ABC所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边AB的位置关系是(　　)

A．平行    B．垂直    C．相交    D．不确定

B　[因为直线l和三角形所在的平面垂直，又因为三角形的边AB在这个平面内，所以l⊥AB.]

2．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为(　　)

①a⊥ α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.

A．1    B．2    C．3    D．0

B　[由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③不正确．]

3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)

A．相交     B．平行

C．异面     D．相交或平行

B　[∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．]

4．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线(　　)

A．平行     B．相交

C．异面     D．以上皆有可能

D　[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．故选D.]

5．给出下列三个命题，其中正确的个数是(　　)

①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；

②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；

③一条直线在平面内的投影是一点，则这条直线和这个平面垂直．

A．0    B．1    C．2    D．3

C　[①错，②③对．]

二、填空题

6．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________．

①⇒n⊥α； ②⇒m∥n；

③⇒m⊥n;     ④⇒n⊥α.

3　[①②③正确，④中n与α可能有：n⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α).]

7.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．

6　[∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.

又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6.]

8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为________．

　[如图，连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝，则tan ∠FEB＝.]

三、解答题

9．判断下列命题是否正确，并说明理由(l，m，n是不同的直线，α为平面)：

(1)l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；

(2)l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；

(3)l∥α，l⊥m⇒m⊥α.

[解]　(1)因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α.即命题(1)正确．

(2)因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n.即命题(2)正确．

(3)因为l∥α，l⊥m，所以m⊂α或m⊥α或m∥α或m与α斜交．即命题(3)不正确．

10.如图，MA⊥平面ABC，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3，求MC与平面ABC所成角的正弦值．

 [解]　因为MA⊥平面ABC，所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角．

又因为∠MBC＝60°，所以MC＝，

所以sin ∠MCA＝＝＝.

11．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的(　　)

A．外心     B．内心

C．重心     D．旁心

A　[如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．]

12．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为(　　)

A．30°     B．45°

C．60°     D．90°

B　[因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的投影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.]

13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________．

13　[如图，连接CD，则在Rt△ABC中，CD＝AB.

因为AC＝6，BC＝8，所以AB＝＝10. 所以CD＝5.

因为EC⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以EC⊥CD.

所以ED＝＝＝13.]

14．下列说法中，正确的序号为________．

①如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线；

②如果直线l不垂直于平面α，则平面α内不存在与l垂直的直线；

③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；

④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必与这个平面平行．

①　[由线面垂直的定义可知，①正确．利用长方体模型可以构造反例说明②③④错误．]

15．过△ABC各边的中点D，E，F分别作各边的垂面，这三个垂面能否交于同一条直线？若能，这条直线有何特点？若不能，请说明理由．

[解]　设过点D，E，F作AB，BC，CA的垂面分别为α，β，γ(如图)，

则有α∩β＝l，否则若α∥β，则AB⊥α，AB⊥β.

∵BC⊥β，AB⊥β，

∴BC∥AB，，这与BC∩AB＝B矛盾，因此α∩β＝l.

设l∩平面ABC＝O，l与OF确定的平面为γ′.

∵AB⊥α，OD⊂α，∴AB⊥OD，

同理BC⊥OE，O是AB，BC垂直平分线的交点，

即O是△ABC的外心，从而AC⊥OF.

∵AB⊥α，l⊂α，∴l⊥AB.

同理l⊥BC，∴l⊥平面ABC.

∵OF⊥AC，∴AC⊥γ′.

因此平面γ′与γ是同一平面．

∵α∩β∩γ′＝l，∴α∩β∩γ＝l.即这三个垂面交于同一条直线．

由前面的证明可知l⊥平面ABC.l在平面ABC上的投影O就是△ABC的外心．