高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.2 平面与平面平行当堂检测题

【优编】4.2 平面与平面平行-1作业练习

一．填空题

1．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是         ．

2．在正方体中，E为棱CD上一点，且，F为棱的中点，且平面BEF与交于点G，与交于点H，则______，______.

3．用符号语言表述面面平行的判定定理___________________

4．下列命题中正确的是__________．（填上所有正确命题的序号）

①若，，则；    ②若，，则；

③若，，则；    ④若，，，，则．

5．在如图直四棱柱中，底面为菱形，，，点为棱的中点，若为菱形内一点（不包含边界），满足平面，设直线与直线所成角为，则的最小值为______.

6．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面

①，，则；②，，，则；

③，，，则；④若，，，则.

上述四个命题中，正确命题的序号是__________.

7．在长方体中，，分别为棱，的中点，平面与侧棱的交点为，则_______．

8．如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________.

9．在正方体中，有下列结论：

①平面；

②异面直线AD与所成的角为；

③三棱柱的体积是三棱锥的体积的四倍；

④在四面体中，分别连接三组对棱的中点的线段互相垂直平分.

其中正确的是________（填出所有正确结论的序号）.

10．下列各图中A．B为正方体的两个顶点，M．N．P分别为其所在棱的中点，能得出AB//面MNP的图形序号是     .（写出所有符合要求的图形序号）

11．已知正方体的棱长为1，点P在线段上，若平面经过点，则它截正方体所得的截面的周长最小值为__________.

12．如图，在三棱锥中，分别为的中点，是的三等分点，且，则截面将三棱锥分成两部分，则三棱锥与三棱锥的体积之比为________.

13．如图，正方体中，E，F，M，N分别为的中点，则直线，所成角的大小为_________．

14．已知正方体的棱长为，每条棱所在直线与平面所成的角相等，则截此正方体所得截面边形（其中）的周长的范围是_________.

15．给出以下命题，

①命题“若，则或”为真命题；

②命题“若，则”的否命题为真命题；

③若平面上不共线的三个点到平面距离相等，则

④若，是两个不重合的平面，直线，命题，命题，则是的必要不充分条件；

⑤平面过正方体的三个顶点，且与底面的交线为，则∥；

其中，真命题的序号是______

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】详解：如图甲，考虑小球挤在一个角时的情况，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．

因，

故，从而．

记此时小球与面的切点为，连接，则

．

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图乙．记正四面体的棱长为，过作于．

因，有，故小三角形的边长．

小球与面不能接触到的部分的面积为

．　　　　　

又，所以．

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．

考点：(1)三棱锥的体积公式；（2）分情况讨论及割补思想的应用．

2．【答案】     

【解析】由线面平行的性质可得，即可得到，又，则可求. 连接AC交BE于M，过M作，MN与交于N，连接FM，则H为FM与的交点，根据三角形相似可得线段的比.

【详解】

解：是正方体

面面

面

平面，

面面

则，则，即，又，则.

连接AC交BE于M，过M作，MN与交于N，连接FM，则H为FM与的交点.因为，所以，则.所以，所以，故.

故答案为：；

【点睛】

本题考查线面平行的性质及判定，属于基础题.

3．【答案】，，，，．

【解析】先写出面面平行的判定定理，再用符号语言表述．

【详解】

解：面面平行的判定定理：

直线，均在平面内，且,, ,则，

用符号语言表述为：，，，，．

故答案为：，，，，．

【点睛】

本题考查用符号语言表述面面平行的判定定理，是基础题，解题时要认真审题，注意符号语言的合理运用．

4．【答案】③

【解析】对于①，若，，则与可能异面．平行，故①错误；对于②，若，，则与可能平行．相交，故②错误；对于③，若，，则根据线面垂直的性质，可知，故③正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知，还需添加相交，故④错误，故答案为③.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质．面面平行的性质及线面垂直的性质，属于难题.空间直线．平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）．现实实物判断法（如墙角．桌面等）．排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.

5．【答案】

【解析】根据直棱柱的性质以及直线与平面平行的判定定理和平面与平面平行的判定定理可得平面，从而可知点在线段上，可得，求出的最小值即可得到答案.

【详解】

取线段，中点，，连结，，.

如图所示：

由于，，所以，因为平面，平面，所以平面，

同理可得平面平面，

又，

故平面平面，故点在线段上.

因为，所以，

故.在中，当时，

取得最小值，故tana的最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题考查了直线与平面，平面与平面平行的判定定理，考查了异面直线所成的角，属于中档题.

6．【答案】②

【解析】根据已知条件逐项判断后可得正确的选项.

详解：对于①，若，，则或异面，故①错；

对于②，因为，，故，而，故.故②正确.

对于③，若，，，则或，故③错；

对于④，若，，，则或相交，故④错.

故答案为：②.

【点睛】

本题考查空间中与点线面位置关系有关的命题真假判断，注意根据已知条件分析所有可能的结果，本题属于基础题.

7．【答案】3

【解析】如图，分别取棱，的中点，，连接，，根据线面平行的性质可得

，可判断G是的三等分点.

详解：如图，分别取棱，的中点，，连接，，

则，所以．

平面，则．

因为为棱的中点，所以为的中点，所以．

故答案为：3.

