北师大版 (2019)必修 第二册第六章 立体几何初步4 平行关系4.2 平面与平面平行备课课件ppt

6.4．2　平面与平面平行

[教材要点]

要点一　平面与平面平行的性质

　(1)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线．

(2)该定理提供了证明线线平行的另一种方法，应用时要紧扣与两个平行平面都相交的第三个平面．

要点二　平面与平面平行的判定

　(1)平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．

(2)面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．

[教材答疑]

1．[教材P220思考交流]

如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，c⊂β，

则c与a平行或异面，

因为c⊂β，a⊂α，α∥β；

c与b平行或相交，因为c⊂β，b⊂β.

2．[教材P222思考交流]

平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等D⇒/α∥β，如图，AA′＝BB′＝CC′则α∩β＝l.

α∥β⇒平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等．如图AA′＝BB′＝CC′

所以“平面α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的必要不充分条件．

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．(　　)

(2)若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　　)

(3)已知两个平面平行，若第三个平面与其中的一个平面平行，则也与另一个平面平行．(　　)

(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(　　)

2．在正方体EFGH ­ E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的是(　　)

A．平面E1FG1与平面EGH1

B．平面FHG1与平面F1H1G

C．平面F1H1E与平面FHE1

D．平面E1HG1与平面EH1G

3．[多选题]不能使平面α∥平面β的条件是(　　)

A．存在一条直线a，a∥α，a∥β

B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β

C．存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α

D．α内存在两条相交直线a，b分别平行于β内的两条直线

4．已知直线a与直线b，平面α与平面β满足下列关系，a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则α与β的位置关系是________．

题型一　面面平行性质定理的应用——师生共研

注意三棱柱中的面ABC∥面A ′B ′C ′的应用．例1　如图所示，已知三棱柱ABC ­ A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．

方法归纳

应用线面平行的性质定理的关键点

应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．

跟踪训练1　如图，在四棱柱ABCD ­ A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.

求证：EC∥A1D.

题型二　平面与平面平行的判定——师生共研

连BD交AC于点O再连接OG，便可发现平行关系．

例2　如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EF∥AC，G是DE的中点．求证：平面ACG∥平面BEF.

方法归纳

利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤

第一步：在一个平面内找出两条相交直线；

第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；

第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．

跟踪训练2　

如图，在长方体ABCD ­ A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，CD，A′B′，C′D′的中点．

求证：平面A′EFD′∥平面BCF′E′.

题型三　平行关系的综合应用——师生共研

线面平行、面面平行的性质定理的应用，往往需要通过“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知条件联系起来．

例3　如图，在棱长为a的正方体ABCD ­ A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求PQ的长；

(3)求证：EF∥平面BB1D1D.

方法归纳

(1)证明线面平行的方法有“线线平行⇒线面平行”或“线线平行⇒线面平行⇒面面平行⇒线面平行”．

(2)常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系相互联系、相互转化．

跟踪训练3　在正方体ABCD ­ A′B′C′D′中，E，F，G，H分别为CC′，C′D′，DD′，CD的中点，N为BC的中点，试在E，F，G，H四点中找两点，使这两个点与点N确定一个平面α且平面α∥平面BB′D′D.

易错辨析　受思维定式的影响出错

例4　如图，已知E，F分别是正方体ABCD ­ A1B1C1D1的棱AA1，CC1上的点，且AE＝C1F.求证：四边形EBFD1是平行四边形．

证明：如图，在棱BB1上取一点G，使B1G＝C1F＝AE，连接A1G，GF，则GF綊B1C1綊A1D1，

所以四边形GFD1A1为平行四边形，

所以A1G綊D1F.

因为A1E＝AA1－AE，BG＝B1B－B1G，AA1綊BB1，

所以A1E綊BG，

所以四边形EBGA1为平行四边形，

所以A1G綊EB.

