高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.2 平面与平面平行同步达标检测题

【优质】4.2 平面与平面平行-1课时练习

一．填空题

1．一个质点从A上出发依次沿图中线段到达B．C．D．E．F．G．H．I．J各点，最后又回到A（如图所示），其中：，AB//CD//EF//HG//IJ，BC//DE//FG//HI//JA.欲知此质点所走路程，至少需要测量n条线段的长度，则n的值为_____

2．如图，在正方体中，．分别是．上靠近点的三等分点，则异面直线与所成角的大小是______.

3．在空间四边形ABCD中，E．F分别是AB．BC上的点，且，则AC和平面DEF位置关系______

4．是两个平面，是两条直线，有下列四个命题:

如果，那么

如果，那么

如果，那么

如果，则

其中正确的命题有______ . (填写所有正确命题的编号)

5．在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点,且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的序号为__________

①点的轨迹是一条线段.②与是异面直线.

③与不可能平行.④三棱锥的体积为定值.

6．在空间四边形中，为边的中点，为边的中点，若，，且，则线段的长为________

7．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，现有如下四个结论：

①；                  

②平面EFC//平面BD

③异面直线所成的角为定值；

④三棱锥的体积为定值，

其中正确结论的序号是______．

8．如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点,点P在平面ABCD内，若直线平面EFG，则线段长度的最小值是________________.

9．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB．AD．AA1的中点，又P．Q分别在线段A1B1．A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1).设平面MEF∩平面MPQ

＝l，现有下列结论：

①l∥平面ABCD；

②l⊥AC；

③直线l与平面BCC1B1不垂直；

④当x变化时，l不是定直线.

其中不成立的结论是________.(写出所有不成立结论的序号)

10．正四棱柱中，，为中点，若点满足，且平面，则__________．

11．如图，在矩形中，，为的中点，将沿翻折成（平面），为线段的中点，则在翻折过程中给出以下四个结论：

①与平面垂直的直线必与直线垂直；

②线段的长为；

③异面直线与所成角的正切值为；

④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积是.

其中正确结论的序号是_______.（请写出所有正确结论的序号）

12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若B1P//平面A1BM，则C1P长度的取值范围是____．

13．已知垂直于所在平面为的中点，又与平面所成的角分别为，若,则 __________．

14．已知直线平面，，那么在平面内过点P与直线m平行的直线有________条.

15．如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面,则点的轨迹长为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】3

【解析】计算得到路程等于，得到答案.

详解：路程等于，

故至少需要测量3条线段长度.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了线段的长度问题，确定路程等于解题的关键..

2．【答案】

【解析】连接，可得出，证明出四边形为平行四边形，可得，可得出异面直线与所成角为或其补角，分析的形状，即可得出的大小，即可得出答案.

【详解】

连接．．，，，

在正方体中，，，，

所以，四边形为平行四边形，，

所以，异面直线与所成的角为.

易知为等边三角形，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选择合适的三角形求解，考查计算能力，属于中等题.

3．【答案】平行

【解析】根据比例式得到，继而得到线面平行，问题得以解决．

【详解】

解：，

，

平面，平面，

平面，

故答案为：平行．

【点睛】

本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是掌握空间中直线与直线之间位置关系的判断方法，属于基础题．

4．【答案】

【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.

详解：如果，那么或相交，（1）错误；

如果，那么，（2）正确；

如果，那么，（3）正确；

如果，则或，（4）错误；

故答案为：（2）（3）.

【点睛】

本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.

5．【答案】③

【解析】分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，以及体积公式分别进行判断.

详解：对于①，设平面与直线交于点，连接，则为的中点..

分别取的中点，连接，

则平面，平面.

所以平面，同理可得平面

是平面内的相交直线.

所以平面平面，

由与平面的垂线垂直,则平面，可得直线平面.

即点是线段上的动点，所以①正确.

对于②，由①有点在线段上，所以三点在侧面内.

假设与不是异面直线，则四点共面,则他们共面于侧面内.

这与在正方体中，显然产生矛盾，所以假设不成立.

故与是异面直线，故②正确.

对于③，当与重合时，，所以③错误.

对于④，,,则平面.

则点到平面的距离等于点(或点)到平面的距离.

设点(或点)到平面的距离为.

则，即.

在正方体中，，，均为定值，所以为定值.

点到平面的距离为定值，又为定值.

所以的体积为定值,故④正确.

故答案为：③.

【点睛】

本题考查空间平行关系的应用．空间轨迹的探索．异面直线的判断，平行直线的判断和锥体的体积的计算，属于中档题.

6．【答案】

【解析】取中点,连接，由，且，,且,推导出,由此求出的长.

【详解】

如图，取中点,连接，

因为为边的中点，为边的中点，，，且，

所以，且，,且，

因为,所以，

所以，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了空间两点的距离，主要考查了线线平行，重点考查了运算能力，属基础题.

7．【答案】①②④

【解析】通过证明异面直线垂直证得①成立，通过证明面面平行证得②成立，作出异面直线所成的角，由此判断异面直线所成的角是否为定值，利用锥体体积公式计算出三棱锥的体积.

