数学必修 第二册第六章 立体几何初步4 平行关系4.2 平面与平面平行第2课时学案

第2课时　平面与平面平行的判定

知识点　平面与平面平行的判定定理

1.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？

[提示]　不一定．这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内．

2．如果删去平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线” ，则平面α和β平行吗？

[提示]不一定．两个平面可能平行，也可能相交．

思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．  (　　)

(2)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．  (　　)

(3)若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行．  (　　)

[提示]　(1)错误．这两个平面可能平行，也可能相交．

(2)正确．由平面与平面平行的判定定理可知其正确．

(3)错误．这两个平面可能平行，也可能相交．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

类型1　平面和平面平行的证明

【例1】　(教材北师版P221例6改编)如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面PAB∥平面EFG.

[证明]　∵E，F分别为线段PC，PD的中点，∴EF∥CD，

又∵CD∥AB，∴EF∥AB.

又EF⊄平面PAB，AB⊂平面P⊄B，∴EF∥平面PAB.

同理可证EG∥平面PAB.

又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.

(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．

(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．

1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD.

[证明]　如图所示，连接B1D1，

∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，

∴PN∥B1D1.

又B1D1∥BD，

∴PN∥BD，又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，

∴PN∥平面A1BD，

同理可得MN∥平面A1BD，

又∵MN∩PN＝N，

∴平面MNP∥平面A1BD.

类型2　平行关系的综合应用

【例2】　如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求证：EF∥平面BB1D1D.

[证明]　(1)如图，连接AC，CD1.

因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，

所以PQ∥CD1.

又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.

(2)法一：取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1∥B1C1且FO1＝B1C1.

又BE∥B1C1且BE＝B1C1，所以BE∥FO1，BE＝FO1.

所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1，

又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D.

法二：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，

且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1⊂平面EE1F，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，

所以平面EE1F∥平面BB1D1D.

又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D.

(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．

(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化，转化思想是解决这类问题的最有效的方法．

2.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC＝2，AD＝4，求证：CE∥平面PAB.

[证明]　取AD的中点O，连接OC，OE(图略).

∵E为侧棱PD的中点，∴OE∥PA，OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴OE∥平面PAB.

∵BC＝2，AD＝4，BC∥AD，∴四边形ABCO为平行四边形，∴OC∥AB，

又OC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴OC∥平面PAB.

∵OC∩OE＝O，OC，OE⊂平面OCE，∴平面OCE∥平面PAB.

∵CE⊂平面OCE，∴CE∥平面PAB.

类型3　平面与平面平行中的探索性问题

【例3】　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D.

1.空间中的线、面平行关系是如何转化的？

[提示]　

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点．问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由．

[提示]　当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：

连接PQ.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，

∴PQ∥DC∥AB，PQ＝DC＝AB，

∴四边形ABQP是平行四边形，∴QB∥PA.

又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.

又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

3.→→

[解]　由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．

平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中．证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系．

3.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2. 若MB∥平面AEF，试判断点M的位置．

[解]　由题知MB∥平面AEF，过点F，B，M作平面FBMN交AE于点N，连接MN，NF.

因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN，所以BF∥MN.

因为MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF＝FN，

所以MB∥FN，

所以四边形BFNM是平行四边形，所以MN＝BF＝1.

而EC∥FB，EC＝2FB＝2，所以MN∥EC，MN＝EC＝1，

故MN是△ACE的中位线．

所以当M是AC的中点时，MB∥平面AEF.

1．下列命题中正确的是(　　)

A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行

D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

B　[如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B.]

2．(多选题)在正方体中，相互平行的面是(　　)

A．前后相对侧面　　 B．上下相对底面

C．左右相对侧面     D．相邻的侧面

ABC　[由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选ABC.]

3．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是(　　)

A．平行     B．相交

C．平行或相交  D．以上都不对

C　[根据图1和图2可知α与β平行或相交．

]

图1　　　　　图2

4．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是(　　)

A．平面α内有一条直线与平面β平行

B．平面α内有两条直线与平面β平行

C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行

D．平面α与平面β不相交

D　[选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.]

5．给出下列命题：

①任意三点确定一个平面；

②三条平行直线最多可以确定三个平面；

③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；

④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；

其中说法正确的有________(填序号).

②③　[对①：根据基本事实1可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；

对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；

对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；

对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误．

综上所述，正确的有②③.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.证明面面平行的方法有哪些？

[提示]　证明面面平行的方法

(1)面面平行的定义．

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．

2.空间中各种平行关系之间有怎样的关系？

[提示]　空间中各种平行关系相互转化关系的示意图