所以D1F綊EB，

所以四边形EBFD1是平行四边形．

【易错警示】

4．2　平面与平面平行

新知初探·课前预习

要点一

平行　α∩γ＝a　β∩γ＝b

要点二

两条相交　a∩b＝P

[基础自测]

1．(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．解析：根据面面平行的判定定理，可知A正确．

答案：A

3．解析：A，B，C中的条件都不一定使α∥β，反例分别为图①②③(图中a∥l，b∥l)；D中，因为a∥β，b∥β，又a，b相交，从而α∥β.

答案：ABC

4．解析：若a与b相交，则α与β平行；若a与b平行，则α与β可能平行或相交．

答案：平行或相交

题型探究·课堂解透

题型一

例1　解析：直线a，b的位置关系是平行．

证明：连接DD′.

∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a.

同理可证AD∥b.

又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，∴DD′綊BB′，又BB′綊AA′，∴DD′綊AA′，

∴四边形AA′D′D为平行四边形，∴A′D′∥AD，∴a∥b.

跟踪训练1　证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，

所以BE∥平面AA1D.

因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，

所以BC∥平面AA1D.

因为BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，

所以平面BCE∥平面AA1D.

又因为平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，

所以EC∥A1D.

题型二

例2　

证明：如图所示，连接BD交AC于点O，连接OG，易知O是BD的中点，故OG∥BE.

又BE⊂平面BEF，OG在平面BEF外，所以OG∥平面BEF.

因为EF∥AC，AC在平面BEF外，所以AC∥平面BEF.

又AC与OG相交于点O，平面ACG有两条相交直线与平面BEF平行，

故平面ACG∥平面BEF.

跟踪训练2　证明：∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，

∴A′E′綊BE，

∴四边形A′EBE′为平行四边形，

∴A′E∥BE′.

∵A′E⊄平面BCF′E′，BE′⊂平面BCF′E′，

∴A′E∥平面BCF′E′.

同理，A′D′∥平面BCF′E′.

又A′E∩A′D′＝A′，

∴平面A′EFD′∥平面BCF′E′.

题型三

例3　解析：(1)证明：方法一　如图，连接AC，CD1.

因为P，Q分别是AD1，AC的中点，

所以PQ∥CD1.

又PQ⊄平面DCC1D1，

CD1⊂平面DCC1D1，

所以PQ∥平面DCC1D1.

方法二　取AD的中点G，连接PG，GQ，

则有PG∥DD1，PG⊄平面DCC1D1，DD1⊂平面DCC1D1，

所以PG∥平面DCC1D1，同理GQ∥平面DCC1D1，

又PG∩GQ＝G，PG⊂平面PGQ，GQ⊂平面PGQ，

所以平面PGQ∥平面DCC1D1.

又PQ⊂平面PGQ，所以PQ∥平面DCC1D1.

(2)由(1)易知PQ＝D1C＝a.

(3)证明：方法一　取B1D1的中点O1，

连接FO1，BO1，则有FO1綊B1C1.

又BE綊B1C1，所以BE綊FO1.

所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1，

又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，

所以EF∥平面BB1D1D.

方法二　取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，

则有FE1∥B1D1，FE1⊄平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D，

所以FE1∥平面BB1D1D，同理EE1∥平面BB1D1D，

又FE1∩EE1＝E1，

所以平面EE1F∥平面BB1D1D.

又EF⊂平面EE1F，

所以EF∥平面BB1D1D.

跟踪训练3　解析：如图，连接HN，由中位线定理得，HN∥BD.

∵BD⊂平面BB′D′D，HN⊄平面BB′D′D，∴HN∥平面BB′D′D.

连接HF，则HF∥DD′，

∵DD′⊂平面BB′D′D，HF⊄平面BB′D′D，∴HF∥平面BB′D′D.

又HN∩HF＝H，连接FN，则平面HFN∥平面BB′D′D，

∴H，F，N三点确定的平面α与平面BB′D′D平行．