【点睛】

本题考查线面平行的性质，属于基础题.

8．【答案】

【解析】如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 当时.线段的长度最小，再求此时的得解.

【详解】

如图，连接，

因为E，F，G分别为AB，BC，的中点，

所以，平面，

则平面.因为，

所以同理得平面，又.

所以平面平面EFG.

因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.

在中，，

故当时.线段的长度最小，最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．【答案】①④

【解析】根据正方体的几何特征，证明线面平行，求异面直线夹角，求体积关系，分析正四面体对棱连线特点.

【详解】

因为，平面，平面，所以平面，故①正确；

因为，所以异面直线AD与所成的角等于，在正方形中，，故②错误；

三棱柱的体积是三棱锥的体积的三倍，故③错误；

由正方体的性质可知，正方体三条对面中心连线线段相互垂直平分.

四面体是正四面体，其棱中点即正方体每个面的中心，对棱中点连线必经过正方体的中心，由对称性知，连接正四面体每组对棱中点的线段互相垂直平分，则④正确.

故答案为：①④

【点睛】

此题考查根据正方体的几何特征，证明线面平行，求异面直线夹角和柱体锥体体积关系，分析线段的长度和位置关系，需要熟练掌握常见特殊几何体的几何特征.

10．【答案】①③

【解析】？因为分别平行于所在正方形的边，即所在的平面，所以面平行于所在的平面，由面面平行则线面平行得AB//面MNP;？因为分别平行于所在三棱锥的底边，即所在的平面，所以面平行于所在的平面，由面面平行则线面平行得AB//面MNP．故选？？.

考点：面面平行则线面平行．

11．【答案】

【解析】先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状，再求周长的最小值即可.

详解：

当P点靠近C或与C重合时，

确定的平面，因为平面，所以，同理，

所以四边形是平行四边形，平面就是截面，

设，则，

所以，，

，

可以看作到和距离的最小值， 关于x轴的对称点，连接，其长度即为的最小值，由勾股定理的，所以周长的最小值为，

当P点靠近或与重合时，

确定的平面，因为平面，所以，同理，

所以四边形是平行四边形，平面就是截面，

设，则，

所以，，

证法同上，所以周长的最小值为，

综上所述，所以周长的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质及截面周长的求法，还考查了空间想象力和运算求解的能力.

12．【答案】

【解析】由题意在平面内作交于,连接,分别求出三棱锥．与的关系,即可求得三棱锥与三棱锥的体积比.

【详解】

根据题意, 在平面内作交于,连接,如下图所示:

因为为的中点,

所以为的中点

又因为

所以,

所以,即

因为分别为的中点

所以,又且

所以平面平面

所以由相似可得

所以

故答案为:

【点睛】

本题考查了三棱锥体积求法,将棱锥进行分割后求各部分的体积,方便研究棱锥间的关系,属于中档题。

13．【答案】

【解析】连接，根据E，F，M，N分别为的中点，直线，所成角的大小，可转化为与的夹角，利用在三角形的性质可得结果.

详解：连接，根据E，F，M，N分别为的中点，可得到是三角形的中位线，故得到，同理可得到，进而直线，所成角的大小，可转化为与的夹角，三角形，三边均为正方体的面对角线，是等边三角形，故得到与所成的角为．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查正方体的性质，考查了异面直线所成的角，属于基础题.

14．【答案】

【解析】先根据每条棱所在直线与平面所成的角相等，分析出平面的特征，再根据截面的形状分析对应的截面的周长的取值范围.

详解：如图所示，因为正方体的棱是三组平行的棱，所以平面只需要和正方体某一个顶点引出的三条棱所成角相同即可；

取顶点，此时三棱锥为正三棱锥，显然与平面所成角相同，

所以平面平面，在棱上取一点，作交于，

同理依次可作出点，依次连接构成六边形，

记此时的六边形平面为，设，所以，

，所以截面的周长为：，

故答案为：.

【点睛】

本题考查正方体中的截面周长的求解，其中涉及到线面角的理解，对学生的分析与几何作图能力要求较高，难度较难.

15．【答案】①④⑤

【解析】①利用逆否命题来判断；

②利用逆命题来判断；

③根据点在面的同侧和异侧来判断；

④根据面面平行的判定和性质来判断；

⑤根据面面平行的性质定理来判断.

【详解】

解：①命题“若，则或”的逆否命题为：“若且，则”，其逆否命题为真命题，故原命题也为真，①是真命题；

②命题“若，则”的逆命题为：“若，则” ，其逆命题为假命题，因为还有可能等于0，故否命题也为假，②是假命题；

③若平面上不共线的三个点到平面距离相等，这三个点中若两个点在平面的一侧，另一个点在平面的另一侧，就没有，③是假命题；

④命题是的不充分条件，因为要面面平行，需要两条相交直线与面平行，一条是不够的；命题是的必要条件，因为面面平行，其中一个面上的任何一条线都和另一个面平行，④是真命题；

⑤如图：

面面，面，面

，又，

∥.

⑤是真命题.

故答案为：①④⑤

【点睛】

本题考查了互为逆否命题同真同假以及线面，面面平行的判定和性质，是基础题.