高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用同步达标检测题

【精挑】2.3 三角函数的叠加及其应用-2随堂练习

一．填空题

1．若，，，，则______.

2．____________

3．已知都是锐角，，则=_____

4． =__________．

5．若，为锐角，且，则__________；__________

6．已知，则=__________．

7．已知，则__________.

8．在中，的最大值为：____________.

9．若点是椭圆上任意一点，点分别为椭圆的上下顶点，若直线．的倾斜角分别为．，则______.

10．已知，,则________.

11．求值:______.

12．______．

13．tan22°+tan23°+tan22°tan23°=_______

14．的值为______.

15．若,且，则__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由于，利用两角和差公式可求出的值.

【详解】

解：因为，

所以，

所以，

同理可得：，

故

.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了两角和差公式的知识，解决问题的关键是整体思想的意识，还要关注角的范围的确定.

2．【答案】

【解析】因为，

所以，则tan20° +tan40°+tan20°tan40°．

考点：两角和的正切公式的灵活运用．

3．【答案】

【解析】由已知求出，再由两角差的正弦公式计算．

【详解】

∵都是锐角，∴，

又，

∴，，

∴

．

故答案为．

【点睛】

本题考查两角和与差的正弦公式．考查同角间的三角函数关系．解题关键是角的变换，即．这在三角函数恒等变换中很重要，即解题时要观察“已知角”和“未知角”的关系，根据这个关系选用相应的公式计算．

4．【答案】

【解析】根据式子中角度的规律，可知，，变形有，由此可以求解．

【详解】

根据式子中角度的规律，可知，，变形有．所以

，，

，，，

．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查两角和的正切公式的应用以及归纳推理的应用，属于中档题．

5．【答案】     

【解析】利用两角和差正切公式来构造出，代入可求得结果；根据的规律可整理得到结果.

【详解】

即

故答案为：；

【点睛】

本题考查利用两角和差正切公式求值的问题，关键是能够通过两角和差正切公式和特殊角三角函数值构造出所求式子的构成部分.

6．【答案】

【解析】

=

7．【答案】

【解析】利用诱导公式结合两角和的正切公式，即可求解.

【详解】

，

.

故答案为:

【点睛】

本题考查三角函数化简，求值，属于基础题.

8．【答案】2

【解析】根据积化和差公式得,再化成辅助角的形式可解得最大值.

【详解】

由积化和差公式可得,

,当且仅当时,等号成立,

所以

,

令,,则,取,

所以 ,

当,时,等号成立.

故答案为:2

【点睛】

本题考查了积化和差公式,两角和的正弦的逆用公式,属于难题.

9．【答案】

【解析】首先利用两角和与差的公式以及同角三角函数的关系将化简成，然后设出点，求出直线．斜率，再将椭圆方程代入化简即可求解.

【详解】

由，

设点，由，，直线．的倾斜角分别为．，

所以，，

所以，

又可得，代入上式可得

，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了椭圆的性质．直线的斜率．两角和与差的公式以及同角三角函数的关系，综合性比较强，属于中档题.

10．【答案】

【解析】由，再结合两角差的正切公式求解即可.

【详解】

解：因为，,

又，

所以=，

故答案为：.

【点睛】

本题考查了两角差的正切公式及考查了角的拼凑，重点考查了观察能力及运算能力，属中档题.

11．【答案】1

【解析】利用两角和的正弦公式，即可求出结果.

【详解】

.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查两角和的正弦公式，属于基础题.

12．【答案】

【解析】将非特殊角化为特殊角的和与差，是求三角函数值的一个有效方法.

考点：两角和的正弦

13．【答案】1

【解析】解：因为tan22°+tan23°+tan22°tan23°=tan(22°+23°)(1- tan22°tan23°)+ tan22°tan23°=tan45°=1

14．【答案】

【解析】根据诱导公式与两角和与差的余弦公式求解即可.

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了诱导公式与两角和与差的余弦公式运用,属于基础题型.

15．【答案】

【解析】，则，

，则，

，则，故，据此可得：