高中数学北师大版 (2019)必修 第二册4.2 平面与平面平行第2课时导学案

第2课时　平面与平面平行的判定

平面与平面平行的判定定理

思考：1.如果一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线与另一个平面也平行吗？

提示：不一定．这条直线与另一个平面平行或在另一个平面内．

2．如果删去平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线” ，则平面α和β平行吗？

提示：不一定．两个平面可能平行，也可能相交．

1．下列命题中正确的是(　　)

A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行

C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行

D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行

B　[如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行，故选B．]

2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是(　　)

A．平面α内有一条直线与平面β平行

B．平面α内有两条直线与平面β平行

C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行

D．平面α与平面β不相交

D　[选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D．]

3．给出下列命题：

①任意三点确定一个平面；

②三条平行直线最多可以确定三个平面；

③不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；

④一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；

其中说法正确的有________(填序号)．

②③　[对①：根据基本事实1可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；

对②：三条平行线，可以确定平面的个数为1个或者3个，故正确；

对③：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；

对④：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误．

综上所述，正确的有②③.]

【例1】　如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD．E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P平面ABCD．求证：平面PAB∥平面EFG.

[证明]　∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，

又∵CD∥AB，∴EF∥AB．

又EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB．

同理可证EG∥平面PAB．

又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.

1要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.

2判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循“先找后作”的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.

1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P分别是CC1、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD．

[证明]　如图所示，连接B1D1，

∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，

∴PN∥B1D1.

又B1D1∥BD，

∴PN∥BD，又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD，

∴PN∥平面A1BD，

同理可得MN∥平面A1BD，

又∵MN∩PN＝N，∴平面MNP∥平面A1BD．

【例2】　如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；

(2)求证：EF∥平面BB1D1D．

[证明]　(1)如图，连接AC，CD1.

因为ABCD是正方形，且Q是BD的中点，所以Q是AC的中点，又P是AD1的中点，

所以PQ∥CD1.

又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1.

(2)法一：取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1∥B1C1且FO1＝B1C1.

又BE∥B1C1且BE＝B1C1，所以BE∥FO1，BE＝FO1.

所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1，

又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D．

法二：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，

且FE1∩EE1＝E1，FE1，EE1⊂平面EE1F，B1D1，BB1⊂平面BB1D1D，

所以平面EE1F∥平面BB1D1D．

又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D．

1在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.

2要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化，转化思想是解决这类问题的最有效的方法.

2．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，E为侧棱PD的中点，且BC＝2，AD＝4，求证：CE∥平面PAB．

[证明]　取AD的中点O，连接OC，OE(图略)．

∵E为侧棱PD的中点，∴OE∥PA，OE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴OE∥平面PAB．

∵BC＝2，AD＝4，BC∥AD，∴四边形ABCO为平行四边形，∴OC∥AB，

又OC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴OC∥平面PAB．

∵OC∩OE＝O，OC，OE⊂平面OCE，∴平面OCE∥平面PAB．

∵CE⊂平面OCE，∴CE∥平面PAB．

[探究问题]

1．空间中的线、面平行关系是如何转化的？

提示：

2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点．问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？请说明理由．

提示：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.理由如下：

连接PQ.∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，

∴PQ∥DC∥AB，PQ＝DC＝AB，

∴四边形ABQP是平行四边形，∴QB∥PA．

又∵O为DB的中点，∴D1B∥PO.

又∵PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，

∴平面D1BQ∥平面PAO.

【例3】　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，C1D1，DD1，CD的中点．N为BC的中点．试在E，F，G，H四个点中找两个点，使这两个点与点N确定一个平面α，且平面α∥平面BB1D1D．

[思路点拨]　→

→

[解]　由面面平行的判定定理，若使平面α∥平面BB1D1D，只需在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D，或在平面α内有两条相交直线平行于平面BB1D1D内的两条相交直线即可．连接HN，HF，NF，易知HN∥BD，HF∥DD1，所以平面NHF∥平面BB1D1D，即在E，F，G，H四个点中，由H，F两点与点N确定的平面α满足条件．

平行中探索存在性问题的判定是高考的常考内容，多出现在解答题中.证明线面平行的关键是找线线平行，注意利用所给几何体中隐含的线线位置关系，当题目中有中点时，一般考虑先探索中点，再用中位线定理找平行关系.

1．证明面面平行的方法

(1)面面平行的定义．

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．

2．空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若一个平面内的两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．

  (　　)

(2)若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．               (　　)

(3)若一个平面内有无数多条直线平行另一个平面，则这两个平面平行．  (　　)

[提示]　(1)错误．这两个平面可能平行，也可能相交．

(2)正确．由平面和平面平行的判定定理可知其正确．

(3)错误．这两个平面可能平行，也可能相交．

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×

2．在正方体中，相互平行的面不会是(　　)

A．前后相对侧面　　　 B．上下相对底面

C．左右相对侧面 D．相邻的侧面

D　[由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D．]

3．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是(　　)

A．平行 B．相交

C．平行或相交 D．以上都不对

C　[根据图1和图2可知α与β平行或相交．

]

图1　　　　　　　图2

4．如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.

[证明]　∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，

又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB，

∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，

∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，

∴平面EFG∥平面PAB．