北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用第2课时导学案及答案

第2课时　正弦定理

知识点　正弦定理

1.在△ABC中，“A＞B”⇔“sin A＞sin B”吗？

[提示]　在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔＞⇔sin A＞sin B．

2．利用正弦定理可以解决哪两类三角形问题？

[提示]　(1)已知两边和一角，求第三边和其他两角；(2)已知两角和一边，求第三个角和其他两边．

在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

C　[由正弦定理知＝.]

类型1　已知两角及一边解三角形

【例1】　在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b.

[解]　A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°.

由＝得，b＝＝＝＝4.

所以A＝45°，b＝4.

已知任意两角和一边，解三角形的步骤

(1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角；

(2)求边：根据正弦定理，求另外的两边．

已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解．

1．已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a和B.

[解]　 ∵＝，

∴a＝＝＝10.

B＝180°－(A＋C)＝180°－(45°＋30°)＝105°.

类型2　已知两边及其中一边的对角解三角形

【例2】　在△ABC中，已知c＝，A＝45°，a＝2，且sin 15°＝，cos 15°＝，解三角形．

[解]　∵＝，

∴sin C＝＝＝，

∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.

当C＝60°时，B＝75°，b＝＝，

由已知cos 15°＝sin 75°＝，

∴b＝＝＋1；

当C＝120°时，B＝15°，b＝＝，

由已知sin 15°＝，

∴b＝＝－1.

∴b＝＋1，B＝75°，C＝60°或b＝－1，B＝15°，C＝120°.

已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法

(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；

(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一；

(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．

2．在△ABC中，a＝1，b＝，A＝30°，求边c的长．

[解]　由＝，得sin B＝＝.

∵a＜b，∴B＞A＝30°，

∴B为60°或120°.

①当B＝60°时，C＝180°－60°－30°＝90°.

此时，c＝＝＝2.

②当B＝120°时，

C＝180°－120°－30°＝30°.此时，c＝a＝1.

综上知c＝1或2.

类型3　正、余弦定理的简单综合应用

【例3】　设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A＝a cos B.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值．

[解]　(1)∵b sin A＝a cos B，

由正弦定理得sin B sin A＝sin A cos B.

在△ABC中，sin A≠0，

即得tan B＝，∴B＝.

(2)∵sin C＝2sin A，由正弦定理得c＝2a，

由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，

即9＝a2＋4a2－2a·2a cos ，

解得a＝，∴c＝2a＝2.

利用正、余弦定理解三角形的注意点

正、余弦定理都是用来解三角形的，但在解题过程中要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，应抓住两个定理的特点：正弦定理“边对角”，余弦定理“边夹角”，正确选择定理是解决此类题目的关键．

3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a sin A＋c sin C－a sin C＝b sin B.

(1)求角B的大小；

(2)若C＝60°，b＝2，求c.

[解]　(1)由正弦定理得a2＋c2－ac＝b2.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B.

故cos B＝，又因为0°＜B＜180°，

所以B＝45°.

(2)由正弦定理得c＝b·＝2×＝.

1．(多选题)有关正弦定理的叙述正确的是(　　)

A．正弦定理只适用于锐角三角形

B．正弦定理不适用于钝角三角形

C．在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值

D．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.

CD　[正弦定理适用于任意三角形，故AB均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故C正确；由比例性质和正弦定理可推知D正确．故选CD.]

2．在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则sin B＝(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[由于＝，故＝，

解得sin B＝.故选A.]

3．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有(　　)

A．一解    B．两解    C．无解    D．无法确定

A　[∵b＜a，A＝30°，∴B＜30°，故三角形有一解．故选A.]

4．在△ABC中，若B＝30°，b＝2，则＝________．

4　[＝＝＝4.]

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＝5 ，B＝，cos A＝，则a＝________．

　[因为cos A＝，0＜A＜π，所以sin A＝＝，所以由正弦定理得a＝＝.]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.正弦定理有什么特点？

[提示]　正弦定理的特点

(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立；

(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式；

(3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．

2.正弦定理有哪些变形？

[提示]　正弦定理的常见变形

(1)a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C(R为△ABC外接圆的半径)；

(2)sin A＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)；

(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；

(4)＝；

(5)a sin B＝b sin A，a sin C＝c sin A，b sin C＝c sin B．

三角形解的个数问题

已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不一定能被唯一确定．不妨设已知△ABC的两边a，b和角A，作图步骤如下：①先把未知边c画为水平的，作出已知角A，角A的另一条边为已知边b；②以边b的端点C为圆心，a为半径作圆；③观察圆C与边c交点的个数，便可得此三角形解的个数．

显然，当A为锐角时，有如图所示的四种情况：

当A为钝角(或直角)时，有如图所示的两种情况：

根据分析可知，由于a，b长度关系的不同，导致三角形有不同个数的解．若A为锐角，只有当a≥b sin A时才有解，

并且随着a的增大，得到的解的个数也是不同的．若A为钝角或直角，只有当a＞b时才有解．解决此类问题，我们有两种解法：

(1)正弦定理法(也称代数法或三角形中大边对大角法)：不妨设已知△ABC的两边a，b和角A，根据正弦定理得＝，可得sin B＝.若sin B＞1，则三角形无解；若sin B＝1，则三角形有且只有一解；若0＜sin B＜1，则先根据a，b的长短关系确定A，B的大小关系(利用大边对大角)，再求出B，从而确定三角形解的个数；

(2)公式法：不妨设已知△ABC的两边a，b和角A，通过前面的探究可得三角形解的个数的判断公式如下表：

在△ABC中，已知A＝45°，a＝2，b＝(其中内角A，B，C的对边分别为a，b，c)，试判断符合上述条件的△ABC有多少个．

[提示]　法一：(正弦定理法)由正弦定理得＝，可得sin B＝sin 45°＝＜1.

又因为a＞b，所以A＞B，故B＝30°，

所以符合条件的△ABC只有一个．

法二：(公式法)因A为锐角，a＞b，故符合条件的△ABC只有一个．