详解：①设与相交与.根据正方体的性质可知，而，所以平面，所以.故①正确.

②根据正方体的性质可知，平面，面，所以平面.同理可证平面，而，所以平面平面，也即平面平面.故②正确.

③由于正方体的边长为，所以，而，根据正方体的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线所成的角，所以，其中为定值，长度不固定，所以不是定值，所以③错误.

④由①可知平面，

所以为定值，所以④正确.

故答案为：①②④

【点睛】

本小题主要考查线线．面面的位置关系，考查锥体体积计算，属于中档题.

8．【答案】

【解析】如图，连接，证明平面平面EFG.因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上. 当时.线段的长度最小，再求此时的得解.

【详解】

如图，连接，

因为E，F，G分别为AB，BC，的中点，

所以，平面，

则平面.因为，

所以同理得平面，又.

所以平面平面EFG.

因为直线平面EFG，所以点P在直线AC上.

在中，，

故当时.线段的长度最小，最小值为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查空间位置关系的证明，考查立体几何中的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

9．【答案】④

【解析】详解：连接BD，B1D1，∵A1P＝A1Q＝x，∴PQ∥B1D1∥BD∥EF，则PQ∥平面MEF，

又平面MEF∩平面MPQ＝l，∴PQ∥l，l∥EF，

∴l∥平面ABCD，故①成立；

又EF⊥AC，∴l⊥AC，故②成立；

∵l∥EF∥BD，故直线l与平面BCC1B1不垂直，故③成立；

当x变化时，l是过点M且与直线EF平行的定直线，故④不成立．

即不成立的结论是④.

10．【答案】

【解析】先猜想点为的中点，取的中点，连接．，再证明平面．结合正四棱柱和中位线的性质可推出四边形为平行四边形，从而，然后由线面平行的判定定理可证得平面．

详解：如图所示，分别取．的中点．，连接．，此点即为所求．

证明如下：

．分别为．的中点，

，，

为中点，

，

又，

，，

四边形为平行四边形，

，

平面，平面，

平面．

由于为的中点，

所以．

故答案为：．

【点睛】

本题考主要查空间中线与面的平行关系，对于找点问题，一般可采用先猜后证的思想，熟练掌握线面平行的判定定理是解题的关键，考查学生的空间立体感．逻辑推理能力，属于中档题．

11．【答案】①②④

【解析】①平面，则可判断；②通过线段相等，可求出线段的长；②异面直线与所成角为，求出其正切值即可；④找出球心，求出半径即可判断其真假.从而得到正确结论的序号.

详解：如图，取的中点为，的中点为，连接，，，，

则四边形为平行四边形，直线平面，所以①正确；

，所以②正确；

因为，异面直线与的所成角为，

，所以③错误；

当三棱锥的体积最大时，平面与底面垂直，

可计算出，，，所以，

同理，

所以三棱锥外接球的球心为，半径为1，外接球的表面积是，④正确.

故答案为：①②④.

【点睛】

本题考查翻折过程中点线面的位置关系，注意翻折过程中不变的量，考查了相关角度，长度，体积的计算，考查直观想象，运算能力，属于较难题目．

12．【答案】

【解析】取BC中点N，连结B1D，B1N，DN，作CO⊥DN，连结C1O，

因为平面B1DN∥平面A1BM，

所以点P在底面ABCD内的轨迹是线段DN（动点P在底面正方形ABCD内，不包括边界，故不含点N和点D），

在中，，

所以，

过C1O⊥DN，则当P与O重合时，C1P长度取最小值，

所以C1P长度的最小值为，

当P与D重合时，C1P长度取最大值，

∴C1P长度的最大值为C1D＝，

∵P与D不重合，∴C1P长度的取值范围是．

故答案为： .

13．【答案】

【解析】画图分析线面垂直的关系,再设长为算出底面的所有线段长度,再利用互补利用余弦关系求解即可.

【详解】

画出图像,

易得分别为.

设长为,则,设

, ,

故在中,

,

代入得,

所以,故,

得,.所以

故答案为：

【点睛】

本题主要考查立体几何中的解三角形问题,底面分成两个三角形,故可以利用互补的两个角度的余弦值互为相反数,再利用余弦定理求解即可.

14．【答案】1

【解析】利用线面平行的性质定理来进行解答.

【详解】

过直线与点可确定一个平面，由于为公共点，所以两平面相交，不妨设交线为，因为直线平面，所以，其它过点的直线都与相交，所以与也不会平行，所以过点且平行于的直线只有一条，在平面内，

故答案为：1.

【点睛】

本题考查线面平行的性质定理，是基础题.

15．【答案】

【解析】如图所示：分别为中点，连接，，证明平面平面，得到故点的轨迹为线段，得到答案.

详解：如图所示：分别为中点，连接，.

分别为中点，分别是棱的中点，故.

易知：是矩形，故.

，，故平面平面.

故点的轨迹为线段，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了立体几何中的轨迹问题，面面平行，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.